Symmetry, 對稱
1. 개요
Symmetry, as wide or as narrow as you may define its meaning, is one idea by which man through the ages has tried to comprehend and create order, beauty and perfection.
넓은 의미에서건 좁은 의미에서건, 대칭은 인류가 세기에 걸쳐 그로 하여금 질서, 아름다움, 완벽을 이해하고 창조하기 위해 노력한 관념이다.
헤르만 바일(Hermann Weyl), 『대칭』(Symmetrie), 1938.
넓은 의미에서건 좁은 의미에서건, 대칭은 인류가 세기에 걸쳐 그로 하여금 질서, 아름다움, 완벽을 이해하고 창조하기 위해 노력한 관념이다.
헤르만 바일(Hermann Weyl), 『대칭』(Symmetrie), 1938.
대칭(Symmetry)의 어근은 sym(같이)+metry(측정), 즉 동일하게 측정된다는 의미이다. 보통 사용되는 좁은 의미로는 도형을 움직였을 때 같은 모양이 되는 규칙성, 혹은 같은 모양이 되게 움직이는 조작을 의미한다.
보통 생각하는 예시로는 중등교과서에 나오는 좌우가 같은 모양이나 (선대칭) 180도 돌렸을 때 같은 모양 (점대칭) 등이 있다. 자연에도 나비의 양쪽 날개나 사람의 얼굴 등 좌우대칭은 생각보다 자주 나타난다.[1] 눈의 결정이나 벌집의 육각형 같이 고도의 대칭을 찾아볼 수 있기도 하다. 사실 찾아보면 우리 주변의 디자인, 문양, 건축에서 대칭은 정말 흔하게 볼 수 있고, 이는 시대와 문화권을 막론하고 나타난다. 덕분에 대칭은 인류가 본능적으로 추구해 온 아름다움 중 하나로 생각되기도 한다.
현대수학의 발전으로 수학자(및 물리학자)들은 대칭을 보다 포괄적인 개념으로 생각하게 된다. 가장 중요한 패러다임 전환 중 하나로는 대칭을 형태를 보존하는 '변환 그 자체'로 보는 것이다. 중등수학 및 일상적으로 생각되는 대칭이 도형의 특수한 성질처럼 생각되는 것과는 구별된다. 예시를 들자면 다음의 뉘앙스 차이 정도로 생각할 수 있을 것이다.
- 정삼각형은 세 방향의 대칭축에 대해 선대칭이고, 1/3, 2/3바퀴 회전에 대해 회전대칭이다.
- 정삼각형의 대칭은 세 방향에 대한 반사 3가지와, 0도/120도/240도 회전의 3가지가 존재한다.
물론 군론이 처음 정립된 건 19세기 초였고 그마저도 물리적 공간에서 시작된 것은 아니다 보니까, 이 패러다임이 정립되기까지는 생각보다 많은 시간이 걸렸다. 하지만 일단 여기에 익숙해지고 나서는 수학자들은 대칭의 개념을 모든 변화와 이에 따른 불변성으로 최대로 넓히는 것에 주저하지 않았고, 이는 사고방식에서건 실전에서건 기하학 뿐만이 아니라 대수학, 해석학 등 수학의 대부분의 분야에 알게 모르게 많은 영향을 주었다.
물리학에서는 이게 또 다른 의미로 다가오는데, 이 대칭성이 사실은 물리법칙하고 일대일대응되는 거였다는 게 뇌터 정리(Weyl-Noether theorem)라는 이름으로 체계화되고 나서부터는 현대물리학자들은 더욱더 눈에 불을 켜고 대칭에 집착하게 된다. 물리학에서의 대칭 이야기는 대칭성 항목을 참고하자.
물론 이렇다고 수학자들이나 물리학자들이 대칭을 딱딱한 연구대상으로만 보는 것은 전혀 아니다. 외려 이렇기 때문에 이들은 대칭을 단순히 미적인 규칙으로서가 아니라 자연 만물에 숨어있는 우주의 신비로 간주하며, 위의 인용구처럼 일반인들보다 더더욱 대칭의 아름다움을 찬미하곤 한다. 이런
2. 수학에서의 대칭
2.1. 추상적 대칭과 군의 개념
위의 설명을 나름대로 엄밀하게 해 보자면, 공간 [math(X)] 위에서의 모든 변환은 [math(X \rightarrow X)]의 함수 중 공간의 구조를 보존하는 것들로 볼 수 있으며, 공간 안의 객체 [math(C)]의 대칭은 이들 중 [math(C)]를 보존하는 (주로 [math(f(C)=C)]로 나타나는) 걸로 볼 수 있다. 어떤 대상의 대칭들은 항상 다음 세 가지 성질을 만족한다.- 항등함수는 대칭이다.
- 두 대칭의 합성은 대칭이 된다.
- 대칭의 역함수도 대칭이 된다.
사실 이 정의만을 갖고 간다면 굳이 [math(X)]가 현실의 공간일 필요는 없다. 예를 들어 [math(X)]를 유한집합으로 놓고 원소 [math(n)]개짜리 집합의 모든 일대일대응을 대칭으로 생각할 수도 있고, 이는 치환군(permutation group)이나 대칭군(symmetric group)[3]이라는 이름으로 불린다. 당장 군이 처음 나온 것도 공간에서가 아니라 이 치환군의 개념에 훨씬 가까웠다.
현실적인 예시는 [math(X)]가 통상적인 공간(좌표공간이나 벡터공간)이고, 거기에 자연스럽게 주어진 구조는 거리라고 보는 것이 보통일 것이다. 즉 대칭=합동변환인 셈이다.
함수에서의 대칭은 대칭함수를 참고.
