, 베르세르크의 등장 개념에 대한 내용은 유계(베르세르크) 문서
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참고하십시오.1. 개요
bounded / 有界순서 집합 [math(X)]의 부분집합 [math(A)]에 대하여, 집합 [math(A)]에 속하는 모든 원소보다 크거나 같은 수 [math(x(\in X))]가 존재하면 [math(x)]를 '상계(上界, upper bound)'라 하고 '집합 [math(A)]는 위로 유계(bounded above)'라 한다. 반대로, 집합 [math(A)]에 속하는 모든 원소보다 작거나 같은 수 [math(x(\in X))]가 존재하면 [math(x)]를 '하계(下界, lower bound)'라 하고 '집합 [math(A)]는 아래로 유계(bounded below)'라 한다. [math(A)]가 위로 유계이면서 동시에 아래로 유계인 경우, '집합 [math(A)]는 유계(bounded)'라고 한다. 또한, 집합 [math(A)]의 상계 중 최솟값을 '최소상계(least upper bound)' 또는 '상한(上限, supremum)'이라 하고 [math(\sup A)]라고 표기한다. 마찬가지로, 하계 중 최댓값을 '최대하계(greatest lower bound)' 또는 '하한(下限, infimum)'이라 하고 [math(\inf A)]라고 표기한다.
[math(X=\R)]일 때, 즉 실수 집합에서 생각해보면, 유계인 집합의 대표적인 예시로 구간이 있다. 예를 들어, 열린 구간 [math((0, 1))]에 대하여 [math(0)]과 [math(1)] 사이의 모든 수보다 큰 수인 [math(2)], [math(0)]과 [math(1)]사이의 모든 수보다 작은 수인 [math(-1)]이 각각 존재하므로 열린구간 [math((0, 1))]는 유계인 집합이다.
2. 상세
2.1. 실수집합에서
2.1.1. 상계와 하계
실수 전체의 집합 [math(\R)]의 부분집합 [math(X)]에 대해서, 집합 [math(X)]에 속하는 모든 원소보다 크거나 같은 실수를 [math(X)]의 상계라고 한다. 비슷하게, [math(X)]에 속하는 모든 원소보다 작거나 같은 실수를 [math(X)]의 하계라고 한다. 예를 들어 열린 구간 [math((0, 1))]의 상계는 구간 [math([1, \infty))]의 임의의 원소가 가능하다. 마찬가지로 구간 [math((-\infty, 0])]의 모든 원소는 구간 [math((0, 1))]의 하계가 될 수 있다.[math(X)]의 원소이면서 [math(X)]의 상계 또는 하계가 되는 것도 가능하다. 예를 들어 1은 닫힌 구간 [math([0, 1])]의 모든 원소보다 크거나 같고, 따라서 상계가 된다.
2.1.2. 상한과 하한
상한과 하한은 각각 상계의 최솟값과 하계의 최댓값을 말한다. 즉, 집합 [math(X)]의 상한은 [math(X)]의 모든 원소보다 크거나 같은 수들 중 가장 작은 수를, 하한은 [math(X)]의 모든 원소보다 작거나 같은 수들 중 가장 큰 수를 말한다. 열린 구간에서 볼 수 있듯이 모든 집합에 대해 최솟값과 최댓값이 존재하는 것은 아니다. 하지만 상한과 하한은 최대/최솟값을 갖지 않는 유한 열린구간에도 존재하며, 따라서 상한과 하한을 최대, 최솟값의 일반화라 볼 수 있다. 예를 들어 [math((0, 1))]는 최댓값과 최솟값이 존재하지 않지만 상계 [math([1, \infty))]의 최솟값과 하계 [math((-\infty, 0])] 최댓값은 각각 [math(1)]과 [math(0)]으로 존재한다.2.1.3. 유계
집합 [math(X)]가 상계(하계)를 가지면 [math(X)]는 위로(아래로) 유계라고 부르며, [math(X)]가 위로 유계인 동시에 아래로 유계인 경우 [math(X)]를 유계인 집합이라고 한다. 유계 개념은 함수, 수열[1], 함수열 등에도 적용할 수 있는데, 이를 이용해 실수의 완비성(completeness)의 한 형식을 나타낼 수 있다.[2] 또한 원점을 중심으로 한 ball을 이용하여 [math(\R^n)]으로 유계 개념을 확장할 수 있다. 닫힌 구간 내에서 유계인 함수는 균등 연속성, 리만적분 가능성 등의 여러 좋은 성질들을 갖는다.2.2. 거리공간에서
해석학에서의 유계 개념은 위상수학에서 거리공간까지 확장 가능하다. 즉, 실수에서의 유계개념은 거리공간에서 정의된 유계 개념의 한 특수한 예이다.2.2.1. 유계
거리공간 [math((X, d))]에 대해 [math(X)]의 부분집합 [math(A)]가 유계라 함은 [math(A\subset B_d(x, r))]을 만족시키는 점 [math(x\in X)]와 실수 [math(r>0)]이 존재함을 뜻한다. 이때 점 [math(x)]는 반드시 집합 [math(A)]의 점일 필요가 없음에 주의하자.동치인 명제로 [math(\forall a, b \in A \subset X)]에 대하여 실수 [math(\exist r\in \R^{+}\cup\{0\})]이 존재하여 [math(\sup(d(a,b))\le r)]이라는 명제가 있다.
3. 기타
일상에서는 상한선, 하한선이라는 용어를 사용하는데, 근본적으로는 유계를 염두에 둔 것이라고 볼 수 있다.대표적인 용례로 진급 상한선이 있다.