1. 개요
1998년생인 로렌스 홀롬[2]이 2013년 4월에 정의한 큰 수. 이 수를 정의했을 때의 나이가 10대 중반이니까 더 큰 수를 만들 가능성이 충분하지만 앞으로 자신이 정의한 수들 중 가장 큰 수가 BIGG가 되도록 그 정의를 계속 바꿔나갈 것이라고 한다.[3]2015년 5월 현재는 로렌스 홀롬이 홈페이지를 리뉴얼했고 이전의 정의는 이전 홈페이지의 여기나 여기에 있다. 이 문서을 작성하는 데에는 Googology Wiki에 적혀있는 Hyperfactorial Array Notation 관련 문서들을 참고했다(그 중 Faxul 페이지는 여기).
아래의 내용들이나 위의 링크들의 설명이 어렵다면, 여기에 나와 있는 링크들 중 "L.02. PGLN1"부터 "L.07. PGLN6"까지의 내용들을 참고하라. 설명이 좀 더 쉽게 되어 있다.
2. 커누스 윗화살표 표기법
이 수를 설명하려면 윗화살표 표기법에 대한 설명이 필요하다. 윗화살표 표기법은 그레이엄 수에서도 사용되고 있으니 서로 참고하면 편할 것이다. 덧셈을 반복하면 곱셈, 곱셈을 반복하면 거듭제곱이 된다. 같은 방법으로 거듭제곱의 반복을 생각할 수 있다. 이를 테트레이션(tetration)이라고 하고 왼쪽 위 첨자([math( ^b a)])나 윗화살표 두 개([math(a \uparrow\uparrow b)])로 나타낸다. 예를 들어서 [math(3\uparrow\uparrow3 = 3^{3^3} = 3^{27} = 7625597484987)]. 똑같이 테트레이션의 반복(펜테이션, pentation)을 생각할 수 있고 이것은 윗화살표 세 개로 나타낸다. 예를 들어 [math(3\uparrow\uparrow\uparrow3 = 3 \uparrow\uparrow (3 \uparrow\uparrow 3) = 3 \uparrow\uparrow 7625597484987)]. 이렇게 끝없이 계속할 수 있다. 그리고 화살표를 여러 번 쓰는 건 가독성이 안 좋기도 하고 공간도 낭비되므로, 화살표에 지수를 사용해서 간략화해서 나타낸다. 예를 들어서 화살표를 [math(k)]번 쓴 [math(\underbrace{\uparrow\uparrow\cdots\uparrow}_k)]는 간단히 [math(\uparrow^k)]로 나타낸다.3. 만드는 방법
다음 과정을 거쳐서 BIGG을 만들 수 있다.3.1. Minor Faxul 단계
- [math(\mathrm{Faxul} = 200! = 200 \times 199 \times 198 \times 197 \times 196 \times 195 \times \cdots \times 3 \times 2)]
= 788,657,867,364,790,503,552,363,213,932,185,062,295,135,977,687,173,263,294,742,533,244,359,449,963,403,342,920,304,284,011,984,623,904,177,212,138,919,638,830,257,642,790,242,637,105,061,926,624,952,829,931,113,462,857,270,763,317,237,396,988,943,922,445,621,451,664,240,254,033,291,864,131,227,428,294,853,277,524,242,407,573,903,240,321,257,405,579,568,660,226,031,904,170,324,062,351,700,858,796,178,922,222,789,623,703,897,374,720,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000 (약 7.8866×10374)
이다. 200부터 2까지 곱한 수다. - [math(\mathrm{Kilofaxul} = (\mathrm{Faxul})!)], [math(\mathrm{Megafaxul} = (\mathrm{Kilofaxul})!)], [math(\mathrm{Gigafaxul} = (\mathrm{Megafaxul})!)], [math(\cdots)] 또한 정의되어 있다.
