연속변형성

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1. 개요2. 정의3. 성질

3.1. 연속변형류(Homotopy class)3.2. 연속변형 유형(Homotopy type)

4. 관련 개념들

4.1. 경로 연속변형(Path homotopy)4.2. 부분공간을 고정한 연속변형(Homotopy relative to subspace)4.3. 변형수축(Deformation retract)4.4. 동위(Isotopy)

1. 개요

파일:external/upload.wikimedia.org/HomotopySmall.gif

▲ 연속변형의 일종인 경로 연속변형. 출처

Homotopy · 連續變形(性)

연속변형성 혹은 연속변형은 대수적 위상수학의 연구 주제 중 하나로 특정 위상공간에 주어진 두 연속함수 사이의 연속적인 변화를 주는 함수, 혹은 그 성질을 지칭하는 용어이다.

2. 정의

[ 정의 ] 연속변형성(Homotopy)

위상 공간 [math(X, Y)]와 연속함수 [math(f, g: X \rightarrow Y)]가 주어져 있다고 하자. 이 때 함수 [math(H: X \times [0, 1] \rightarrow Y)]가 존재하여 다음 성질들을 만족한다면, 두 연속함수 [math(f, g)]가 [math(H)]에 의해 연속변형적(homotopic by [math(H)])이라 정의한다.

함수 [math(H)]는 연속함수이다.
[math(\forall x \in X, \ \ H(x, t) = \begin{cases} f(x), & \textsf{if }t = 0 \\ g(x), & \textsf{if }t = 1 \end{cases})]

이 때, 연속함수 [math(H: X \times [0, 1] \rightarrow Y)]를 함수 [math(f, g)] 사이의 연속변형(Homotopy)이라 하고, [math(f \simeq_H g)][1]라 쓴다.

구간 [math(I = [0, 1])]의 원소를 시간으로 보면, [math(t \in I)]가 흐름에 따라 함수 [math(h_t: x \mapsto H(x, t))]가 결정된다고 볼 수 있다. 연속변형이라는 것은 이 함수의 모임 [math(\left\{ h_t \right\} _{t \in I})]가 [math(f = h_0)]부터 [math(g = h_1)]까지 연속성을 유지하면서 옮겨가는 것이라고 이해할 수 있다.[2]

3. 성질

3.1. 연속변형류(Homotopy class)

[ 명제 ] 위상 공간 [math(X, Y)] 사이의 연속함수들의 집합 [math(\mathcal C(X, Y))]에 관계 [math(\sim)]를

[math(f \sim g \ \ \Leftrightarrow \ \ f, g)] 가 연속변형적 [math(\ \ \Leftrightarrow \ \ f \simeq g)]

으로 주면, [math(\sim)]은 [math(\mathcal C(X, Y))] 위의 동치관계.

[ 증명 ]

[math(f, g, h \in \mathcal C(X, Y))]라 하자.

[math(f \sim f)] : [math(H(x, t) = f(x))]라 정의하면 된다.[3]
[math(f \simeq_H g \ \Rightarrow \ g \sim f)] : [math(H'(x, t) = H(x, 1 - t))]라 정의하면 된다.[4]
[math(f \simeq_{H_1} g, g \simeq_{H_2} h \ \Rightarrow \ f \sim g)] : [math(H_3(x, t) = \begin{cases} H_1(x, 2t), & \textsf{if }0 \leq t \leq \dfrac 12 \\ H_2(x, 2t - 1), & \textsf{if }\dfrac 12 \leq t \leq 1 \end{cases})]라 정의하면 된다.[5]□

[ 정의 ] 연속변형류(Homotopy class)

위 사실로부터 얻어지는 상집합 [math(\mathcal C(X, Y) / \sim)]에 대하여, 각 함수 [math(f \in \mathcal C(X, Y))]는 동치류 [math([f] \in \mathcal C(X, Y) / \sim)] 를 가진다. 이 [math([f])]를 [math(f)]의 연속변형류(Homotopy class)라고 정의한다.

정의에 따르면, [math([f] = [g] \Leftrightarrow f \simeq g)] 이다.

3.2. 연속변형 유형(Homotopy type)

[ 정의 ] 위상 공간 [math(X, Y)] 사이의 연속함수 [math(f: X \to Y)]에 대하여, 다음을 만족하는 연속함수 [math(g: Y \to X)]가 존재할 때 [math(f)]를 연속변형 동치(Homotopy equivalence), [math(g)]를 [math(f)]의 연속변형 역원(Homotopy inverse)라 한다.

[math([fg] = [\text{id}_Y], [gf] = [\text{id}_X])]

이 때, 두 공간 [math(X, Y)]는 서로 연속변형 동치(Homotopy equivalent)라 부른다.[6] 서로 같은 연속변형 유형(Homotopy type)을 가진다고 표현하기도 한다.

