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1. 개요
2022 개정 교육과정의 고등학교 수학 교과목 <전문 수학>에 대한 문서이다. 과학 계열 진로 선택 과목으로서, 기본 학점 및 증감 범위는 시·도 교육감이 정한다. 일반적으로 과학고등학교 등은 <공통수학 1, 2>, <대수>, <미적분Ⅰ>[1]을 학습한 뒤 다른 일반계 진로 선택, 융합 선택 과목들을 모두 건너 뛰고, 이 <전문 수학>을 학습한 뒤에 고급 과목을 이수한다.1.1. 성격
‘전문 수학’은 삼각함수와 미적분, 기하, 확률과 통계의 심화된 내용을 이해하고 탐구하는 과목이다. ‘전문 수학’은 수학의 여러 영역의 내용을 이해하는 데 도움을 주며 타 교과 학습의 기초가 된다.‘전문 수학’을 학습한 학생들은 미적분을 활용하여 자연 및 사회 현상을 분석하고 해석하며 수학의 유용성을 인식할 수 있고, 도형의 성질을 추측하고 증명하는 과정을 통해 공간 추론 능력을 기를 수 있으며, 도형을 좌표공간에서 순서쌍과 방정식으로 나타냄으로써 수학 영역 사이의 연결성을 이해할 수 있다. 또한 경우의 수와 확률, 통계 지식을 바탕으로 자료를 목적에 맞게 수집, 변환, 종합하여 정리하는 과정에서 데이터 기반 소양을 함양할 수 있고 적절한 교구나 공학 도구를 활용함으로써 정보처리 능력을 기를 수 있다. ‘전문 수학’은 자신의 진로와 적성을 고려하여 더욱 심화된 수학을 학습하기를 원하는 학생들이 선택할 수 있다. ‘전문 수학’은 자연과학, 공학, 의학뿐만 아니라 경제⋅경영학을 포함한 사회과학, 인문학, 예술 및 체육 분야를 학습하는 데 기초가 되며, 나아가 학생이 적성을 발견하고 진로를 설계하는 기반을 제공한다.
학생들은 ‘전문 수학’의 학습을 통해 수학 지식을 이해하고 수학적 사고 과정에 요구되는 기능을 형성하며 수학의 가치를 인식하고 바람직한 수학적 태도를 갖추어 수학 교과 역량을 함양할 수 있다. 또한 ‘전문 수학’을 학습하는 과정에서 협력하여 문제를 해결하고 성찰하는 경험을 통해 다른 사람에 대한 포용성을 갖춘 민주 시민이자 인간과 환경의 공존 및 지속가능한 발전을 추구하며 사회적 책임감을 가지고 합리적으로 의사 결정하는 세계 공동체의 일원으로 성장할 수 있다.
1.2. 목표
‘전문 수학’의 개념, 원리, 법칙을 이해하고 수학의 가치를 인식하며 바람직한 수학적 태도를 길러 수학적으로 추론하고 의사소통하며 다양한 현상과 연결하여 정보를 처리하고 문제를 창의적으로 해결하는 수학 교과 역량을 함양한다.(1) 수학적 지식을 이해하고 활용하여 적극적이고 자신감 있게 여러 가지 문제를 해결한다.
(2) 수학적 사실에 흥미와 관심을 갖고 추측과 정당화를 통해 추론한다.
(3) 수학적 사고와 전략에 대해 의사소통하고 수학적 표현의 편리함을 인식한다.
(4) 수학의 개념, 원리, 법칙 간의 연결성을 탐구하고 실생활이나 타 교과에 수학을 적용하여 수학의 유용성을 인식한다.
(5) 목적에 맞게 교구나 공학 도구를 활용하며 자료를 수집하고 처리하여 정보에 근거한 합리적 의사 결정을 한다.
2. 내용 체계 및 성취기준
- 핵심 아이디어
- 여러 가지 함수를 미분하고 적분하는 방법은 다양한 변화 현상을 표현하고 분석하기 위한 유용한 도구이다.
- 방정식과 벡터는 평면도형과 공간도형의 기하적 성질을 대수적으로 탐구할 때 활용된다.
- 통계는 확률의 성질과 정리를 활용하여 예측하고자 하는 집단의 속성을 표본으로부터 추정하여 사회의 불확실성을 이해하는 데 유용한 도구이다.