- [math(\mathrm{Expofaxul} = 200!1 = 200 \uparrow 199 \uparrow 198 \uparrow 197 \uparrow 196 \uparrow 195 \uparrow \cdots \uparrow 3 \uparrow 2 = 200^{199^{{}^{⋰^{{}^{3^2}}}}})]
Expofaxul은 Faxul에서 곱셈을 거듭제곱(exponential)으로 바꾼 수다. Expofaxul부터의 수는 거듭제곱의 특성상 200의 약수로만 나누어 떨어진다. - [math(\mathrm{Tetrofaxul} = 200!2 = 200 \uparrow\uparrow 199 \uparrow\uparrow 198 \uparrow\uparrow 197 \uparrow\uparrow 196 \uparrow\uparrow 195 \uparrow\uparrow \cdots \uparrow\uparrow 3 \uparrow\uparrow 2)]
Expofaxul에서 거듭제곱을 테트레이션으로 바꾸면 Tetrofaxul이 된다. 대략 [math(200 \uparrow\uparrow\uparrow 198)]에 근사한다. - [math(\mathrm{Pentofaxul} = 200!3 = 200 \uparrow\uparrow\uparrow 199 \uparrow\uparrow\uparrow 198 \uparrow\uparrow\uparrow 197 \uparrow\uparrow\uparrow 196 \uparrow\uparrow\uparrow 195 \uparrow\uparrow\uparrow \cdots \uparrow\uparrow\uparrow 3 \uparrow\uparrow\uparrow 2)]
Tetrofaxul에서 한 발 더 나가서 윗화살표 세 개(펜테이션)를 사용하면 Pentofaxul이 된다. 대략 [math(200 \uparrow\uparrow\uparrow\uparrow 198)]에 근사한다.
위와 같이 [math(n!m = n \uparrow^m (n-1) \uparrow^m (n-2) \uparrow^m (n-3) \uparrow^m \cdots \uparrow^m 3 \uparrow^m 2)]로 정의한다. - [math(\mathrm{Hyperfaxul} = 200!200 = 200![1])]
Hyperfaxul은 200부터 2까지의 수에 각각 윗화살표 200개씩을 넣은 수다. 위처럼 윗화살표로 풀어 쓰면 [math(200!200 = 200 \uparrow^{200} 199 \uparrow^{200} 198 \uparrow^{200} \cdots \uparrow^{200} 3 \uparrow^{200} 2)]이다. - [math(200![2] = ((\cdots(((200![1])![1])![1])\cdots)![1])![1] \qquad )] ([math(![1])]이 200번)
[math(=((\cdots(((200!200)!200)!200)\cdots)!200)!200 \qquad )] ([math(!200)]이 200번)
여기부터 그레이엄 수보다 큰 수가 등장하기 시작한다.[4] 이와 같이 바로 전 단계를 200번 중첩시키면 다음 단계로 간다. - [math(200![3] = ((\cdots(((200![2])![2])![2])\cdots)![2])![2] \qquad )] ([math(![2])]가 200번)
- [math(200![4] = ((\cdots(((200![3])![3])![3])\cdots)![3])![3] \qquad )] ([math(![3])]이 200번)
이렇게 해서 [math(200![200])]에 도달하면 Major Faxul 단계로 넘어간다.
3.2. Major Faxul 단계
3.2.1. Giaxul 단계
- [math(\text{Giaxul} = 200![200] = 200![200,1] = 200![1,2])]
Giant Faxul에서 따온 말이다. 이제 대괄호 안에 들어가는 수들의 개수를 늘릴 수 있다. 뒤에 1을 붙이고, 대괄호 안의 첫째 항이 200이 되면 둘째 항을 1 올린다. 다음처럼 말이다.