4. 관련 개념들

4.1. 경로 연속변형(Path homotopy)

[ 정의 ] 경로 연속변형(Path homotopy)

위상 공간 [math(X)]와 경로 [math(f, g: [0, 1] \rightarrow X)]가 주어져 있다고 하자. 이 때 함수 [math(H: [0, 1] \times [0, 1] \rightarrow X)]가 존재하여 다음 성질들을 만족한다면, [math(H: [0, 1] \times [0, 1] \rightarrow Y)]를 경로 [math(f, g)] 사이의 경로 연속변형(Path homotopy)이라 부른다.[7]

함수 [math(H)]는 연속함수이다.
[math(\forall s \in [0, 1], \ \ H(s, t) = \begin{cases} f(s), & \textsf{if }t = 0 \\ g(s), & \textsf{if }t = 1 \end{cases})]

위에서 정의한 연속변형의 경로 버전. 함수의 정의역이 일반 공간이 아닌 구간 [math([0, 1])]로 바뀐 것으로, 당연히 연속변형의 일종이다. 따로 정의할 필요가 있을까 싶겠지만, 대수적 위상수학의 기본군(Fundamental group)을 다룰 때는 경로 연속변형만을 취급하는 일이 많다.

4.2. 부분공간을 고정한 연속변형(Homotopy relative to subspace)

[ 정의 ] [math(A)]를 고정한 연속변형(Homotopy relative to [math(A)])

위상 공간 [math(X, Y)], 부분 공간 [math(A \subset X)]와 연속함수 [math(f, g: X \rightarrow Y)], 연속변형 [math(H: X \times [0, 1] \rightarrow Y)]가 주어져 있다고 하자. 만일 [math(H)]가 다음 조건을 만족하면, 연속변형 [math(H)]를 [math(A)]를 고정한 연속변형(Homotopy relative to [math(A)])이라 한다.

[math(\forall x \in A, \ \ H(x, t) = f(x) = g(x))][8]

이 때 [math(f \simeq_H g \textsf{ rel }A)]나 [math(f \simeq g \textsf{ rel }A)]로 나타낸다.

4.3. 변형수축(Deformation retract)

[ 정의 ] 변형수축(Deformation retract)

위상 공간 [math(X)]와 부분 공간 [math(A \subset X)], 연속함수 [math(H: X \times [0, 1] \rightarrow X)]가 주어져 있다고 하자. 만일 [math(H)]가 다음 조건을 만족하면, [math(A)]를 [math(X)]의 변형수축(Deformation retract of [math(X)])라 한다.

[math(\forall x \in X, \ \ H(x, 0) = x = \text{id}_X(x))]
[math(\forall x \in X, \ \ H(x, 1) \in A)]
[math(\forall a \in A \ \forall t \in [0, 1], \ \ H(a, t) = a = \text{id}_A(a))]

어떤 위상 공간이 그 부분공간으로 연속적 수축이 됨을 나타내는 용어. 단, 교재별로 세 번째 조건을 [math(H(a, t) \in A)]로 약화시킨 것을 정의로 삼기도 한다.[9] 이렇게 두 공간 사이의 변형수축이 존재하면, 두 공간의 기본군이 같아지며 이를 이용하여 기본군을 계산하는 경우가 많다.

4.4. 동위(Isotopy)

[ 정의 ] 동위(Isotopy)

위상 공간 [math(X, Y)]와 매장(Embedding) [math(f, g: X \rightarrow Y)], 연속변형 [math(H: X \times [0, 1] \rightarrow Y)]가 주어져 있다고 하자. 만일 [math(H)]가 다음 조건을 만족하면, 연속변형 [math(H)]를 동위(Isotopy)라고 한다.

[math(\forall t \in [0, 1], \ \ h_t(x) = H(x, t))]로 정의된 [math(h_t: X \rightarrow Y)]도 매장이다.

[1] 혼란의 여지가 없다면, [math(f \simeq g)]의 표현도 사용한다.[2] 그렇기 때문에 연속변형을 간단하게 [math(h_t: X \to Y(t \in I))]라고 표기하기도 한다. 단, 이 표기는 [math(t)]에 의한 연속성이 명시적으로 표현되지 않아 혼란을 초래할 수 있으므로 주의가 필요하다.[3] 시간의 흐름과 무관하게 움직이지 않는다고 생각.[4] Homotopy [math(H)]의 시간을 거슬러 움직인다고 생각.[5] Homotopy [math(H_1, H_2)]를 2배의 속도로 따라간다고 생각. 함수의 연속성은 붙임 보조정리로부터 얻어진다.[6] [math(f)]의 이름도 연속변형 동치이지만, 함수와 공간의 차이가 있으므로 구별이 된다.[7] 두 경로 [math(f, g)]는 [math(H)]에 의해 연속변형적(homotopic by [math(H)])인 것은 위 정의에 의해 명백. [math(f \simeq_H g)]나 [math(f \simeq g)]의 표현도 공유한다.[8] 물론 이것이 성립하려면, [math(f \rvert_A \equiv g \rvert_A)]이어야 한다.[9] 이렇게 정의할 경우, 본 문단에서 정의하는 것을 강한 변형수축(Strong deformation retract)라고 부른다.

연속변형성

1. 개요

2. 정의

3. 성질

3.1. 연속변형류(Homotopy class)

3.2. 연속변형 유형(Homotopy type)

4. 관련 개념들

4.1. 경로 연속변형(Path homotopy)

4.2. 부분공간을 고정한 연속변형(Homotopy relative to subspace)

4.3. 변형수축(Deformation retract)

4.4. 동위(Isotopy)

분류