1. 개요
스위스 수학자 니콜라우스 베르누이 1세가 제시한 문제 유형.2. 문제
||<tablebordercolor=#8258FA>10명의 손님이 식당에 들어가기 전 모자를 하나씩 카운터에 맡겨놨다. 나중에 다시 카운터에 찾아가 모자를 찾았는데, 점원은 똑같이 생긴 모자들을 보고 아무렇게나 나눠주었다. 그런데 모자를 살펴보던 손님들은 전부 자기 모자가 아니라고 하였다.어떻게 안 겨 이렇게 될 확률은 얼마나 될까? ||
- [ 해답 ]
- ||<tablebordercolor=#552582>위와 같은 상황에서, n명의 사람들이 n개의 모자를 전부 잘못 받을 경우의 수([math(\displaystyle a_n)])는 다음과 같다.
[math(\displaystyle a_n =n! \sum_{k=2}^{n} (-1)^{k} \frac{1}{k!}=n!(\frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} \cdot \cdot \cdot + (-1)^{n} \frac{1}{n!}))]
10명일 때 모자를 나눠주는 경우의 수는 총 10!이므로 확률은 앞의 n!을 떼고 계산하면 된다. 계산하면 확률은 36.787946%이다. 또 사람이 무한히 많아질 경우 확률이 1/e로 수렴하는 것으로도 유명하다. 자세한 것은 완전순열 문서 참조.
참고로 위 문제에서 가장 많이 나오는 오답이 10%다. 처음 사람이 잘못 받을 확률은 9/10, 두 번째 사람이 잘못 받을 확률은 8/9.. 이런식으로 계산해서 10%가 나오는 것. 다만 이 계산은 모자를 받는 사람의 순서가 확실하게 정해져 있을 때 성립이 가능하며, 지금의 경우에서는 적용하기 어렵다. ||
3. 기타
- 이 문제는 오일러가 처음 해결했으며, 프랑스 수학자 몽모르가 한 쌍이 되는 문제를 제기하고 해결한 적이 있었다. 몽모르의 문제는 위의 문제에서 '최소 1명이 자기 모자를 받을 확률'로 바꾼 거와 같다.
- 편지를 잘못 보낸 경우로 바꾼 버전도 있다.
4. 참고 자료
- 당상빈 저. <창의력에 생각을 더하는 영재수학>. 성기환 역. 도서출판 예가. 2006년. 314p