[math(200![3,2] = (((((200![2,2])![2,2])![2,2])\cdots)![2,2])![2,2] \qquad)] ([math(![2,2])]가 200개)
[math(200![4,2] = (((((200![3,2])![3,2])![3,2])\cdots)![3,2])![3,2] \qquad)] ([math(![3,2])]가 200개)
[math(\cdots)]
[math(200![199,2] = (((((200![198,2])![198,2])![198,2])\cdots)![198,2])![198,2] \qquad)] ([math(![198,2])]가 200개)
[math(200![200,2] = 200![1,3] = (((((200![199,2])![199,2])![199,2])\cdots)![199,2])![199,2] \qquad)] ([math(![199,2])]가 200개)
[math(200![2,3] = (((((200![1,3])![1,3])![1,3])\cdots)![1,3])![1,3] \qquad)] ([math(![1,3])]이 200개)
[math(200![3,3] = (((((200![2,3])![2,3])![2,3])\cdots)![2,3])![2,3] \qquad)] ([math(![2,3])]이 200개)
[math(\cdots)]
[math(200![200,3] = 200![1,4] = (((((200![199,3])![199,3])![199,3])\cdots)![199,3])![199,3] \qquad)] ([math(![199,3])]이 200개)
[math(200![200,4] = 200![1,5])]
[math(200![200,5] = 200![1,6])]
[math(\cdots)]
[math(200![200,197] = 200![1,198])]
[math(200![200,198] = 200![1,199])]
[math(200![200,199] = 200![1,200])]
[math(200![200,200] = (((((200![199,200])![199,200])![199,200])\cdots)![199,200])![199,200] \qquad)] ([math(![199,200])]이 200개)
}}}||
- [math(\text{Giabixul} = 200![200, 200] = 200![1, 201])]
하지만 이런 식으로만 개수를 늘린다면 수를 아무리 많이 추가해도 대괄호 안의 수 하나를 200진법으로 나타내는 정도밖에(?)[5] 안 된다. 따라서 셋째 항을 추가할 때부터는 한 항을 1 올리기 위해서는 바로 전 항이 '그 항-1까지 도달하기 위한 연산횟수' 정도가 될 때 항을 1 올린다.[6]
- [math(\text{Giatrixul} = 200![200, 200, 200])]
앞부분만 계산을 해보면 [math(200![200, 200, 200] = (200![199])![1, 200, 200] = (200![199])![[1, 1, 200], 199, 200] = ...)] 이 부근에서 아주 커진다. - [math(\text{Giaquaxul} = 200![200, 200, 200, 200])]
그리고 예상했겠지만 200을 200번 쓸 수도 있다.
3.2.2. Hugexul 단계
- [math(\text{Hugexul} = 200![200, 200, 200, 200, 200, ..., 200])] (200개) = [math(200![200(1)200])]
여기에서 [math(200![200(1)200, 200])] 등을 생각할 수 있다. 역시 뒤에 오는 200이 200개가 되면... - [math(\text{Hugebixul} = 200![200(1)200(1)200])]
- [math(\text{Hugetrixul} = 200![200(1)200(1)200(1)200])]
또한 200이 200개, (1)이 199개 들어간 수를 생각할 수 있다.
3.2.3. Enormaxul 단계
- [math(\text{Enormaxul} = 200![200(2)200])]
위의 Hugexul과 같이 [math(200![200(2)200, 200])] 등을 생각할 수 있다. - [math(\text{Enormabixul} = 200![200(2)200(2)200])]
- [math(\text{Enormatrixul} = 200![200(2)200(2)200(2)200])]
역시 똑같은 과정을 거쳐서 [math(200![200(3)200])], [math(200![200(4)200])], ... 등을 만들 수 있고, 계속 올라가면...
3.2.4. Destruxul 단계
- [math(\text{Destruxul} = 200![200(200)200])]
이런 식으로 괄호 안의 200이 더 많이 올라갈 경우 괄호 안의 수 자체도 대괄호 안에 넣어서 표현할 수 있다. - [math(\text{Destrubixul} = 200![200([200(200)200])200])]
Googology Wiki에 따르면 TREE(3)의 추측치보다도 더 큰 수가 나온다. - [math(\text{Destrutrixul} = 200![200([200([200(200)200])200])200])]
등을 생각할 수 있으며 이것을 200번 반복하면 아래와 같이 쓸 수 있다.
3.2.5. Extremexul 단계
- [math(\text{Extremexul} = 200![1(1)[ _2 200, 200, 200, 200]])]
첨자 없이 참 멀리도 왔다.
다시 뒤에 붙는 200의 개수를 늘릴 수 있다.또?? - [math(\text{Extremebixul} = 200![1(1)[ _2 200, 200, 200, 200, 200]])]
- [math(\text{Extremetrixul} = 200![1(1)[ _2 200, 200, 200, 200, 200, 200]])]
이런 식으로 계속해서 아래첨자 2를 늘릴 수 있다.
3.2.6. Gigantixul 단계
- [math(\text{Gigantixul} = 200![1(1)[ _3 200, 200, 200]])]
- [math(\text{Gigantibixul} = 200![1(1)[ _3 200, 200, 200, 200]])]
- [math(\text{Gigantitrixul} = 200![1(1)[ _3 200, 200, 200, 200, 200]])]
이렇게 200바퀴 돌아서 첨자를 200으로 만들 수 있다.