- 지식⋅이해
- 삼각함수와 미적분
- 삼각함수의 활용
- 삼각함수와 역삼각함수의 그래프
- 미분법
- 적분법
- 기하
- 이차곡선
- 공간도형과 공간좌표
- 벡터
- 확률과 통계
- 경우의 수
- 확률
- 통계
- 과정⋅기능
- 연역적 추론을 통해 삼각함수와 관련된 공식, 기하와 관련된 명제 증명하기
- 삼각함수의 그래프 그리기
- 삼각함수와 미적분, 기하, 확률과 통계의 개념, 원리, 법칙, 성질을 설명하기
- 수학의 개념, 성질, 공식, 규칙에 근거하여 값 또는 식을 구하기
- 삼각함수와 미적분, 기하, 확률과 통계의 개념, 원리, 법칙을 활용하기
- 도형을 방정식과 벡터로 표현하기
- 적절한 전략을 사용하여 문제해결하기
- 삼각함수와 미적분, 기하, 확률과 통계의 개념, 원리, 법칙, 관계를 탐구하기
- 적절한 공학 도구를 이용하여 수학적 대상 탐구하기
- 모평균 및 모비율을 추정하기
- 기하, 확률과 통계의 개념을 실생활과 연결하기
- 가치⋅태도
- 연역적으로 증명하여 논리성을 추구하는 태도
- 문제해결 도구로서의 이차곡선과 벡터의 유용성 인식
- 확률 및 통계적 근거를 바탕으로 합리적으로 의사 결정을 하는 태도
2.1. 삼각함수와 미적분
| (1) 삼각함수와 미적분 | ||
| [12전수01-01]삼각함수와 관련된 여러 가지 공식을 증명하고, 이를 활용할 수 있다. [12전수01-02]코시컨트함수, 시컨트함수, 코탄젠트함수의 그래프를 그리고, 그 성질을 설명할 수 있다. [12전수01-03]역삼각함수의 뜻과 성질을 이해하고, 그 그래프를 그릴 수 있다. [12전수01-04]코시컨트함수, 시컨트함수, 코탄젠트함수, 역삼각함수를 미분하고, 여러 가지 함수의 고계도함수를 구할 수 있다. [12전수01-05]로피탈의 정리를 이해하고, 이를 활용할 수 있다. [12전수01-06]구분구적법을 이해하고, 정적분의 뜻을 설명할 수 있다. [12전수01-07]다양한 적분 방법을 이용하여 여러 가지 함수의 부정적분과 정적분을 구할 수 있다. | ||
| {{{#!folding ■ 성취기준 해설 | • [12전수01-01] 삼각함수의 합성, 배각의 공식, 반각의 공식, 삼각함수의 곱을 삼각함수의 합 또는 차의 꼴로 나타내는 공식, 삼각함수의 합 또는 차를 삼각함수의 곱의 꼴로 나타내는 공식을 다룬다. • [12전수01-03] 아크사인함수, 아크코사인함수, 아크탄젠트함수, 아크코시컨트함수, 아크시컨트함수, 아크코탄젠트함수를 다룬다. • [12전수01-04] 다항함수, 지수함수와 로그함수, 삼각함수, 역삼각함수 등 다양한 함수의 고계도함수를 구하게 한다. • [12전수01-07] 삼각함수의 거듭제곱의 곱으로 나타낸 함수의 적분, 삼각치환을 이용한 적분법, 유리함수의 적분을 다룬다. 유리함수를 부분분수의 형태로 나타내어 적분할 때, 임의의 다항함수는 1차 인수와 기약인 2차 인수의 곱으로 인수분해할 수 있음을 증명된 사실로 받아들이고 사용하게 한다. | }}} |
| {{{#!folding ■ 성취기준 적용 시 고려사항 | • ‘삼각함수와 미적분’ 영역에서는 용어와 기호로 ‘삼각함수의 합성, 배각의 공식, 반각의 공식, 역삼각함수, 이계도함수, 고계도함수, 로피탈의 정리, 구분구적법, [math(\rm sin^{-1} \it x)], [math(\rm arcsin \it x)], [math(\rm cos^{-1} \it x)], [math(\rm arccos \it x)], [math(\rm tan^{-1} \it x)], [math(\rm arctan \it x)], [math(y)], [math(f(x))], [math(\dfrac{d^2 y}{dx^2})], [math(\dfrac{d^2}{dx^2} f(x))], [math(y^{(n)})], [math(f^{(n)}(x))], [math(\dfrac{d^n y}{dx^n})], [math(\dfrac{d^n}{dx^n} f(x))]’을 다룬다. | }}} |
