1. 개요
1985년 조제프 외스테를(Joseph Oesterle)과 데이비드 매서(David Masser)가 주장한 추측이다. 수학에서 현재까지 미해결 문제로 남아있는 여러 문제 중 하나로, 설명은 단순하지만 뚜렷한 진전이 없다는 점이 문제의 특징이다. 2001년에 나온 결과보다 개선된 범위는 아직까지 제시되지 못 했다.임의의 양수 [math(n)]에 대해 '래디컬(radical)'[1]은 다음과 같이 정의된다:
[math(rad(n)=\displaystyle \prod_{p|n} p)]
즉 양수 [math(n)]을 나눌 수 있는 소인수의 곱이다.
이제, ABC 추측의 내용은 다음과 같다.
임의의 [math(\epsilon > 0)]에 대해, 다음의 세 조건을 만족하는 양의 정수쌍 [math([a,b,c])]는 유한하다.
[math(a,b,c)]는 각각 서로소이다.
[math(a+b=c)]
[math(c>rad(abc)^{1+\epsilon})]
[math(a,b,c)]는 각각 서로소이다.
[math(a+b=c)]
[math(c>rad(abc)^{1+\epsilon})]
[math(\epsilon=0)]이라면 반례는 존재한다. [math(c)]가 어떤 소수의 거듭제곱이라면 반증할 수 있다.
이 개수가 유한하다는 말은 즉 임의의 양의 정수 [math(a,b)]가 주어진다면 위 조건을 만족하는 [math(c)]의 상한을 정할 수 있다는 말이고, 이 범위가 최대로 개선된 것은 현재 [math(c<K(rad(abc))^{\frac{1}{3}}(\log(rad(abc)))^3)]([math(K)]는 [math(\epsilon)]에 의존하는 상수)(Stewart&Yu, 2001)까지이다.
2. 스피로의 추측
이 문제에 영감을 주었다고 할 수 있으며 역시 현재까지 증명되지 않은 문제로 스피로의 추측(Szpiro's conjecture)이 있다. 창안자인 루시앙 스피로는 정수론에서 많은 업적을 남겼으나 이후 ABC 추측을 증명했다며 낸 논문의 증명이 잘못된 증명으로 밝혀지기도 했다.조정된 스피로의 추측을 증명했음은 ABC 추측을 증명했음과 같다. 우선 스피로의 추측은 다음과 같다.
임의의 [math(\epsilon>0)]에 대해 타원함수 [math(E)]가 유리수 위에서 정의되었을 때 최저 판별수(discriminant) [math(\Delta)]와 컨덕터(conductor) [math(f)]를 가진다면 다음이 성립한다.
어떤 상수 [math(C(\epsilon))]이 존재하여 [math(|\Delta|\leq C(\epsilon) f^{6+\epsilon})]가 성립한다.
어떤 상수 [math(C(\epsilon))]이 존재하여 [math(|\Delta|\leq C(\epsilon) f^{6+\epsilon})]가 성립한다.
그리고 조정된 스피로의 추측(modified Szpiro's conjecture)은 다음과 같다.
임의의 [math(\epsilon>0)]에 대해 타원함수 [math(E)]가 유리수 위에서 정의되었을 때 불변량(invariant) [math(c_4, c_6)]과 컨덕터(conductor) [math(f)]를 가진다면 다음이 성립한다.
어떤 상수 [math(C(\epsilon))]이 존재하여 [math(max(|c_4|^3, |c_6|^2)\leq C(\epsilon) f^{6+\epsilon})]가 성립한다.
어떤 상수 [math(C(\epsilon))]이 존재하여 [math(max(|c_4|^3, |c_6|^2)\leq C(\epsilon) f^{6+\epsilon})]가 성립한다.
위에서 언급된 불변량은 타원곡선의 계수들이 테이트의 알고리즘에서 완전 유수체(perfect residue field)[math(K)]와 소수 [math(\pi)][2]에 의해 형성되는(generated) 최대 아이디얼을 가지는 이산적 값매김환(discrete valuation ring)(주 아이디얼환(principal ideal ring)에 0이 아닌 최대 아이디얼 하나가 추가된 것이다) [math(R)]에서 정의될 때 나타내진 값이다.
위의 조건 하에 타원 곡선이 [math(y^2+a_1xy+a_3y = x^3+a_2x^2+a_4x+a_6)]라면, 테이트의 알고리즘에서 정의하는 변수들은 다음과 같다.
[math(v(\Delta))][3]:[math(\Delta)]를 소인수분해했을 때 [math(\pi)]의 계수. [math(\Delta=0)]이라면 무한으로 정의한다.
[math(a_{i,m}=a_i/\pi^m)]
[math(b_2=a_1^2+4a_2)]
[math(b_4=a_1a_3+2a_4)]
[math(b_6=a_3^2+4a_6)]
[math(b_8=a_1^2a_6-a_1a_3a_4+4a_2a_6+a_2a_3^2-a_4^2)]
[math(c_4=b_2^2-24b_4)]
[math(c_6=-b_2^3+36b_2b_4-216b_6)]
[math(\Delta=-b_2^2b_8-8b_4^3-27b_6^2+9b_2b_4b_6)]
[math(j=c_4^3/\Delta)]
[math(a_{i,m}=a_i/\pi^m)]
[math(b_2=a_1^2+4a_2)]
[math(b_4=a_1a_3+2a_4)]
[math(b_6=a_3^2+4a_6)]
[math(b_8=a_1^2a_6-a_1a_3a_4+4a_2a_6+a_2a_3^2-a_4^2)]
[math(c_4=b_2^2-24b_4)]
[math(c_6=-b_2^3+36b_2b_4-216b_6)]
[math(\Delta=-b_2^2b_8-8b_4^3-27b_6^2+9b_2b_4b_6)]
[math(j=c_4^3/\Delta)]
위의 조정된 스피로의 추측의 불변량은 이 공식에 나오는 값을 말하는 것이다.
스피로 추측에 대해 현재까지 기록된 증명 시도가 논란이 많은[4] 모치즈키 신이치 교수의 ABC 추측 증명 논문 정도인 걸로 난이도는 짐작할 수 있을 것이다.
[1] 한국어 위키백과에는 '근기'라고 번역되어 있다.[2] 여기서 말하는 소수는 일반적인 의미의 소수가 아니라 체의 원소들 중 자기 자신과 단위(unit) 원소의 어떤 곱들을 제외한 원소를 가지지 않음을 말한다[3] p진수법(p-adic)에서 사용하는 기호로 일반적으로는 [math(v_p(N))] 같은 형식으로 나타낸다.[4] 내부 전역 타이흐뮐러 정리(Inter Universal Teichmüller Theory)를 창안했으나 설명의 모호함으로 필즈상 수상자인 피터 숄체가 자문을 구했으나 모치즈키 교수의 설명을 들은 뒤엔 "오류가 너무 심각해 약간의 조정 정도로 증명을 구해낼 순 없어보인다"고 한 바 있다. 모치즈키 교수가 속한 교토대 측에서는 동료 검토 결과 완전한 증명이라고 게재했으나 그 게재된 학술지는 모치즈키 본인이 편집장인 PRIMS이다. 게다가 모치즈키 교수는 자신의 논문에 대한 강연과 다른 수학자들의 피드백조차 거부하고 있어서, 다른 수학자들이 반박논문을 쓰면 논문을 잘못 이해했다라는 억지를 부리며 해당 오류 논문을 무시하고 있을 정도다.