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1. 개요
Poincaré theorem밀레니엄 문제 중 하나로 현재까지 유일하게 증명된 문제.
원래 푸앵카레 추측(Poincaré conjecture)으로 불렸으나, 수학자 그리고리 페렐만이 증명에 성공하여 일반적인 정리(theorem)로 수용되었다. 이후 '푸앵카레 정리', '페렐만 정리', '푸앵카레-페렐만 정리' 등으로 불린다.[1]
페렐만 이전에 콜린 루크(Colin Rourke)라는 수학자가 푸앵카레 추측을 증명했다고 생각해 관련 학자들에게 검토도 하지 않고 언론에 먼저 발표한 적이 있다. 그러나 몇 달 뒤 증명에 심각한 결함이 있다는 사실이 밝혀져 망신을 당한 적이 있다.
2. 개념 및 해설
3차원 공간의 모든 단일폐곡선이 하나의 점으로 모일 수 있다면 그 공간은 구와 위상적으로 같다.[2]
여기서 말하는 구(Sphere)란 공(Ball)의 경계를 뜻하며, 3차원 구(e.g. [math(x^2+y^2+z^2+w^2=1)])란 곧 4차원 공(e.g. [math(x^2+y^2+z^2+w^2<1)])의 경계를 뜻한다. 여기에서 3차원 구란 사실상 4차원 도형이다. 이 추측과 비슷한 명제로 2차원 공간 버전이 있는데, 여기서 말하는 2차원 구 역시 3차원 공의 표면인 구면을 뜻한다. 지구는 3차원이지만, 지구의 표면만 생각하면 위도와 경도로만 정의되는 2차원 공간이 되듯이 말이다. 그래서 '우주에 무한한 길이의 실을 맨 로켓을 쏘아보내서 우주 공간을 지나 지구로 돌아오게 한 다음, 우주에 펼쳐진 고리 모양의 실을 당겨서 걸리는것 없이 회수가 잘 되면 구형 모양의 우주이고, 중간에 무언가 걸리면 구형 모양의 우주는 아니다'라는, 쉬운(?) 비유로 대신 설명된다.
간단한 예로, 속이 빈 도넛 모양의 3차원 공간을 생각해 볼 수 있다. 이 공간 내부의 한 점에서 아무 방향으로나 실을 맨 로켓을 충분히 많이 쏜 다음 내부 공간을 지나 제자리로 돌아오게 한다고 가정하자.(실의 길이는 무작위이다. 극도로 짧을수도, 엄청나게 길 수도 있다.) 그 다음에 실의 시작부분과 로켓의 몸통을 잡고 실을 줄자마냥 줄여서 회수하려고 한다면, 반드시 도넛 중앙의 빈 공간을 이루는 벽에 걸려 회수가 안 되는 실이 있을 것이다. 그러므로 도넛 모양은 구와 위상적으로 같지 않다. 도넛 모양 대신 구형 공간을 생각한다면, 모든 실은 별다른 장애 없이 회수할 수 있을(한 점으로 묶여 수렴할 수 있을) 것이다.
| 위 설명을 풀어서 시각화한 EBS 다큐멘터리 <문명과 수학> 제5부. |
똑같이 푸앵카레의 이름이 들어간 푸앵카레-호프 정리와 헷갈리지 말자. 이건 벡터장 관련이다.
3. 제시와 증명
원래 앙리 푸앵카레는 3차원 구공간(4차원 공의 경계)에 대해 추측했다. 이 추측은 2차원의 경우 우리의 직관처럼 닫힌 곡면 위의 곡선을 한 점으로 줄일 수 있으면 구면으로 줄일 수 있다는 데서 착안하여 3차원의 구공간에서도 성립하는지 여부를 물은 것이었다. 따라서 같은 질문에 대해 보다 높은 차원에서 성립하는지 물어보는 것은 자연스러운 일인데, 차원이 높으면 증명이 어려울 것이라는 통념과 달리 5차원 구 이상의 경우(6차원 공 이상의 경계)가 스티븐 스메일에 의해서 1961년 가장 먼저 풀렸다.[3] 또한 1982년 마이클 프리드먼이 4차원 단순다양체의 완전한 분류로부터 4차원 푸앵카레 추측도 해결이 되고 원래 문제만 증명이 되지 않고 남았다.밀레니엄 문제에 선정되어 100만 달러의 상금이 걸렸다. 이후 그리고리 페렐만이 증명했다.
그리고리 페렐만은 arXiv라는 과학, 수학 문서, 논문 공유 사이트에 자신의 결과를 공개했다. 발표한 논문 제목과 발표 날짜를 적었다. 논문 제목을 클릭하면 논문을 볼 수 있는 페이지로 이동된다.