2.2. 기하
| (2) 기하 | ||
| [12전수02-01]이차곡선의 뜻을 알고, 이차곡선을 방정식으로 표현할 수 있다. [12전수02-02]이차곡선의 접선의 방정식을 구할 수 있다. [12전수02-03]직선과 평면에 관한 여러 가지 명제를 증명하고, 이를 활용하여 문제를 해결할 수 있다. [12전수02-04]도형의 정사영의 뜻을 알고, 도형과 정사영의 관계를 탐구할 수 있다. [12전수02-05]좌표공간에서 두 점 사이의 거리와 선분의 내분점, 외분점의 좌표, 구의 방정식을 구할 수 있다. [12전수02-06]벡터의 뜻을 알고, 벡터의 덧셈, 뺄셈, 실수배를 할 수 있다. [12전수02-07]위치벡터, 내적과 외적의 뜻을 알고, 이를 활용할 수 있다. [12전수02-08]벡터를 이용하여 직선과 평면, 원과 구의 방정식을 구할 수 있다. | ||
| {{{#!folding ■ 성취기준 해설 | • [12전수02-03] 직선과 직선, 직선과 평면, 평면과 평면의 위치 관계, 삼수선 정리를 다룬다. • [12전수02-07] 벡터를 표현하는 방법에는 기하적 방법과 대수적 방법이 있음을 인식하게 한다. | }}} |
| {{{#!folding ■ 성취기준 적용 시 고려사항 | • ‘기하’ 영역에서는 용어와 기호로 ‘이차곡선, 포물선(축, 꼭짓점, 초점, 준선), 타원(초점, 꼭짓점, 중심, 장축, 단축), 쌍곡선(초점, 꼭짓점, 중심, 주축, 점근선), 교선, 삼수선 정리, 이면각(변, 면, 크기), 정사영, 좌표공간, 공간좌표, , 외분, 벡터, 시점, 종점, 벡터의 크기, 단위벡터, 영벡터, 실수배, 평면벡터, 공간벡터, 위치벡터, 벡터의 성분, 내적, 외적, 방향벡터, 법선벡터, [math(\overrightarrow{\rm AB})], [math(\overrightarrow {a})], [math(| \overrightarrow{a} |)], [math(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b})], [math(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b})]’를 다룬다. • 벡터는 평면벡터와 공간벡터를 다룬다. • 평면도형과 공간도형을 다룰 때 공학 도구를 이용할 수 있다. • 기하와 관련된 여러 가지 명제를 연역적으로 증명하는 과정을 통해 논리성을 추구하는 태도를 길러 민주 시민으로서의 소양을 함양하게 한다. • 이차곡선과 벡터가 활용되는 다양한 사례를 제시하여 이차곡선과 벡터의 유용성을 인식하게 한다. | }}} |
2.3. 확률과 통계
| (3) 확률과 통계 | ||
| [12전수03-01]여러 가지 순열과 중복조합을 이해하고, 그 순열의 수와 중복조합의 수를 구하는 방법을 설명할 수 있다. [12전수03-02]이항정리를 이해하고, 이를 활용하여 문제를 해결할 수 있다. [12전수03-03]통계적 확률과 수학적 확률의 관계를 이해하고, 확률의 기본 성질을 설명할 수 있다. [12전수03-04]확률에 대한 여러 가지 개념과 정리를 이해하고, 이를 활용하여 문제를 해결할 수 있다. [12전수03-05]확률변수와 확률분포의 뜻을 설명할 수 있다. [12전수03-06]이산확률변수의 기댓값(평균)과 표준편차를 구하고, 이항분포의 뜻과 성질을 이해하고, 평균과 표준편차를 구할 수 있다. [12전수03-07]연속확률변수의 기댓값(평균)과 표준편차를 구하고, 정규분포의 뜻과 성질을 이해하고, 정규분포와 이항분포의 관계를 설명할 수 있다. [12전수03-08]모집단과 표본의 뜻을 알고, 표본추출의 방법을 설명할 수 있다. [12전수03-09]표본평균과 모평균, 표본비율과 모비율의 관계를 이해하고 모평균 및 모비율을 추정할 수 있다. | ||
