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1. 개요
Length contraction특수 상대성 이론에서 도출되는 현상 중 하나로, 간단히 말해 관측자의 입장에서 등속운동하는 대상의 길이가 줄어드는 현상이다.
시간 지연과 밀접한 관계에 있는 현상이 길이 수축이다. 이는 시간 지연이 일어나면 필연적으로 따라오는 현상이다.
고유 길이가 [math(L')]인 어떠한 관성계에 대하여 [math(v)]의 속력으로 움직이는 물체의 길이는 해당 관성계에서
[math(\displaystyle \begin{aligned} L&=L' \sqrt{1-\left(\frac{v}{c} \right)^2 }\\&=\frac{L'}{\gamma} \end{aligned} )]
로 관측된다. [math(\gamma)]는 로런츠 인자이다.
2. 역사
19세기 말까지 빛의 매질로 상정되던 에테르(Luminiferous Ether)가 실재하는지 평가하는 가장 간단한 방법은, 에테르에 대해 움직이는 실험실(지표면)에서 광학적 실험의 결과가 그때그때 달라지는지 확인하는 것이었다. 실험 결과가 달라진다면, 그것은 에테르에 대한 실험실의 속도가 변했기 때문일 것이며, 따라서 에테르의 존재는 자연스레 증명된다. 이러한 종류의 실험 중 대표적인 예시였던 1887년 수행된 마이컬슨-몰리 실험은 빛의 진행방향에 따라 (실험실에 대한) 빛의 속력이 달라지는지를 측정하기 위한 것이었으나, 애초에 원하던 결과는 얻을 수 없었다. 자연은 적극적으로 에테르에 대한 운동의 증거를 가리고 있었다.1880년대부터 에테르 이론을 발전시켜오던 헨드릭 안톤 로런츠는, 자신의 이론이 마이컬슨-몰리 실험의 성공을 예측함에도 불구하고 기대와 다른 결과를 얻게 되자 1892년 기존의 이론에 추가로 "물체의 운동방향으로 그 길이가 [math(\sqrt{1-v^2/c^2})] 배 수축한다"는 Ad Hoc 가설을 제시하였다. 이것을 로런츠-피츠제럴드 수축(Lorentz-Fitzgerald Contraction)이라 한다.[1] 이 가설은 이후 대두된 특수 상대성 이론에 의해 수명을 다하기까지 로런츠 이론의 핵심적인 가설의 하나로서 기능하였으며, 특수 상대성 이론의 길이 수축 개념으로 이행되었다.
로런츠-피츠제럴드 수축은 특수 상대성 이론의 길이 수축과 정량적으로 일치하고 개념적으로 유사하지만 확연히 다른 점이 있다. 로런츠-피츠제럴드 수축은 물체가 에테르에 대하여 운동하면서 에테르와 상호작용하여 발생하는 역학적 효과이다. 이 효과는 순전히 물체의 에테르의 상호작용에 의한 것이기 때문에 어느 좌표계에서(특히 물체에 대해 정지한 좌표계에서) 보더라도 똑같이 관찰되어야 한다. 하지만 특수 상대성 이론에서는 에테르 개념을 도입하지 않으며, 물체의 운동을 정의하는 기준 또한 존재하지 않는다. 길이 수축은 물체와 관찰자의 상대 운동에 의해 결정되는 운동학적 효과이며, 물체에 대해 정지한 좌표계에서는 관찰되지 않는다.
3. 유도
3.1. 광속 불변의 원리를 이용한 설명
어떤 관성계를 기준으로 [math(v)]의 속력으로 등속 직선 운동하는 상자를 고려하자. 이 상자의 길이는 상자와 같이 움직이는 좌표계에서 측정했을 때, [math(L')]이고, 해당 관성계에서 측정했을 때, [math(L)]이다.시간 지연 문서에 나온 사고 실험을 쓸 것이나, 이번에는 레이저와 거울을 각각 왼쪽 벽과 오른쪽 벽에 운동방향과 수직으로 설치한다. 마찬가지로 레이저에서 광자 1개 정도가 나가는 펄스를 방사한다.
