1. 개요
중학교~고등학교 수학문제로 자주 나오는 방정식 활용 유형 중 하나이다. 서로 다른 농도와 양을 지닌 용액을 합쳤을 때 농도가 어떻게 되느냐는 유형의 문제이다. 주로 일상에서 흔히 볼 수 있는 용액인 소금물, 설탕물이 문제로 자주 나온다.난이도가 높기로 악명이 자자하다. 실제로 수학 영역 모의고사에 등장할 경우 대부분 킬러 문제가 되며 정답률은 30%내외를 보이는 유형이다. 사실 퍼센트 농도의 개념을 정확하게 알지 못해서 발생하는 현상으로 해당 내용은 고등학교 화학Ⅱ에서나 등장하기 때문에 이 부분은 교육과정상의 맹점중에 하나다. 대부분의 수학선생님들은 퍼센트 농도의 개념을 가르쳐 주지 않고 당연히 알것이라고 생각하고 진도를 나가기 때문에 학생들이 문제를 풀지 못하는 것. 게다가 퍼센트 농도를 제대로 배우는 화학Ⅱ에서는 공식을 이용한 단순한 계산만 하기 때문에 화학Ⅱ선택자들도 수학시험에 나오는 소금물 문제를 못푸는 경우도 제법 존재한다. 화학Ⅱ를 1등급씩 맞는 학생이 수학 가형에 나오는 소금물 문제를 틀리는 경우도 존재하는데 화학Ⅱ와 수학 가형의 공부법이 매우 다르기 때문에 그러하다. 계산이 많아 수학을 잘해야 할 것 같은 화학Ⅱ는 사실 사칙연산과 유형별 풀이법만으로 1등급이 가능한 과목으로 화학Ⅱ의 농도 문제는 풀이법을 외워 해결할 수 있다. 수학 가형의 소금물 문제와는 풀이법이 달라 발생하는 현상이다.
수학에 재능이 있는 학생이 다른 킬러문제는 모두 잘풀면서 소금물 문제만 풀지 못하는 경우 퍼센트농도의 개념을 모르기 때문이므로 퍼센트 농도에 대한 개념을 학습하는 것이 중요하다.
2. 등장 과목
수학에서는 정말 악명높은 문제유형이다. 중학교 수학은 모든 학년군에서 등장한다. 고등학교 수능 모의고사 수학영역에 나올 경우 십중팔구는 킬러 문제가 된다.화학Ⅱ는 이런 문제를 그냥 기본으로 깔고 들어간다. 즉, 문제를 풀 때 농도 계산 문제를 기본으로 알고 있다고 가정하기 때문에 농도 문제 자체는 아예 안 나오거나, 점수를 거저주기 위한 문항에만 나온다.
2015 개정 교육과정에서는 화학Ⅰ에도 몰 농도와 퍼센트 농도 관련 내용이 추가됨에 따라 2021학년도 수능부터는 화학Ⅰ에서도 화학Ⅱ와 마찬가지로 농도 변환 계산 문항이 하나씩 출제되고 있다.[1]
기업 인적성검사 시험에도 많이 등장한다.
3. 풀이
용질만의 무게의 합, 수용액의 총 무게의 합을 나타내는 두 개의 방정식을 세우면 풀 수 있다.거리, 속력, 시간의 관계, 일명 '거속시' 공식의 변환 방법 및 원리를 알고 있다면 이 식도 아래와 같이 다양하게 변환할 수 있다.
- 용질의 무게에 관한 식(소금의 양에 관한 식)
[math(\displaystyle w_{0}=\frac {wc}{100})][3]
- 퍼센트 농도에 관한 식(소금물의 농도에 관한 식)
[math(\displaystyle c=\frac {100w_{0}}{w})][4] - 용액에 물(용매)을 더할 경우 (단, [math(l)]은 물의 무게)
[math(\displaystyle c=\frac {100w_{0}}{w+l})] - 용액에 물(용매)이 증발하는 경우
[math(\displaystyle c=\frac {100w_{0}}{w-l})] - 소금물에 소금을 더한 경우
[math(\displaystyle c=\frac {100(w_{0}+x)}{w+x})]
- 특히 용액을 균등하게 나눠서 서로 다른 비커에 나눠갖는 조건이 제시될 경우가 있는데, 먼저 균일하게 나눠가진 두 비커의 농도는 같다. 각 비커 안에 들어있는 용질과 용액의 무게는 동일한 비율로 줄어든다.
