1. 개요
Moser's circle problem / 모저의 원 문제모저의 원 문제는 오스트리아의 수학자 레오 모저(Leo Moser)가 제안한 문제로 원에 내접하는 임의의 [math(n)]각형의 같은 점에서 세 대각선 이상 만나지 않는 대각선과 변이 나누는 원의 구역의 개수에 관한 문제다.
2. 상세
얼핏 보기에서는 [math(n)]각형일때 나뉜 구역의 개수는 [math(2^{n-1})]개로 보이지만, [math(n=5)]인 경우에는 [math(2^n)]꼴이 아닌 31개의 구역으로 나뉜다.그렇다면, 이 나뉜 구역의 개수에는 규칙성이 없는걸까?
3. 해결법
3.1. 귀납적 방법
한 다각형에서 새로운 한 점을 추가한 경우를 생각해보자. 그다음 다각형의 원래 있던 점들을 왼쪽에서 오른쪽에 있는 순서대로[1] 점의 순서를 [math(1,2,3,..., k)]로 순서를 매겨보자. 그러면, [math(i)]번째 점과 새로운 점을 이은 선분은 원래 있던 대각선과 [math((n-i-1)(i-1))]개의 새로운 점이 생긴다. 그리고 각 선마다 [math((n-i-1)(i-1)+1)]개의 새로운 구역이 생긴다. 그러므로 함수 [math(f(n))]은 다시 이렇게 쓸 수 있다.[math(f(n)=f(n-1)+\displaystyle \sum_{i=1}^{k}((n-i-1)(i-1)+1))]
이 식을 정리하면, [math(f(n)=\dfrac{n}{24}(n^3-6n^2+23n-18))]
이로써 점화식을 얻을 수 있다.
[1] 왼쪽에서 오른쪽으로 해도 상관 없다.