3.3. Mammoth Faxul 단계
3.3.1. Nucleaxul 단계
- [math(\text{Nucleaxul} = 200! _{200} 200)]
또한 지금까지의 대장정을 다시 반복하면 이 아래첨자 200 밑에 아래첨자를 여럿 만들 수 있고, - [math(\text{Nucleabixul} = 200! _{[ _{200} 200]} 200)]
Googology Wiki에 따르면, TREE(3)보다도 월등히 큰 SCG(13)의 추측치보다도 더 큰 수가 나온다고 한다. 여기서부터 Ordinal Catching function인 [math(C)]로도 표현이 가능하다. - [math(\text{Nucleatrixul} = 200! _{[ _{[ _{200} 200]} 200]} 200)][7]
- [math(\text{Nucleaquaxul} = 200! _{[ _{[ _{[ _{200} 200]} 200]} 200]} 200)][8]
이 이후 부터 fgh로 접근 불가능 기수 단계를 써야 된다.
3.3.2. BIGG
이런 식으로 200개를 만들면...- [math(\text{BIGG} = 200? = 200! _{<1(200)2>[200]}1)]
축하한다. 드디어 BIGG가 됐다.
이 BIGG은 현존하는 가장 큰 수까진 아니지만,[9] 그래도 큰 수에서는 그레이엄 수보다 훨씬 더 큰 수로 잘 알려진 TREE(3), 그보다도 훨씬 큰 SCG(13)보다도 더 큰 수의 위치에 나타나 있다. 당연히 TREE(n), SCG(n) 만으로 표현하는 것은 BIGG가 이 수들을 아득히 초월해 불가능하다. 이것보다 성장률이 더 낮은 콘웨이 연쇄 화살표 표기법, E 표기법은 말할 필요도 없고, sgh와 BEAF의 다중 군단 배열로 나타내기도 너무 크고, BEAF로는 {L,X,2}200,200에 근사하며, 군단 배열이라고 해도, 초군단 배열이[10] 아닌 이상 그레이엄 수는 물론, TREE(3)도 모자라 SCG(13)마저도 한참 뛰어넘은 어마무시한 개수가 필요하다.[11] fgh에서는 [math(f_{\psi(\psi_{I_\omega}(0))}(200))][12] 에 근사하므로 접근 불가능한 기수(Inaccessible cardinal) [math(I)]를 적용한 서수 붕괴 함수를 이용해야한다.[13] 그것도 [math(I)]를 여러개 쌓아 올리는 테트레이션 단계가 아닌 그 수들을 엄청나게 초월한 밑첨자 단계이다.[14] 다만, 이렇게 인위적으로 창조된 수는 조금만 변형해도 그보다 얼마든지 더 큰 수를 만들어 낼 수 있다는 문제가 있다. 당장 위의 식에서 200 대신 300을 넣기만 해도 더 큰 수가 나오며, 200 대신 그레이엄 수, 또는 BIGG 즉 재귀적으로 넣으면 아득할 정도로 더 큰 수가 되어 버리나, 전술한대로 BIGG의 크기가 충분히 크기 때문에 fgh 단계에서는 조금 큰 정도며, 게다가 이런 수는 샐러드 수라 의미없다. 당연히 BIGG보다 훨씬 큰 수를 저 수에 넣으면 그 값은 넣은 수보다 조금 큰 수에 지나지 않는다. 샐러드 수가 무엇이냐면 유효한 가장 큰 수 문서를 참고하자.