[math(\displaystyle c=\frac {100w_{0}}{w})]에서 [math(\displaystyle c=\frac {100(w_{0}-kw_{0})}{w-kw})] (단, [math(\displaystyle 0<k<1)])
4. 팁
중학교 1학년 일차방정식 활용 문제에서 소금물 농도 문제 때문에 고생하는 학생들을 위한 팁이 몇 가지 있다.- 소금물 활용 문제는 거의 무조건 소금의 양에 관한 식을 기준으로 방정식을 세워 푼다. [5]
- 소금물 A와 소금물 B를 섞는 것은 (A의 소금의 양에 관한 식)+(B의 소금의 양에 관한 식)=(결과물의 소금의 양에 관한 식) 꼴로 세워 푼다.
- 소금물에 물을 섞는 것은 (소금물의 소금의 양에 관한 식)=(결과물의 소금의 양에 관한 식에서 (소금물의 양+x)) 꼴로 세워 푼다.[6]
- 소금물에 소금을 섞는 것은 (소금물의 소금의 양에 관한 식+x)=(결과물의 소금의 양에 관한 식에서 (소금물의 양+x)) 꼴로 세워 푼다.[7]
공직적격성평가 수준까지 가면 가중평균을 응용하여 천평법칙으로 풀이하게 되며, 2중가평은 눈 감고도 할 줄 알아야 하며 킬러문제로 3중가평까지 나오게 된다. 어렵게 생각할 필요가 없고 고등학교 수학 수준에서 설명하자면 수직선 위에서 내분점과 외분점 공식을 활용하면 된다.
5. 여담
일상에서 볼 수 있는 것을 소재로 한 문제 형식이지만 푸는 사람 입장에서는 그다지 현실감을 느끼지 못한다. "왜 기껏 만든 소금물을 합치냐"라고 투덜거리면서 푸는 사람들이 많다.# 이 문제 외에도 일상을 소재로 한 수학 문제들 대다수가 이런 평을 받는다. 다만 화학 실험 분야에서 활동하게 된다면 실제로 이러한 상황에 마주할 때가 꽤 생긴다. 그래서인진 몰라도 고등학교 과정에서는 주로 화학 교과에서 농도 문제가 많이 나온다.학창 시절 문제집이나 교과서 등에서 마주치는 거의 대다수의 소금물 문제는 사실 엄밀히 따지면 현실성이 매우 낮다고 할 수 있다. 실제 소금의 최대 용해도는 39.3g(농도 약 25~28%) 정도이기 때문이다.# 매우 짜게 느껴지는 바닷물이 고작 3% 정도이고, 간장의 염도가 15~20% 정도이다.# 간장도 그대로 먹는 사람은 없으니 일상에서 염도 20% 이상의 소금물을 먹을 일은 거의 없는 셈이다.
수포자를 양산하는 원인이 되는 수학 문제로 지목되기도 하며, #[8] 또한 이 문제의 풀이 여부에 따라 화포자가 될 지 안 될지 결정된다고 알려졌다.
[1] 두 과목 다 1단원에서 농도 내용이 있다.[2] [math({\sf (소금물의\ 양) × (소금물의\ 농도)} = 100×{\sf(소금의\ 양)})][3] [math({\sf (소금의\ 양)}=\dfrac {\sf (소금물의\ 양)×(소금물의\ 농도)}{100})][4] [math({\sf (소금물의\ 농도)}=100×\dfrac {\sf (소금의\ 양)}{\sf (소금물의\ 양)})][5] 이는 단순히 수학 문제를 풀기 위한 팁이 아니라 화학에서도 마찬가지이다. 애초에 농도라는 것이 결국은 물질의 양(질량, 몰수 등)을 중요하게 여기는 값이기 때문.[6] 물 그 자체는 따지고 보면 '소금의 양이 0인 소금물'이라고 볼 수 있다. 따라서 좌변에 추가적인 소금의 양에 관한 식이 나올 필요가 없다. 반면에 우변은 물을 탔지만 여전히 소금물이므로 양이 증가했음을 보여야 한다.[7] 소금 그 자체는 따지고 보면 '물의 양이 0인 소금물'이라고 볼 수 있다. 따라서 농도가 100%이므로 좌변에 농도 100%짜리 소금물이 더해지고, 그 결과도 소금물이니 마찬가지로 양이 증가했음을 보여야 한다.[8] 2013학년도 9월 모의평가 가형 23번이 대표적인 케이스인데 3점짜리임에도 불구하고 정답률이 매우 낮았다. 소금의 양을 더하지 않아 틀린 사람들이 많았다. 소금물 문제가 수준높은 가형 표본에서도 상당한 난이도를 보인다는 것이다.