1. 개요
분리공리(分離公理, separation axiom)란 위상공간의 성질로, 여럿의 점 혹은 닫힌집합을 근방(近方, neighborhood)[1]이나 연속함수를 써서 분리할 수 있다는 성질이다. [math(T)]에 밑첨자로 숫자를 써서 간단히 일컬을 수 있다.이름은 공리이나, 공리가 아니라 성질이다.
2. T₀ 성질
분리공리중에서도 가장 약한 성질로, 따로 구분하지 않는 경우가 대부분이다. 대부분의 분리공리에 자연스럽게 내포되는 기본적인 성질이기 때문.정의: 위상공간 [math(X)]의 임의의 서로 다른 두 점 [math(x)]와 [math(y)]에 대해, 적절한 열린집합 [math(U)]가 존재하여 [math(x \in U \land y \notin U)]이거나 [math(y \in U \land x \notin U)]일 때 [math(X)]를 콜모고로프(Kolmogorov) 공간, 혹은 [math(T_0)] 공간이라고 한다.
서로 다른 두 점 중 적어도 하나를 내포하는 열린 근방이 존재하여 다른 점을 근방에 포함되는 혹은 포함되지 않는으로 구분할 수 있다는 성질이다.
예를 들어서 [math(X=\{a, b\})]에서 [math(\mathcal{T}=\{\emptyset, X, \{a\}\})]라는 위상을 잡았을 경우, 열린집합 [math(\{a\})]가 존재하여, [math(a \in \{a\})]이지만 [math(b \notin \{a\})]이므로, 이 위상은 [math(T_0)] 공간이 된다.
3. T₁ 성질
정의: 위상공간 [math(X)]의 임의의 서로 다른 두 점 [math(x)]와 [math(y)]에 대해, [math(x)]의 적절한 근방 [math(U)]가 존재하여 [math(y \notin U)] 일 때, [math(X)]를 쿠라토프스키(Kuratowski) 공간, 혹은 [math(T_1)] 공간이라고 한다.
위 정의에서 [math(x)]와 [math(y)]를 뒤바꾸면 [math(y)]의 적절한 근방 [math(V)]가 존재하여 [math(x \notin V)]라는 것도 알 수 있다. 즉, [math(x \neq y)]라면 둘 중 임의의 하나는 포함하지만 다른 하나는 포함하지 않는 근방을 언제나 잡을 수 있다는 것.[2]
임의의 [math(T_1)] 공간은 다음 성질들을 만족한다.
- [math(T_1)] 공간의 임의의 유한 부분집합은 닫힌집합이다.
- [math(T_1)] 공간이 유한집합이라면 그 위상은 이산위상(discrete topology)이다.
- [math(T_1)] 공간의 부분공간도 [math(T_1)] 공간이다.
- [math(T_1)] 공간끼리의 곱공간도 [math(T_1)] 공간이다.
- [math(T_1)] 위상군(topological group)은 완전정칙공간이다.
4. 하우스도르프 성질
정의: 위상공간 [math(X)]의 임의의 서로 다른 두 점 [math(x)]와 [math(y)]에 대해, [math(x)]의 적절한 근방 [math(U)]와 [math(y)]의 적절한 근방 [math(V)]가 존재하여 [math(U)]와 [math(V)]가 서로소일 때, [math(X)]를 하우스도르프(Hausdorff) 공간, 혹은 [math(T_2)] 공간이라고 한다.
임의의 하우스도르프 공간은 다음 성질들을 만족한다.
- 하우스도르프 공간은 [math(T_1)] 공간이다.
- 하우스도르프 공간상의 임의의 점열(點列, sequence)에 대해, 극한점(limit)이 존재한다면 유일하다.
- 하우스도르프 공간의 부분공간도 하우스도르프 공간이다.
- 하우스도르프 공간끼리의 곱공간도 하우스도르프 공간이다.
- 하우스도르프 공간의 임의의 컴팩트(compact)한 부분공간은 닫힌집합이다.
- 하우스도르프 공간은 국소 컴팩트(locally compact)하다면 완전정칙공간이다.
- 하우스도르프 공간은 컴팩트하다면 정규공간이다.
하우스도르프 공간이 아닌 [math(T_1)] 공간의 예시로서, 무한집합을 아무거나 잡고 여유한위상(餘有限位相, cofinite topology)를 줄 수 있다.
5. 정칙 성질
정의: 위상공간 [math(X)]가 [math(T_1)] 공간이고, [math(X)]의 임의의 닫힌집합 [math(A)]와 그 위에 있지 않은 임의의 점 [math(x)]에 대해, [math(A)]의 적절한 근방 [math(U)]와 [math(x)]의 적절한 근방 [math(V)]가 존재하여 [math(U)]와 [math(V)]가 서로소일 때, [math(X)]를 정칙(正則, regular)공간, 혹은 [math(T_3)] 공간이라고 한다.
