1. 개요
감마 분포(gamma分布)는 지수 분포나 푸아송 분포 따위의 매개 변수에 대한 켤레 사전 확률 분포이다. (우리말샘)
2. 베이즈 정리
조건부 확률의 정의를 전제로하는 베이즈 정리에서 사전 확률분포와 사후확률분포의 관계를 켤례 관계로 이해할수있다.3. 감마 분포
전통적으로 베르누이 시행의 이항분포로부터 특정 조건을 내걸고 이를 전제로 유도되는 푸아송 분포(Poisson distribution)는 이산 확률 분포이자 확률질량함수(pmf)이다. 이로 부터 연속확률분포인 감마분포(gamma(Γ) distribution)를 유도할수있다. 또한 감마분포로부터 그 유명한 맥스웰-볼츠만 분포도 자연스럽게 유도할수있다는 점에서 매우 주요한 틀로 이해해볼수있다.하지만 더욱 중요한 점은 현대 확률론에서 켤레 확률을 다룰수있는 베이즈 확률론으로 이해해볼때 감마분포같은 확률밀도함수(pdf)에서 푸아송확률과 같은 조건부확률에서 확률질량함수(pmf)를 유도할수있는 그 역방향도 가능한 길을 열어줄수있다는 점에서 시사하는 바가 매우 크다고 할수있다.
따라서 감마분포를 이해하고 다룬다는 것은 사전확률과 사후확률의 관계에서 켤레관계를 이해하고 이산 확률 분포와 연속확률분포의 관계를 연결짓는 매우 어려운 과정을 보여준다고 이해해볼수있다.
3.1. 감마 분포
3.1.1. 포아송 분포
포아송 분포(Poisson Distribution)[math( P(X=x)= \dfrac{\lambda^x e^{-\lambda}}{x!} )]
감마함수 [math( \Gamma(x+1)= x! )]
[math( = \dfrac{\lambda^x e^{-\lambda}}{\Gamma(x+1)} )]
그리고 [math( x+1= \alpha )]로 놓으면
[math( = \dfrac{\lambda^x e^{-\lambda}}{\Gamma(\alpha)} )]
이제 [math(\lambda)](람다)를 시간[math((t))]를 도입해 [math(\lambda t)]로 연속적[math(f(x))]으로 다루어보면
[math( f(x)= \dfrac{(\lambda t)^x e^{-\lambda t}}{\Gamma(\alpha )} \quad)]-(1)
3.1.2. 지수함수
[math( P(확률)=1 )]에서 지수항[math( \left( e^{-\lambda t} \right))]을 보수(complement)로 대입함으로써[math(f(t) = 1- P = 1- \left( e^{-\lambda t} \right) \quad)]-(2)을 얻을수있다.
(2)을 미분하면
[math( \dfrac{d (1-P)}{dt} = \dfrac{d \left(1- e^{-\lambda t} \right)}{dt} = \left( \lambda e^{-\lambda t} \right) \quad)]-(3)
(2)를 (3)에 대입하면
[math( f(x)= \dfrac{(\lambda t)^x \lambda e^{-\lambda t}}{\Gamma(\alpha )} )]
시간[math((t))]를 [math(x)]로 보내면
[math( f(x)= \dfrac{(\lambda x)^x \lambda e^{-\lambda x}}{\Gamma(\alpha )} )]
[math( f(x)= \dfrac{\lambda\lambda^x x^x e^{-\lambda x}}{\Gamma(\alpha )} )]
[math( f(x)= \dfrac{\lambda\lambda^x x^{x+1-1} e^{-\lambda x}}{\Gamma(\alpha )} )]
[math( f(x)= \dfrac{\lambda^{x+1} x^{\alpha-1} e^{-\lambda x}}{\Gamma(\alpha)} )]
[math( f(x)= \dfrac{\lambda^{\alpha} x^{\alpha-1} e^{-\lambda x}}{\Gamma(\alpha)} )]
감마 분포(Gamma distribution)를 얻을수있다.
4. 얼랑 분포
5. 카이제곱 분포
감마 분포(Gamma distribution)[math( f(x)= \dfrac{\lambda^{\alpha} x^{\alpha-1} e^{-\lambda x}}{\Gamma(\alpha)} )]
[math( \alpha = \dfrac{k}{2} , \lambda = \dfrac{1}{2} )]로 놓고 카이제곱 분포(Chi-Square Distribution)를 얻을수있다.
[math( f(x)= \dfrac{\left(\dfrac{1}{2}\right)^{\left(\dfrac{k}{2}\right)} x^{\left(\dfrac{k}{2}-1\right)} e^{-\left(\dfrac{x}{2}\right) }}{\Gamma\left(\dfrac{k}{2}\right)} )]
여기서 [math((k))]는 자유도(degrees of freedom, DOF)
6. 맥스웰-볼츠만 분포
감마 분포(Gamma distribution)[math( f(x)= \dfrac{\lambda^{\alpha} x^{\alpha-1} e^{-\lambda x}}{\Gamma(\alpha)} )]
[math( \alpha = \dfrac{3}{2} , \lambda = \dfrac{1}{2} )]로 놓고 확률 변수[math((x))] 를 속도 제곱[math((v^2))] 로 변환해 맥스웰-볼츠만 분포를 얻을수있다.
[math( f(v)= \dfrac{\left(\dfrac{1}{2}\right)^{\left(\dfrac{3}{2}\right)} {v^2}^{\left(\dfrac{3}{2}-1\right)} e^{-\left(\dfrac{v^2}{2}\right) }}{\Gamma\left(\dfrac{3}{2}\right)} )]
[math( = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} v e^{-\left(\dfrac{v^2}{2}\right)} = 기본항 )]
여기서 [math((k))]는 자유도(degrees of freedom, DOF) 3.
입자의 속도 벡터 [math((v)= (v_x,v_y,v_z))]는 3차원 공간에서 자유롭게 움직이므로 속도 성분을 제곱하여 합하면 물리적으로 입자의 속도 성분의 차원과 연결될수있는 카이제곱 분포를 따르는 맥스웰-볼츠만 분포의 기본형을 얻을수있다.
[math( = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} v e^{-\left(\dfrac{v^2}{2}\right)} \biggl( 온도질량볼츠만상수(\beta) 보정항\biggr) )]
[math( \beta = \dfrac{m}{kT} )]
[math( = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} v e^{-\left(\dfrac{v^2}{2}\right)} \left( {2\sqrt{2\pi}}\beta^{\left(\dfrac{3}{2}\right)} \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}v e^{-\dfrac{v^2}{2}\bigl(\beta-1 \bigr)} \right) )]
[math( = \left( 기본항 \right) \left( {2\sqrt{2\pi}}\beta^{\left(\dfrac{3}{2}\right)} \left( 기본항 \right)^{\bigl(\beta-1 \bigr)} \right) )]
7. 지수확률분포
[math( f(x;\alpha,\lambda) = \dfrac{\lambda^{\alpha} x^{\alpha-1} e^{-\lambda x}}{\Gamma(\alpha)} \quad,x > 0 \quad)] -(1)[math( \alpha)]는 형상 모수(shape parameter), [math( \lambda)]는 척도 모수(scale parameter) (또는 발생률 rate parameter로 쓰기도 함), [math( \Gamma(\alpha))]는 감마 함수로 [math( \Gamma(n)=(n−1)! )]을 만족.
따라서 (1)에서 [math( \alpha = 1)] 을 대입하고
[math( f(x;\lambda) = \lambda e^{-\lambda x})]
지수(확률)분포지수 분포(Exponential Distribution)를 조사할수있다.