1. 개요
근과 계수의 관계를 활용하는 문제는 고등학교 1학년 과정[1]에서 처음으로 다루며, 곱셈 공식을 활용하도록 하는 문제가 대표적이다. 이런 문제는 방정식의 근이 정수가 되지 않도록 출제하는 것이 중요하다. 방정식이 근이 정수가 되면 아래와 같은 문제를 근과 계수의 관계로 푸는 것이 아니라 단순히 방정식을 직접 풀어서 쉽게 풀어버릴 수 있기 때문이다. 따라서 출제자 입장에선 근이 무리수나 허수[2]가 되도록 출제하여 방정식을 직접 풀면 계산이 매우 복잡해지도록 하는 것이 포인트이다.[3][4]또 근을 주고 모든 항의 계수의 합이나 곱을 구하는 문제도 나온다. 이럴 경우 허근의 성질과 엮어서 출제하는 것도 가능하다. 예를 들어 어떤 실계수의[5] 사차방정식에 대하여 세 근이 [math(2, -4, 1+3i)]라면[6], [math(1-3i)]도 근이라는 것을 파악해야 풀 수 있다. 보통 최고차항의 계수는 계산하기 편하게 1인 경우가 많지만, 3차 이하의 방정식에서는 가끔씩 2~5인 경우도 나오며 음수가 나올 수도 있다. 헷갈리지 않게 주의하자.[7]
사실 고차방정식 문제가 이차방정식 문제보다 더 쉬운 경우도 많은데[8], 이차의 경우는 항의 계수를 무리수로 한다거나, 최고차항의 계수가 음수라거나 식의 함정을 많이 깔아놓지만, 삼차나 사차는 자칫하면 고등학교 교육과정 내의 풀이를 벗어날 우려가 있고,[9] 난이도 조절 문제도 있기 때문에 막상 풀어보면 한 자리 정수 범위 내에서 근이 구해지는 경우가 대다수다.
1.1. 이차방정식
| [문제 1] 이차방정식 [math(2x^2+3x-8=0)]의 두 근을 각각 [math(\alpha)], [math(\beta)]라 하자. [math(\alpha^2+\beta^2)], [math(\alpha^3+\beta^3)], [math(\dfrac{1}{\alpha}+\dfrac{1}{\beta})]의 값을 각각 구하시오. |
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이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 [math( \displaystyle\alpha+\beta=-{3}/{2},\;\alpha\beta=-4)]이므로 곱셈 공식에 의하여
[math( \displaystyle \begin{aligned} \alpha^2+\beta^2&=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta \\& =\left(\displaystyle-\frac{3}{2}\right)^2-2\cdot (-4) \\&=\displaystyle\frac{41}{4} \\ \\ \alpha^3+\beta^3&=(\alpha+\beta)^3-3\alpha\beta(\alpha+\beta)\\&=\left(\displaystyle-\frac{3}{2}\right)^3-3\cdot (-4)\cdot \displaystyle\left(-\frac{3}{2}\right)\\&=\displaystyle-\frac{171}{8}\\ \\ \dfrac{1}{\alpha}+\dfrac{1}{\beta}&=\dfrac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}=\dfrac38 \end{aligned} )]
곱셈 공식이 아니면서 근과 계수의 관계로 값을 구하는 식으로는 [math(1/\alpha+1/\beta)]이라는 재미있는 형태가 있다. [math(1/\alpha)]과 [math(1/\beta)]의 값을 각각 구하기는 매우 번거롭지만 통분을 하면 절묘하게 분모는 두 근의 곱이 되고 분자는 두 근의 합이 되어 값을 간단히 구할 수 있기 때문이다.
| [문제 2] 이차방정식 [math(\sqrt{2}x^2-ax+b=0)]의 두 근을 각각 [math(\sqrt{2}+\sqrt{5})], [math(\sqrt{7}-\sqrt{3})]이라 하자. [math(a+b)]보다 작은 가장 큰 정수를 구하시오. (단, [math(\sqrt{2}=1.414, \sqrt{3}=1.732, \sqrt{5}=2.236, \sqrt{7}=2.646)]이다.) |
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[math(1.414*(1.414+2.236+2.646-1.732)=6.453496)]이므로 [math(a)]의 값은 약 [math(6.4535)]이고, [math(1.414*(1.414+2.236)*(2.646-1.732)=4.7172454)]이므로 [math(b)]의 값은 약 [math(4.7172)]이다. [math(6.4535+4.7172=11.1707)]이므로 구하고자 하는 [math(a+b)]보다 작은 최대의 정수는 [math(11)]이다.
1.2. 삼차방정식
| [문제] 삼차방정식 [math(2x^3-x^2-4x+5=0)]의 세 근을 각각 [math(\alpha)], [math(\beta)], [math(\gamma)]라 하자. [math(\alpha^2+\beta^2+\gamma^2)], [math(\alpha^3+\beta^3+\gamma^3)]의 값을 각각 구하시오. |
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삼차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 [math( \displaystyle\alpha+\beta+\gamma={1}/{2},\;\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=-2,\;\alpha\beta\gamma=\displaystyle-{5}/{2})]이므로 곱셈공식에 의하여
[math( \displaystyle \begin{aligned} \alpha^2+\beta^2+\gamma^2&=(\alpha+\beta+\gamma)^2-2(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha) \\& =\displaystyle\left(\frac{1}{2}\right)^2-2 \cdot (-2) \\& =\displaystyle\frac{17}{4} \\ \\ \alpha^3+\beta^3+\gamma^3&=(\alpha+\beta+\gamma)\{\alpha^2+\beta^2+\gamma^2-(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)\}+3\alpha\beta\gamma \\&=\displaystyle{\frac{1}{2}}\left\{\displaystyle{\frac{17}{4}}-(-2) \right\}+3 \cdot \left(\displaystyle-\frac{5}{2}\right)\\& =\displaystyle-\frac{35}{8} \end{aligned} )]
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| 2015학년도 경찰대 21번 |
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삼차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여[math(\alpha+\beta+\gamma=-\dfrac04=0)]
이므로 곱셈 공식에 의하여 다음이 성립한다.