상자 내부에 있는 관찰자는 (가)와 같은 상황을 관측하게 된다. 이때, 빛이 레이저를 떠나 거울을 지난뒤 다시 레이저까지 오는데 걸린 시간은
[math(\displaystyle \begin{aligned} \Delta T'=\frac{2L'}{c} \end{aligned} )]
이번에는 상자 외부에 있는 관찰자는 (나)와 같은 상황을 관측하게 된다. 이때는 계산해야 할 시간을 두 부분 [math(T_{1})], [math(T_{2})]로 나누고, 이를 각각 레이저에서 거울까지 가는데 걸린 시간, 거울에서 반사돼 레이저까지 되돌아가는데 걸린 시간으로 정의한다. 상자는 빛이 이동 중에도 계속 이동하고 있음을 유의하면
[math(\displaystyle \begin{aligned} T_{1}=\frac{L+vT_{1}}{c} \quad \to \quad T_{1}=\frac{L}{c-v} \end{aligned} )]
빛이 반사되어 되돌아가는 시간에도 상자는 이동 중이므로
[math(\displaystyle \begin{aligned} T_{2}=\frac{L-vT_{2}}{c} \quad \to \quad T_{2}=\frac{L}{c+v} \end{aligned} )]
이 좌표계에서 관측한 레이저까지 다시 빛이 돌아오는 데 걸린 시간은 [math(T_{1}+T_{2})]이므로
[math(\displaystyle \begin{aligned} \Delta T&=\frac{2Lc}{c^2-v^2}\\&=\frac{1}{1-\left(\dfrac{v}{c} \right)^2} \frac{2L}{c}\\ &=\gamma^2 \cdot \frac{2L}{c} \end{aligned} )]
한편, 시간 지연에 따라 [math(\Delta T=\gamma \Delta T')]이므로
[math(\displaystyle \begin{aligned} \Delta T'=\gamma \cdot \frac{2L}{c} \end{aligned} )]
한편, [math(\Delta T'=2L'/c)]임에 따라 이것을 대입하고, 상수인 광속을 약분시키면 다음을 얻는다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} L=\frac{L'}{\gamma} \end{aligned} )]
이 식으로부터 빠르게 움직이는 물체는 정지 길이보다 짧게 측정된다는 것을 알 수 있다. 물론 광속보다 대단히 느린 물체에 대한 길이 수축 효과는 대단히 작다. 예를 들어 순간적으로 [math(35\,{\rm km/h})]에 이르는 부르즈 할리파의 초고속 엘리베이터에 탄 키 [math(180\,{\rm cm})]인 사람은 밖에서 보기에 [math(9.465 \times 10^{-14}\,{\rm cm})]가 줄어드는 정도의 효과 밖에 없다. 이는 양성자 하나 크기 정도에 불과하다.
3.2. 로런츠 변환을 이용한 설명
길이의 측정은 일정 시간 동안 정지한 자를 고려해야 하는데, 로런츠 변환에 의해 공간축이 회전하기 때문이다. 관성계 [math(\mathcal{O})]에 대하여 [math(v)]의 속력으로 움직이는 관성계 [math(\mathcal{O}')]에 정지한 자의 양 끝을 [math({\rm P}(ct_{\rm P}',\,x_{\rm P}'))], [math({\rm Q}(ct_{\rm Q}',\,x_{\rm Q}'))]이라 하자. 이 때 각각의 [math(t' = t'_0)]에 대하여 [math(L'=x_{\rm Q}'-x_{\rm P}')]가 고유 길이가 된다.한편, [math(\mathcal{O})]에서는 양 끝이 로런츠 역변환에 따라 다음과 같은 좌표로 바뀐다.
[math(\displaystyle {\rm P}\left(\gamma\left(ct_{\rm P}' + \beta x_{\rm P}'\right), \gamma\left(x_{\rm P}' + \beta ct_{\rm P}'\right)\right))]
[math(\displaystyle {\rm Q}\left(\gamma\left(ct_{\rm Q}' + \beta x_{\rm Q}'\right), \gamma\left(x_{\rm Q}' + \beta ct_{\rm Q}'\right)\right))]
이 좌표계에서 길이를 재려면 시간 좌표가 같은 양 끝을 골라야 한다. 즉
[math(\displaystyle \gamma\left(ct_{\rm P}' + \beta x_{\rm P}'\right) = \gamma\left(ct_{\rm Q}' + \beta x_{\rm Q}'\right))]
라 두면
[math(\displaystyle c\left(t_{\rm P}' - t_{\rm Q}'\right) = \beta L')]
을 얻으며, 이때 자의 길이는
[math(\displaystyle \begin{aligned} L &= \gamma\left[\left(x_{\rm Q}' - x_{\rm P}'\right) - \beta c\left(t_{\rm P}' - t_{\rm Q}'\right)\right] \\ &= \gamma\left(L' - \beta ^2 L'\right) \\ &= \frac{L'}{\gamma} \end{aligned})]
이것을 민코프스키 다이어그램으로 나타내면 아래와 같다.
위 그림에는 오류가 존재한다. 겉보기에는 정성적으로 올바르게 보이지만, 직접 계산해보면 값이 일치하지 않는다. 이제 그림의 오류를 구체적으로 설명하겠다.
먼저, 사건 P와 Q는 움직이는 관찰계에서는 동시에 발생한 것으로 간주된다. 사건 P와 Q를 연결하는 모든 점들의 사건을 하나의 막대로 간주할 때, 선분 PQ는 ct 가 증가함에 따라 x-축을 기준으로 관찰하면 사건 P와 Q는 동시에 관측되지 않는다. (사건 P가 먼저 발생하고 이후 Q가 발생하는 것으로 보인다.)
정지 관찰계 기준으로 막대 PQ의 수축된 길이를 계산하려면, 막대 PQ의 길이를 유지한 상태에서 점 P를 원점에 위치시키고, 점 Q를 x-축 상에 놓아야 한다. 이후, 점 Q를 지나면서 y(=ct)-축과 평행한 선과 x'-축이 교차하는 지점을 지나는 쌍곡선을 구해야 한다. 이 쌍곡선에서 y(=ct)=0 일 때의 x 값이 정확한 수축된 막대의 길이가 된다. 구한 쌍곡선 : x^2-y(=ct)^2=(수축된 막대길이)^2
4. 같이보기
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