1. 개요
[math(T_2)]의 도움정리는 Titu Andreescu[1] 저서인 Problems from the book에서 이 도움정리의 중요성을 강조하면서, 자신의 이름 Titu를 변형하여 붙이면서 이 도움정리를 [math(T_2)]의 도움정리라고 부른다. 코시 엥겔폼(Engel form)이라고도 하며 이 이름에서 알 수 있듯 코시-슈바르츠 부등식의 변형이다. KMO를 준비한다면 알아두면 좋다. 자세한 정리는 다음과 같다.[math(T_2)]의 도움정리(Titu's lemma)
실수 [math(a,b)]와 양의 실수 [math(x,y)]에 대하여 다음이 성립한다.
[math(\dfrac{a^2}{x}+\dfrac{b^2}{y}\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{x+y})]
[math(\dfrac{a^2}{x}+\dfrac{b^2}{y}\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{x+y})]
2. 증명
2.1. 증명 1
| [math(\begin{aligned}\dfrac{a^2}{x}+\dfrac{b^2}{y}-\dfrac{\left(a+b\right)^2}{x+y}&=\dfrac{1}{xy\left(x+y\right)}\left\{a^2 y\left(x+y\right)+b^2x\left(x+y\right)-\left(a+b\right)^2xy\right\}\\&=\dfrac{1}{xy\left(x+y\right)}\left(ay-bx\right)^2\\&\ge 0\end{aligned})] |
2.2. 증명 2
| [math(\begin{aligned}\left(x+y\right)\left(\dfrac{a^2}{x}+\dfrac{b^2}{y}\right)&\ge\left(a+b\right)^2\ \\\iff\ \dfrac{a^2}{x}+\dfrac{b^2}{y}&\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{x+y}\quad\left(\because x+y>0\right)\end{aligned})] |
3. 확장
[math(T_2)]의 도움정리를 두 번 사용하면 실수 [math(a,b,c)]와 양의 실수 [math(x,y,z)]에 대하여 다음이 성립한다.[math(\dfrac{a^2}{x}+\dfrac{b^2}{y}+\dfrac{c^2}{z}\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{x+y}+\dfrac{c^2}{z}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{x+y+z})]
이처럼 정리를 n번 쓰면 변수가 4, 5, 6, ... 개 일 때도 귀납적으로 같은 부등식이 성립한다. 따라서,
[math(T_2)]의 도움정리의 확장
실수 [math(a_1,a_2,\dots,a_n)]과 양의 실수 [math(x_1,x_2,\dots,x_n)]에 대하여
[math(\dfrac{a_1^2}{x_1}+\dfrac{a_2^2}{x_2}+\cdots+\dfrac{a_n^2}{x_n}\ge\dfrac{\left(a_1+a_2+\cdots+a_n\right)^2}{x_1+x_2+\cdots+x_n})]
이 성립한다. 등호 성립은 [math(\dfrac{a_1}{x_1}=\dfrac{a_2}{x_2}=\cdots=\dfrac{a_n}{x_n})]이다.
[math(\dfrac{a_1^2}{x_1}+\dfrac{a_2^2}{x_2}+\cdots+\dfrac{a_n^2}{x_n}\ge\dfrac{\left(a_1+a_2+\cdots+a_n\right)^2}{x_1+x_2+\cdots+x_n})]
이 성립한다. 등호 성립은 [math(\dfrac{a_1}{x_1}=\dfrac{a_2}{x_2}=\cdots=\dfrac{a_n}{x_n})]이다.
3.1. 증명
| [math(\begin{aligned}\left(x_1+x_2+\cdots+x_n\right)\left(\dfrac{a_1^2}{x_1}+\dfrac{a_2^2}{x_2}+\cdots+\dfrac{a_n^2}{x_n}\right)&\ge\left(a_1+a_2+\cdots+a_n\right)^2\\\displaystyle\iff\ \dfrac{a_1^2}{x_1}+\dfrac{a_2^2}{x_2}+\cdots+\dfrac{a_n^2}{x_n}&\ge\dfrac{\left(a_1+a_2+\cdots+a_n\right)^2}{x_1+x_2+\cdots+x_n}\quad\left(\because x_1+x_2+\cdots+x_n>0\right)\end{aligned})] |
4. 관련 항목
[1] 국제수학올림피아드의 미국 팀(1994년 참가자 전원이 만점을 획득한 것으로 유명) 수석 코치였으며 올림피아드, Putnam 등 유명 수학 경시대회 대비 문제집을 저술하는 저자이다. 대표 저서로 Putnam and beyond와 Problems from the book이 있다.