| {{{#!folding ■ 성취기준 해설 | • [12전수03-01] 원순열, 중복순열, 같은 것이 있는 순열과 중복조합을 다룬다. • [12전수03-04] 확률의 덧셈정리, 여사건의 확률, 조건부확률, 사건의 독립과 종속, 확률의 곱셈정리를 다룬다. • [12전수03-09] 모평균 추정은 모집단의 분포가 정규분포인 경우만 다루고, 모비율의 추정은 표본의 크기가 큰 경우만 다룬다. | }}} |
| {{{#!folding ■ 성취기준 적용 시 고려사항 | • ‘확률과 통계’ 영역에서는 용어와 기호로 ‘원순열, 중복순열, 중복조합, 이항정리, 이항계수, 파스칼의 삼각형, 시행, 통계적 확률, 수학적 확률, 여사건, 배반사건, 조건부확률, 종속, 독립, 독립시행, 확률변수, 이산확률변수, 확률분포, 연속확률변수, 기댓값, 이항분포, 큰 수의 법칙, 정규분포, 표준정규분포, 모집단, 표본, 전수조사, 표본조사, 임의추출, 모평균, 모분산, 모표준편차, 표본평균, 표본분산, 표본표준편차, 모비율, 표본비율, 추정, 신뢰도, 신뢰구간, [math({}_{n} \Pi _{\it r})], [math({}_{n} \rm H_ {\it r})], [math(\rm P(\it A))], [math(\rm P(\it B|A))], [math(\rm P(\it X=x))], [math(\rm E(\it x))], [math(\rm V(\it x))], [math(\rm \sigma (\it x))], [math(\rm B(\it n, ~p))], [math(\rm N(\it m, ~\sigma ^2))], [math(\rm N(0,~1))], [math(\overline {X})], [math(S^2)], [math(S)], [math(\hat{p})]’을 다룬다. • 실생활의 소재를 활용하여 중복순열과 중복조합, 정규분포, 조건부확률의 필요성과 유용성을 인식하도록 다양한 교수⋅학습 경험을 제공한다. • 통계적 확률, 이항분포, 모평균 및 모비율의 추정을 다룰 때, 공학 도구를 이용함으로써 디지털 소양을 함양하게 할 수 있다. • 사건이 일어날 가능성을 수치화하는 경험을 통해 문제를 해결하고 미래를 예측하며 합리적으로 의사 결정하게 한다. • 불확실성의 해석에 대한 통계의 유용성을 인식하고 합리적인 판단을 추구하는 민주 시민으로서의 소양을 기르게 한다. • 모집단의 설정, 표본추출, 모평균 또는 모비율의 추정과 그 결과의 해석을 평가할 때는 통계적 문제해결에 기반한 평가를 할 수 있다. | }}} |
3. 여담
- 미적분Ⅱ, 기하, 확률과 통계 과목의 내용을 요약 및 심화한 것으로 보인다.
- 확률과 통계에는 포함되지 않은 원순열, 연속확률변수의 기댓값과 분산 내용이 포함되어 있으나, 실용 통계에 포함된 가설검정 내용은 포함되지 않았다.
- 2015 개정 교육과정의 심화 수학Ⅰ, 심화 수학Ⅱ와 유사하지만, 방정식과 부등식, 지수함수와 로그함수, 기초 미적분 등의 내용이 제외되었으며, 역삼각함수와 삼각함수의 여러 가지 공식 등이 추가되었다. 역삼각함수는 초기 떠돌던 지라시상(#)으로 본래 <미적분Ⅱ>에 포함되어 있었고 <미적분Ⅱ>와 <기하>를 절대평가화한다는 내용이 담겨져 있었는데, 결국 후자만이 유일하게 적중한 부분이고, <확률과 통계>의 통계 단원에 포함되려던 각종 심화 내용도 결국 <실용 통계>로 엉성하게 찢어진 흔적도 왜 그렇게 됐는지 이 지라시를 통해 얼추 맞춰진다.
[1] 기존에는 고등학교 1학년 <수학>만 학습하고 넘어오는 게 관례였는데 이번에 그 범위가 더 넓어졌다.