4. 관련 문서
[1] '크다'라는 의미의 Big는 아니지만 크다는 말로는 물론이고 TREE(3)보다도 훨씬 크다는 말로도 한참 부족할 정도로 큰 건 사실이다.[2] 참고로 이 사람은 전문가가 아니고 큰 수에 관심있는 사람들이 모이는 구골로지 위키에서 활동하는 아마추어다. 그 점은 알고 읽도록 하자[3] 사실 BIGG의 정의를 아무리 바꾼다 해도 결국 계산 가능한 수이기 때문에 바쁜 비버 함수나 라요 수, 빅풋, 거대수 정원수같은 계산 불가능한 수, 함수에 밀릴 수밖에 없다. 참고로 이런 함수들은 프로그램이나 프로그래밍, 수학적인 이론 등으로 만들어 졌기 때문에 BIGG를 BIGG번 재귀하는 등 일반적인 함수로는 추월이 당연히 불가능할 수 밖에 없다.[4] fgh로 [math(f_{\omega+1}(200))]으로 근사되며 [math(f_{\omega+1}(64))] 정도인 그레이엄 수보다 크다. 그레이엄 함수로는 G(200) 정도 된다. 그레이엄 함수와 성장률이 같다. 그레이엄 수는 [math(64![2])]에 근접한다.[5] 큰 수의 세계에서는 크기만 키우는 개념이라면 그레이엄 수는 말할 것도 없고, 대괄호 안의 수 하나를 200진법으로 나타내는 것도 큰 욕심이 아니다.[6] 여기서 괄호 안에 괄호가 들어가면서 매우 큰 수가 되는데, 자세히 설명하지는 않고 넘어간다.[7] 대략 [math(C(1)(200))][8] 대략 [math(C(2)(200))][9] 당장 튜링 머신, 라요 함수와 같은 계산 불가능한 함수를 이용한 수들이나, L2이상의 초군단 배열, 다변수 접근 불가능 단계 이상 함수들이 자리를 차지하고 있다.사실 단순 크기로는 BIGG보다 큰수도 널리고 널렸다. FGH에서 보면 이것보다 훨씬 큰 수도 쉽게 만들어낼 수 있기 때문 당장 말로 기수 단계에서 나올 수 있는 수들은 이미 BIGG를 0이나 다름없게 만든다. 하지만, 말로 기수 초반 단계는 BIGG와 근사한 성장률을 보이며, FGH말고는 BIGG보다 큰 수를 만들기가 쉽지 않다. BAN에서 나올 수 있는 가장 큰 수도 SCG(13)보다는 아득히 크지만 BIGG보다는 훨씬 적다.[10] 전술한 {L,X,2}200,200는 일반 초군단 배열보다도 훨씬 큰 삼변수 초군단 배열이다.[11] BEAF에서 BIGG보다 한참 작은 수인 {L,Big hoss}Big hoss,Big hoss 그레이트 빅 호스로 예를 들어보자, 이 수는 군단 배열에서 쓰이는 슬래쉬 '/'가 빅 호스 개가 들어가는데, 빅호스는 {L,100}100,100로 나타내고, 이는 슬래쉬가 100개 있으며, {13,13/2} 정도 되는 SCG(13)과는 비교할 수 없을 정도로 매우 큰 수이다. 애초에 SCG(13)은 Nucleaxul단계의 수들보다도 작다. 그리고 초군단 배열로 나타내야 간략한 수치를 보일 수 있는 브쿠와하보다도 훨씬 크다.[12] 또는 Ordinal Catching Function으로 나타낼 수도 있는데 BIGG는 [math(f_{C(\Omega)}(200))]으로 나타낼 수 있다. 일반적인 C로 나타내려면 이는 C를 여러번 중첩해야 된다.[13] 물론 절대 fgh가 약한것이 아니다. 보통이라면 이런식으로 단순히 단계를 많이 만드는 것 만으로 [math(I)] 단계에 도달하는 것은 거의 불가능한 일이다. 당장 BIGG보다 더 많은 단계를 사용한 E 표기법만 보더라도 다변수 베블런 단계가 한계이다. 다만 BIGG가 여기까지 도달할 수 있었던 이유는 BIGG의 표기법인 하이퍼팩토리얼 배열 표기법의 차원과 초차원 배열의 특수한 중첩 기능 덕이다. 여기에 소개되어 있는 배열은 차원 배열 까지이고, 현재 BIGG는 초차원 배열까지 정의가 업그레이드되어 새로 정의되어져 지금에 이른다. BIGG를 BIGG번 재귀, 이것을 BIGG번 반복해도(심지어 그걸 한번 할 때마다 BIGG 1이라고 하고 BIGG를 BIGG개 괄호 안에 괄호까지 써가며 붙이는 즉 윗첨자도 모자라 밑첨자 재귀까지 해도) 해당 단계에서 한 단계 조차 올리기도 어려울 것이다. 왜냐하면 계산 과정에서의 성장률이 다른 함수들보다도 어마무시해서 BIGG가 가지고 있는 성장률 자체가 극도로 강력하기 때문이다. HAN의 정의를 확장해도 HAN의 한계치는 [math(\psi{(I_\omega)})] 정도 된다.[14] 단순히 [math(I)]를 테트레이션으로 쌓아올라 BIGG를 표현하고 싶다면, BIGG보다는 작지만 이에 근사한 개수의 [math(I)]가 필요하다.