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1. 개요
위상기하학상의 특이곡면. 좁고 긴 직사각형 종이를 180° (한 번) 꼬아서 끝을 붙인 면과 동일한 위상기하학적 성질을 가지는 곡면이다. 독일의 수학자 A. F. 뫼비우스가 처음으로 제시하였기 때문에 '뫼비우스의 띠'라고 불려진다.
2. 상세
안쪽과 바깥쪽의 구분이 없다는 특성이 있다. 절단면을 제외한 안쪽이나 바깥쪽 어느 한 면에 색을 칠해도 양면에 전부 칠해진다.[2]뫼비우스 띠 자체는 그다지 흥미로운 대상이 아니지만, 테두리를 다른 곡면에 붙여서 없애버리면 구(공)나 도넛모양처럼 테두리는 없고 안과 밖이 없이 닫힌 도형이 된다. 불행히도 이 도형을 3차원 안에서 표현할 방법이 없다.[3] 대표적인 예가 클라인의 병으로, (머리속으로 그리긴 힘들지만) 두 개의 뫼비우스 띠를 테두리를 따라 서로 붙여주면 생긴다. 반대로 안과 밖이 없는 테두리 없이 닫힌 곡면을 잘 자르면 뫼비우스의 띠가 나온다.기계공학 등에서 가끔 다루어지는데, 디스크와 디스크(또는 풀리)를 벨트로 연결할 때, 띠를 그냥 닫으면 안쪽 면만 마모에 시달리지만 뫼비우스의 띠 모양으로 닫으면 안과 밖이 없어 벨트 전체가 마모를 나누어 받는다. 결국 수명이 늘어난다. 그래서 정말로 쓰이는 경우가 간혹 있다고. 그리고 양 축이 평행이 아닐 경우(꼬인 위치)일 때에도 한 번 꼬인 벨트가 유용하다.[4]
카세트테이프의 선배인 8트랙 테이프는 자기 테이프가 뫼비우스의 띠 형태를 하고 있어, 테이프의 양면에 음악이 녹음되어 있으며 테이프의 "끝"이 없다. 카세트 테이프는 A면이 끝나면 테이프를 뒤집어 B면을 재생하는 방식이지만 8트랙은 뫼비우스의 띠이기 때문에 테이프를 같은 방향으로 계속 돌려도 테이프의 앞면과 뒷면이 모두 재생된다.[5]
무한대 기호의 영문 명칭을 뫼비우스로 잘못 알고 있는 경우도 종종 보인다. 무한대를 뜻하는 기호인 ∞(infinite)는 1655년에 처음 사용되었으며 뫼비우스의 띠는 한참 뒤인 1858년에 처음 발견되었다. 즉, 애초부터 둘은 아무런 관계가 없었으며 그저 뫼비우스의 띠의 여러 형태 중 하나가 해당 기호와 우연히 똑같았을 뿐이다.
3. 창작물에서
창작물에서 루프물이나 시간여행 등의 상징으로 많이 쓰인다. 이것이 적절하지 못한 상징이라는 의견이 있다. 뫼비우스의 띠만의 특성은 "안쪽과 바깥쪽의 구분이 없는 것"이지[6], "계속 이어지는 것"이 아니기 때문이라는 것이다.[7]한편 뫼비우스의 띠가 지니는 역설적인 이미지가 루프물이나 시간여행이 발생시키는 역설을 떠올리게 하는 면이 있다는 점, 루프물이나 시간여행에서는 언제가 미래이고 언제가 과거인지를 명확하게 구분할 수 없다는 점[8] 등을 고려하면 뫼비우스의 띠를 루프물이나 시간여행의 상징으로 삼을 수 있다는 주장도 있다.
네이버 웹툰 신과함께의 도산지옥 칼날이 뫼비우스의 띠 모양이라고 하는데, 어차피 그냥 평범한 띠였어도 영원히 고통받는 건 마찬가지. 그런데도 굳이 뫼비우스 띠 모양으로 정한 이유는 양쪽 칼날을 모두 밟게 되니까 그냥 평범한 띠일 때보다 칼날을 더 오래 쓸 수 있기 때문이라고 한다. 위 기계공학의 연장선상.
네이버 웹툰 쿠베라에서는 이 뫼비우스의 띠의 테두리를 서로 붙여서 만들어지는 모양을 관통하지 않는 모양으로 떠올릴 수 있으면 계산 없이 마법을 쓸 수 있다 카더라. 바꿔 말하면 클라인의 병을 완벽한 형태로, 즉 대롱이 병의 옆면을 관통하지 않는 형태로 상상할 수 있어야 한다는 뜻이다. 3차원에서 사는 사람에겐 좀 많이 힘들다.[9]
레카에서는 비비치가 만든 인형인 장화 신은 고양이가 공간 안에 뫼비우스의 띠 모양의 길을 만들어 도리 일행을 유인시켜 끝없이 헤메게 하는데, 도리가 어머니 가이아의 보물인 불의 검을 이용해 끊어버리지만 그 대가로 도리 일행은 아래로 떨어진다.