임의의 정칙공간은 다음 성질들을 만족한다.
- 정칙공간은 하우스도르프 공간이다.
- 정칙공간의 임의의 점 [math(x)]와 [math(x)]의 임의의 근방 [math(U)]에 대해 [math(x)]의 적절한 근방 [math(V)]가 존재하여, [math(V)]의 폐포(閉包, closure)는 [math(U)]의 부분집합이다.
- 정칙공간의 부분공간도 정칙공간이다.
- 정칙공간끼리의 곱공간도 정칙공간이다.
- 정칙공간은 제2가산(second-countable)하다면 정규공간이다.[3]
- 우리손 거리화정리(Urysohn's metrization theorem)
- 가산 개의 점을 가지는 정칙공간은 완벽정규공간이다.
정칙공간이 아닌 하우스도르프 공간의 예시로서, 실수 집합에 K위상(K-topology)를 줄 수 있다.
정칙공간부터는 주의할 점이 있다. 일부 수학자는 영어 용어 "regular"를 위 정의에서 [math(T_1)] 성질을 뺀 형태로 정의하기도 한다는 점이다. 이러한 수학자는 정칙 성질을 "regular Hausdorff"라고 일컫는다[4]. 한편, "regular"를 위 정의대로 사용하되 오히려 위 정의에서 [math(T_1)] 성질을 뺀 형태를 [math(T_3)] 성질이라고 일컫는 수학자도 있으므로[5] 더더욱 주의해야 한다. 아래에 소개할 분리공리들도 전부 마찬가지다.
6. 완전정칙 성질
정의: 위상공간 [math(X)]가 [math(T_1)] 공간이고, [math(X)]의 임의의 닫힌집합 [math(A)]와 그 위에 있지 않은 임의의 점 [math(x)]에 대해, 적절한 연속함수 [math(f : X → [0,1])]가 존재하여 [math(f[A] ⊂ \{0\})][6]이고 [math(f(x) = 1)]일 때, [math(X)]를 완전정칙(完全正則, completely regular)공간, 혹은 [math(T_{3½})] 공간이라고 한다.
임의의 완전정칙공간은 다음 성질들을 만족한다.
- 완전정칙공간은 정칙공간이다.
- 완전정칙공간의 부분공간도 완전정칙공간이다.
- 완전정칙공간끼리의 곱공간도 완전정칙공간이다.
- 완전정칙공간은 스톤-체흐 컴팩트화(Stone-Čech compactification)가 가능하다.[7]
완전정칙공간이 아닌 정칙공간의 예시로 티호노프의 코르크 따개(Tychonoff's Corkscrew)[8]가 있다.
7. 정규 성질
정의: 위상공간 [math(X)]가 [math(T_1)] 공간이고, [math(X)]의 임의의 서로소인 두 닫힌집합 [math(A)]와 [math(B)]에 대해, [math(A)]의 적절한 근방 [math(U)]와 [math(B)]의 적절한 근방 [math(V)]가 존재하여 [math(U)]와 [math(V)]가 서로소일 때, [math(X)]를 정규(正規, normal)공간, 혹은 [math(T_4)] 공간이라고 한다.
임의의 정규공간은 다음 성질들을 만족한다.
- 정규공간은 완전정칙공간이다.
- 정규공간의 임의의 닫힌집합 [math(A)]와 [math(A)]의 임의의 근방 [math(U)]에 대해 [math(A)]의 적절한 근방 [math(V)]가 존재하여, [math(V)]의 폐포는 [math(U)]의 부분집합이다.
- 우리손 보조정리(Urysohn's lemma)
정규공간이 아닌 완전정칙공간의 예시로서 곱공간 [math((\omega_1 + 1) × \omega_1)]이 있다[9].
- 이 공간은 정규공간끼리의 곱공간이 정규공간이라는 명제의 반례이기도 하다. 임의의 서수는 완전정규공간인데, 본 공간은 서수인 [math(\omega_1 + 1)]와 [math(\omega_1)]끼리의 곱공간이면서도 정규공간이 아니기 때문이다.[10]
- 이 공간은 정규공간의 부분공간이 정규공간이라는 명제의 반례이기도 하다. 임의의 극한서수에 1을 더하면 컴팩트하게 되므로 [math(\omega_1 + 1)]는 컴팩트 하우스도르프 공간이고, 그것을 제곱한 [math((\omega_1 + 1) × (\omega_1 + 1))]도 컴팩트 하우스도르프 공간이므로 정규공간인데, 본 공간은 그것의 부분공간이기 때문이다.