즉, [math(\alpha^3+\beta^3+\gamma^3=3\alpha\beta\gamma)]이다. 또한 삼차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여[math(\begin{aligned}\alpha^3+\beta^3+\gamma^3-3\alpha\beta\gamma&=(\alpha+\beta+\gamma)(\alpha^2+\beta^2+\gamma^2-\alpha\beta-\beta\gamma-\gamma\alpha)\\&=0\end{aligned})] [math(\alpha\beta\gamma=-\dfrac{1004}4=-251)]
이므로 문제의 식을 다음과 같이 계산할 수 있다.
이 문제에서는 [math(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)]의 값을 구할 필요가 없다.[math(\begin{aligned}(\alpha+\beta)^3+(\beta+\gamma)^3+(\gamma+\alpha)^3&=(-\gamma)^3+(-\alpha)^3+(-\beta)^3\\&=-3\alpha\beta\gamma=753\end{aligned})]
1.3. 사차방정식
| [문제 1] 사차방정식 [math(x^4-2x^3-12x^2-22x+35=0)]의 두 실근을 [math(a, b)], 두 허근을 [math(c, d)]라고 할 때, [math(cd(a+b))]의 값을 구하시오. |
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우선 사차방정식의 두 실근을 구해 준다.
상수항을 뒤로 이항하면 [math(x^4-2x^3-12x^2-22x=-35)]가 되며, [math(1)]과 [math(5)]를 대입하면 성립한다. 따라서 [math(a=1, b=5)]이다.
이제 (이차식)×(이차식) 꼴로 인수분해하여 주면,
[math((x^2-6x+5)(x^2+4x+7))]이 된다.
이차방정식 [math(x^2+4x+7=0)]의 두 근은 모두 허근이고 (처음에 두 실근과 두 허근이라고 언급하였으므로) 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 두 근의 곱은 [math(7)]이 된다. 따라서 [math(cd=7)]이므로 구하고자 하는 값은 [math(42)]이다.
| [문제 2] 실수 [math(p, q, r, s)]에 대하여 사차방정식 [math(x^4+px^3+qx^2+rx+s=0)]의 두 근이 [math(2+3i, 3-4i)]일 때, [math(p+q+r+s)]의 값을 구하시오. |
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실계수의 다항방정식에 대하여 [math(a+bi)]가 근이면 [math(a-bi)]도 근이므로 나머지 두 근은 [math(2-3i, 3+4i)]이다.
두 근이 [math(2+3i, 2-3i)]인 이차방정식은 [math(x^2-4x+13)]이고, [math(3+4i, 3-4i)]인 이차방정식은 [math(x^2-6x+25)]이므로 구하고자 하는 사차방정식은 [math((x^2-4x+13)(x^2-6x+25))]가 된다.
이 때 [math(x)]에 [math(1)]을 대입하면 [math((1-4+13)(1-6+25)=10*20=200=1+p+q+r+s)]가 되므로, 구하고자 하는 [math(p+q+r+s)]의 값은 [math(199)]이다.
여기서는 [math(p, q, r, s)]의 값을 각각 따로 구할 필요가 없다.[10]
[1] 2015 개정 교육과정 기준[2] 단, 허근은 2개 밖에 못 넣고 그마저도 아래 4차방정식 예제와 같이 켤레복소수이기 때문에 미분을 미리 배워뒀다면 실근의 추정치를 구할 수 있게 되어 상당히 쉬워진다.[3] 단, 사차방정식의 경우는 예외이다. 인수분해가 되기는 하는데 실수체 위에서 기약인 이차식 둘이 곱해진 사차식(즉, 유리수 범위에서 일차식으로 인수분해할 수 없는 사차식)도 있어 결국 사차방정식의 근의 공식 유도를 이용해야 하는, 굉장히 복잡한 문제가 될 수 있기 때문. 고등학교 과정에서 사실상 이쪽은 이차방정식의 근과 계수 문제나 마찬가지이고, 한 이차식은 근이 정수, 다른 이차식은 무리수 혹은 허수인 방정식이 출제되는 경향이 있다. 간혹 네 근이 전부 정수로 나오는 경우도 있는데, 어느 쪽이건 수준은 비슷하다.[4] 그렇다고 해서 네 근이 모두 허수인 사차방정식이 출제되지 않는 것은 아닌데, 문제에서 어떤 근이 허수인지 사전에 고지했을 때는 가능하다. 다만 허근 하나를 알려준다는 것은 켤레복소수의 존재로 인해 곧 두 근을 알려준다는 뜻이고, 그러면 이차방정식의 근과 계수 문제와 다를 게 없다.[5] 그마저도 3차나 4차 방정식일 경우 항의 계수가 무리수이면 지나치게 복잡해질 우려가 있기에, 정수일 가능성이 매우 높다.[6] [math((x^2+2x-8)(x^2-2x+10)=x^4-2x^2+36x-80)][7] 별 거 아니라고 생각할 수도 있지만 시험에 출제되면 의외로 많이 틀린다.[8] 고등학교에서의 이차방정식 문제는 작정하고 어렵게 내면 매우 어렵다.[9] 예를 들면 앞서 언급한 실수체에서 기약인 이차식 두 개로만 인수분해가 가능한 경우는 근의 공식을 유도하면서 풀어야 한다.[10] 위의 식을 전개하면 각각의 값을 구할 수 있기는 하다.