- The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications, 리치 흐름에 대한 엔트로피 공식과 기하학적 응용 2002년 11월 11일(39쪽)
- Ricci flow with surgery on three-manifolds, 3차원 다양체에서의 서저리와 리치 흐름 2003년 3월 10일,(22쪽)
- Finite extinction time for the solutions to the Ricci flow on certain three-manifolds, 특정한 3차원 다양체에서 리치 흐름에 대한 유한 소멸시간 2003년 7월 17일(7쪽)
당연하게도 이 난제를 해결한 3명의 수학자 모두 그 공로로 수학의 노벨상이라 할 수 있는 필즈상을 수상했다. 단, 페렐만은 필즈상 수상식에도 불참했으며 학회 회원 자격과 밀레니엄 문제의 100만 달러 상금을 비롯한 다른 상금(총 약 10억 원)도 모두 거절했다.
4. 필즈상의 보고
- 존 밀너는 푸앵카레 추측의 미분동형 버전에 대해서 7차원 구에 대한 반례를 발견한 공로로 1962년에 필즈상을 수상했다.
- 스티븐 스메일은 5차원 이상에 대해서 해결하며 1966년에 필즈상을 수상하였다.
- 마이클 하틀리 프리드먼은 4차원에서 해결하며 1985년 필즈상을 수상하였다.
- 그리고리 페렐만은 3차원에서 해결하며 2006년 필즈상에 선정되었다. 비록 본인이 수상을 거절했지만 수상자 명단에는 분명하게 기록되어 있다.
이 문제 하나로 직접적인 해결에 3개, 연관 문제로 1개, 총 4개의 필즈상이 수여되었다.
5. 관련 문제
푸앵카레 추측의 미분동형 버전도 있는데, 이는 존 밀너에 의해 7차원 구에 대한 반례가 발견되었다. 따라서 구와 위상동형이지만 서로 미분동형이 아닌 것들을 분류해 Exotic Sphere라 하는데, 7차원 Exotic Sphere는 원래의 구를 포함해 28종류나 존재한다. 미분동형 버전의 경우 63차원까지는 Exotic Sphere의 개수까지 정리[4]되어 있다. 단, 4차원은 아직 미해결인데, 존재성도 미해결이고 존재한다고 할 때 그 개수의 상한조차 가산무한이란 게 전부.[1] 수학에서 추측은 증명 미완 또는 증명 불가의 명제를 지칭하며, 증명될 경우 일반적인 정리로 수용된다. 가설을 제안한 사람의 이름이 그대로 살아 있는 경우도 있고, 증명자의 이름으로 바뀌는 경우도 있다. 케바케. 다만 이 경우처럼 너무 유명한 경우는 잘 안 바뀌긴 한다.[2] 이 명제를 수학적으로 표현하면 '임의의 경계가 없는 단일 연결 콤팩트 3차원 다양체는 3차원 구면과 위상동형이다'가 된다.[3] 사실 차원이 하나씩 늘면 공간에 대한 개념이 하나씩 느는데, 이 증가하는 개념들이 일종의 수학적 도구(?) 정도로 작용해서 문제를 푸는 데에 대한 제한을 없애준다고 할 수 있다. 그래서 4차원 이상의 푸앵카레 추측에 대한 증명이 먼저 이루어진 것이다. (출처: 푸앵카레가 묻고 페렐만이 답하다. 조지 G. 슈피로 著.) 실제로 비슷한 사례로서 키싱 넘버(Kissing number)에 관련된 문제가 있는데, 이는 특정 반지름의 n차원 구가 주어졌을 때, 이 구와 외접하는 같은 반지름의 구의 개수의 최대치를 의미하는 수학 문제다. 3차원일 때를 뉴턴이 12라고 추측했고, 이게 맞다는게 증명되면서 뉴턴 수(Newton Number)라고도 불린다. 1차원에서의 뉴턴 수는 2, 2차원에서는 6, 3차원에서는 12으로 계산이 되어 있지만, 그 외의 차원에 대해서는 4, 8, 24차원에 대해서만 증명되고 나머지 차원은 상한과 하한만이 계산되어 있는 상태인데, 5~7차원보다 8차원이 먼저, 9~23차원보다 24차원이 먼저 계산된 이유 역시 고차원으로 갈수록 늘어나는 공간에 대한 성질이 일종의 수학적 도구이자 제약으로 작용해서 계산이 된 것이다.[4] 설명에 3차원의 경우 푸앵카레 정리에 의해 1이라고 써있는데 이는 3차원 이하에선 구와 위상동형이면 자동으로 미분동형이라 그렇다.