일반위상에서 가장 중요하게 다루어지는 공간인데, 우리손 보조정리, 우리손 거리화정리, 나가타-스미르노프 거리화 정리, 티체 확장정리와 같은 강력한 정리들을 사용할 수 있다. 실수체에서 주어진 위상의 좋은 성질들을 만족하는 공간이다. 하지만 불행하게도, 정규공간의 곱이나 부분공간이 정규공간이라는 보장이 없기 때문에 정칙공간이나 완전정칙공간에 비해서 정규공간임을 보이는 논증이 복잡하다. 정규공간은 대표적으로 다음 예시들이 있다.
- 컴팩트 하우스도르프 공간
- 가산기저를 갖는 정칙공간
- 린델뢰프 정칙 공간
- separable[11] 정칙 공간
- 거리화 공간
8. 완전정규 성질
정의: 위상공간 [math(X)]의 임의의 부분공간이 정규공간일 때, [math(X)]를 완전정규(完全正規, completely normal)공간, 혹은 [math(T_5)] 공간이라고 한다.
임의의 완전정규공간은 다음 성질들을 만족한다.
- 완전정규공간은 정규공간이다.
- 완전정규공간의 부분공간도 완전정규공간이다.
완전정규공간이 아닌 정규공간의 예시로서 [math((\omega_1 + 1) × (\omega_1 + 1))]이 있다. 그 부분공간 [math((\omega_1 + 1) × \omega_1)]이 정규공간이 아니기 때문이다. 완전정규공간끼리의 곱공간이 완전정규공간이라는 명제의 반례이기도 하다.
9. 완벽정규 성질
정의: 위상공간 [math(X)]이 [math(T_1)] 공간이면서, 임의의 닫힌집합 [math(A)]에 대해, 적절한 가산 개의 열린집합이 존재하여 이들의 교집합[12]이 [math(A)]일 때, [math(X)]를 완벽정규(完璧正規, perfectly normal)공간, 혹은 [math(T_6)] 공간이라고 한다.
임의의 완벽정규공간은 다음 성질들을 만족한다.
- 완벽정규공간은 완전정규공간이다.
- 완벽정규공간의 부분공간도 완벽정규공간이다.
- 완벽정규공간 [math(X)]와 임의의 서로소인 닫힌집합 [math(A)]와 [math(B)]에 대해, 적절한 연속함수 [math(f : X \to [0,1])]이 존재하여 정확히 [math(A)]에서만 함숫값이 [math(0)]이고 정확히 [math(B)]에서만 함숫값이 [math(1)]이다.[13]
완벽정규공간이 아닌 완전정규공간의 예시로서 [math(\omega_1 + 1)]이 있다. [math(\omega_1)]을 원소로 갖는 열린집합의 하한은 가산서수인데, 가산 개의 가산서수의 상한도 가산서수이기 때문이다.
한편, 완벽정규공간끼리의 곱공간이 완벽정규공간이라는 명제의 반례로서 소젠프레이 평면(Sorgenfrey Plane)이 있다. 소젠프레이 직선(Sorgenfrey Line)은 완벽정규공간이지만, 소젠프레이 직선 두 개의 곱공간인 소젠프레이 평면은 정규공간조차 아니기 때문이다.
[1] 특정 점을 원소로 갖거나, 특정 집합을 부분집합으로 갖는 열린집합.[2] 임의라는 표현이 없으면 콜모고로프(Kolmogorov) 공간. 혹은 [math(T_0)] 공간의 성질이 된다.[3] 사실 밑의 우리손 거리화정리에 의해 이러한 공간은 거리화가능(metrizable)하므로 완벽정규공간이다.[4] 영어판 위키백과가 이러한 방식을 쓰고 있다.[5] Steen & Seebach 저의 Counterexamples In Topology에서 그러하다.[6] 등호가 아니라 부분집합 기호를 쓴 이유는 [math(A)]가 공집합일 수도 있기 때문이다.[7] 완전정칙공간이 아닌 공간을 스톤-체흐 컴팩트화 시도하면 결과물이 컴팩트화가 아니게 된다.[8] Steen & Seebach 저 Counterexamples In Topology, Part II, Section 90.[9] [math(\omega_1)]은 가장 작은 비가산서수인데, 즉 모든 가산서수를 모은 집합이다. 그 위상은 물론 순서 위상이다.[10] 순서 위상을 잘 모르는 경우 다른 반례로 Sorgenfrey plane이 있다.[11] 위상공간 X가 있을 때 X의 조밀한 가산 부분집합이 존재하는 성질이다.[12] 이러한 집합을 [math(G_\delta)] 집합이라고 한다.[13] "정확히"라는 조건이 어느 한쪽에서 빠진다면 [math(X)]가 정규공간이라는 것만이 보장된다.