1. 개요
Möbius Transformation뫼비우스의 띠로 유명한 독일의 수학자 아우구스트 뫼비우스(August Ferdinand Möbius)가 만들었다. 뫼비우스 반전 공식(Möbius inversion formula)의 다른 이름인 Möbius Transform과 헷갈리지 말자.
2. 설명
확장된 복소 평면(extended complex plane)을 [math(\overline{\mathbb{C}})]으로 쓸 수 있고, 이를 [math(\mathbb{C} \cup \{ \infty \})]로 정의하자. 여기서 [math(\mathbb{C})]는 복소평면이다.[1][2][3] 이 때 뫼비우스 변환은 다음과 같은 형태를 가진다.[math(f(z)= (az+b)/(cz+d))] (이 때, [math(ad\neq bc)]이다.)[4]
그리고 뫼비우스 변환은 확장된 복소 평면에서 복소수를 하나 가져와 다른 확장된 복소 평면으로 던지는, 즉 [math(f:\overline{\mathbb{C}}\rightarrow \overline{\mathbb{C}})]인 사상이다.
베른하르트 리만(Bernhard Riemann)이 고안한 리만 구(Riemann Sphere)를 이용해 뫼비우스 변환은 동영상과 같이 시각화 될 수 있다. 뫼비우스 변환이 리만 구의 자기동형사상임을 잘 보여준다.
[1] 참고로 복소평면이라는 말에 주의해야 한다. 1799년 노르웨이 수학자 카스파르 베셀(Caspar Wessel)이 복소수를 직교좌표(Cartesian coordinate)에 나타내었고, 그 방법의 기능적 훌륭함 덕분에 오랫동안 복소평면이라는 말이 내려온 것이지, 사실은 복소평면은 기하학적인 도형이 아니라 무한대를 제외한 모든 복소수가 포함된 집합으로 이해해야 한다.[2] 즉, 복소수는 실수부와 허수부를 가질 뿐 실제로는 1개의 숫자다. 각종 풀이의 아이디어는 벡터에서 따올 수 있겠지만, 함부로 원소 2개인 벡터와 동일하게 취급해서는 안된다. 복소수의 곱셈 연산이 벡터와 다르기 때문이다. 벡터로 치면 복소수의 곱은 회전변환과 확대변환을 동시에 행하는 것. 물론 복소수도 에르미트 내적(Hermitian inner product)을 이용해 벡터처럼 비슷하게 내적을 할 수 있다. 엄연히 복소평면은 복소수상에서 벡터구조를 유지하는 상태이기에 가능한 일이다.[3] 편각과 절대값을 이용한 기술로는, 다음과 같다.
[math(\overline{\mathbb{C}}=re^{i\theta}, -\pi<\theta<\pi, 0 \leq r \in \mathbb{R}^{+}\cup\{0\}\cup\{\infty\})]. 즉 원래 절대값은 0 이상의 양의 실수값이므로 유한한 크기를 지녀야 하는데 여기에 무한원점을 도입하여 무한대의 크기를 허용한 것이다.[4] [math(ad=bc)]라면, [math(f(z)=\frac{a}{c})]로 깔끔하게 약분되어버리는 상수함수가 되어버린다.
[math(\overline{\mathbb{C}}=re^{i\theta}, -\pi<\theta<\pi, 0 \leq r \in \mathbb{R}^{+}\cup\{0\}\cup\{\infty\})]. 즉 원래 절대값은 0 이상의 양의 실수값이므로 유한한 크기를 지녀야 하는데 여기에 무한원점을 도입하여 무한대의 크기를 허용한 것이다.[4] [math(ad=bc)]라면, [math(f(z)=\frac{a}{c})]로 깔끔하게 약분되어버리는 상수함수가 되어버린다.