죠죠의 기묘한 모험 6부 스톤 오션에서는 주인공 쿠죠 죠린이 적인 푸치의 스탠드 씨문의 겉과 안을 뒤집는 능력을 자신의 스탠드를 이용해 심장을 뫼비우스의 띠 모양 실로 만들어서 극복했다.[10] [11]
유희왕의 토폴로직 폭탄 드래곤은 꼬리가 뫼비우스의 띠 모양이다.
월드 오브 다크니스 세계관에서 테크노크라시의 문장으로 쓰이고 있다.
어벤져스: 엔드게임에서 토니 스타크가 시간여행을 위해 시뮬레이션하는 모델링으로 나온다. 원래 뫼비우스의 띠는 양면의 구분이 없는데 액자가 뒤집힌 걸 계기로 혹시나 하는 마음에 모델링을 뒤집어서 프로그래밍한 결과 타임 패러독스 GPS, 즉 타임머신 프로그램 모델링을 구현하는 데 성공한다.
마리오 카트 8에 등장하는 마리오 서킷과 로고 8자는 뫼비우스의 띠 모양의 코스이다.
붕괴: 스타레일의 등장 행성인 앰포리어스는 영원의 땅이라는 이명답게 평범한 구체가 아닌 뫼비우스의 띠 모양을 하고 있다.
4. 기타
재활용의 아이콘은 뫼비우스의 띠를 모티브로 한 것이다.
5. 관련 문서
[1] Moebius는 Möbius의 다른 철자로, 둘 다 맞는 철자로 인정된다. 또한 o 위의 움라우트 없이 Mobius라고 쓰는 것이 더 보편적이다.[2] 이 특성은 구(sphere)나 도넛 모양(torus) 등과 뫼비우스 띠가 포함된 곡면을 구분하는 중요한 성질 중 하나이다.[3] 정확히는 이런 곡면(2차원 다양체)이 R³에 embedding이 안 된다고 한다.[4] 과거 방앗간의 탈곡기와 제분기등 기계의 동력 전달에 쓰는 벨트가 한 번 꼬인 형태였다.[5] 자성을 띤 부분은 테이프의 베이스(비닐)를 통과하여 앞뒤가 없으므로, 테이프 전체를 헤드가 읽는 게 아니다. 테이프의 전체는 단방향 8*2=16트랙이고, 헤드는 그 절반인 8트랙만(2채널 스테레오니까 동시에 읽는 헤드는 2개) 테이프 진행 방향의 직각으로 2트랙씩 조금씩 움직이며 읽는 것이다. 일반적인 카세트테이프는 헤드 2개를 쓰고 테이프를 꺼내 뒤집어 끼워야 하거나, 진행방향을 바꾸고 헤드를 180도 돌려가며(오토리버스) 쓰고 읽는다. 헤드 4개 중 2개만 쓰기도 한다.[6] 도라에몽의 도구 중 뫼비우스의 띠의 본래 특징을 잘 살렸다고 볼 수 있는 도구가 있다. 띠처럼 생긴 도구로 뫼비우스의 띠를 만들어 문 따위의 손잡이에 걸면 안과 밖의 구분이 사라진다. 예를 들면, 밖에서 문을 열고 들어가면 안이 보여야 하지만 막상 들어가면 안에서 문을 열고 밖으로 나갔을 때처럼 밖이 보인다. 즉, 밖에서 들어갔다가 밖으로 나가는 현상이 나타난다.[7] 그리고 우로보로스처럼 뫼비우스 띠가 아닌 평범한 띠도 계속 이어진다.[8] AD 2500년에서 AD 500년으로 회귀할 경우를 생각해 보자. 회귀자의 입장에서 원래 살던 시간대인 AD 2500년의 생활은 과거의 일이 되지만, 한편으로 미래이기도 하다.[9] 3차원에 거주하는 인간들에게만 힘들지 4, 6차원에 거주하는 수라와 신에게는 당연히 어렵지 않다...[10] 뫼비우스의 띠는 겉도 안도 없으므로 뒤집을 수 없다는 논리.[11] 해당 부에서는 제논의 역설을 패러디한 능력 또한 나온다.[12] 사실 DNA가 원형이기만 해도 노화는 일어나지 않는다. 원핵생물의 DNA가 그러하다.