2.2. 평면과 공간의 대칭
평면 혹은 공간의 대칭 조작, 모든 합동변환은 항상 아핀변환, 즉 선형변환+평행이동의 꼴로 나타낼 수 있다. 여기서 선형변환도 거리를 보존해야 하므로 직교행렬이 되어야 한다. 일반적인 유클리드 공간의 대칭의 군(group of symmetry)을 유클리드 군(Euclidean group)이라 부르며 다음처럼 나타낼 수 있다. ([math(\mathrm{O}_n)]:직교행렬의 군 직교군)[math(\mathrm{E}_n = \{f : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n : f({\bf x}) = {\bf A}{\bf x} + {\bf b}, {\bf A} \in \mathrm{O}_n, {\bf b} \in \mathbb{R}^n \})]
평면에서의 모든 대칭 조작은 (즉 위에서 [math(n=2)]일 때) 크게 다음 네 가지로 분류할 수 있다.- 평행이동: 행렬 [math({\bf A})]가 단위행렬일 때
- 회전: [math(\det({\bf A})=1)]이고 단위행렬이 아닐, 즉 회전행렬일 때는 반드시 한 점에 대한 회전으로 나타낼 수 있다.
- 반사: [math(\det({\bf A})=-1)]이고 [math(f({\bf p})={\bf p})]인 점이 있을 때는 특정 직선에 대한 반사로 나타난다.
- 미끄럼 반사(glide reflection): [math(\det({\bf A})=-1)]이지만 보존하는 점이 없을 때는 (직선에 대한 반사)+(그 직선에 평행인 방향으로 평행이동)의 형태로 나타나고, 이러한 변환을 미끄럼 반사라 부른다. [math(f(x,y)=(x+1,-y))] 등의 예시가 있다.
유한하지 않은 도형의 대칭으로는 평행이동이 들어갈 수 있다. 뜨개질한 목도리나 단청 같은 띠 모양의 규칙적인 디자인은 한 방향의 평행이동을 갖고, 벽화의 무늬나 규칙적으로 깐 바닥 타일 및 보도블럭 (일종의 테셀레이션) 등은 두 방향의 평행이동을 갖는다. 이들을 각각 띠무늬 군(frieze group), 벽지무늬 군(wallpaper group)으로 부르고, 군론 및 평면기하학의 지식을 활용하면 띠무늬 군은 7개, 벽지무늬 군은 17개의 종류로 구분할 수 있다.
물론 이것의 엄밀한 증명 자체는 19세기 말로 비교적 늦었지만[4] 띄무늬 군이나 벽지무늬 군에 대한 경험적인 지식은 군의 개념 이전에도 어느 정도 있었을 것으로 추측된다. 알함브라 궁전의 문양에서 이 17가지 문양을 모두 찾아볼 수 있다고 한다. [5] 당장에 저 군 이름에 띠니 벽지니 하는 일상이름과 뜨개질이니 단청이니 하는 일상예시가 들어가 있는 걸 보면, 어찌 보면 여기까지와 3차원 예시가 가장 일상생활에 근접한 대칭이라고 할 수도 있을 것이다.
비슷하게 공간에서도 도형의 가능한 대칭을 모두 분류할 수 있지만, 평면에 비해서는 조금 어렵다. 대신에 이건 훨씬 더 현실적인 수요가 있는데, 화학에서 모든 결정을 분류할 때 쓰이기 때문이다. 결정학에서는 벽지무늬 군과 비슷하게 공간격자의 군을 230가지로 완벽히 분류하고, 기타 다른 기준을 적용해 여러가지의 포괄적인 분류(격자의 6정계라던지)를 생각한다.
2.3. 연속적인 대칭
대칭을 고차원으로 일반화하면서 자연스럽게 관심이 간 건 행렬들의 군일 것이다. 특히 [math(\mathrm{GL}, \mathrm{SL}, \mathrm{O}, \mathrm{SO}, \mathrm{Sp})] 등등의 고전군(classical group)들이 처음의 관심이 되었고, 이후에 몇 가지 예외적인 경우가 추가되었다. 이들을 일반화한 게 리 군(Lie group)의 개념이다. 리 군은 엄밀하게 정의한다면 다양체로서의 군으로 정의되지만, 그 의미는 연속적인 대칭의 모음 정도에 가깝고, 실상은 결국에는 행렬로 나타낼 수 있는 군이다. 즉 유한차원 공간의 대칭의 가능한 모든 후보들인 것이다.표현론의 극단적인 발전으로 수학자들은 이들 행렬군의 모든 국소 형태까지[6] 분류해 낼 수 있었지만, 물리학에서 이들을 어떻게 써먹을까에 대해서는 훨씬 더 많은 문제들을 해결해야 하기 때문에 여전히 많은 것을 모르는 게 맞다. 다만 초끈 이론이니 초대칭이니 뭐니 하는 근본적 이론의 가능성에 대해서 시도해볼 만한 이론적 배경을 던져주었다는 효과는 있다.
2.4. 공간의 대칭성과 물리법칙
물리학에서 말하는 대칭성 및 뇌터 정리 항목을 참고.3. 인문/예술에서 대칭의 의미
정확한 최초의 서술을 찾기야 불가능하겠지만, 아리스토텔레스의 『형이상학』에서도 대칭성 관련 인용을 찾을 수 있는 것처럼 대칭성을 아름다움의 상징으로 여긴 것은 꽤나 오래 전부터 보편적이었을 것이다. 무리하게 끌어가자면 플라톤이 정다면체와 우주의 신비를 연관시킨 것도, 고도의 대칭성을 갖고 있는 원을 아리스토텔레스부터 시작해 중세 학자들이 완전함과 신성의 상징으로 추앙한 것도 일종의 대칭성을 추구한 결과일 것이다.[1] 단, 완전히 대칭이지는 않다.[2] 모노드로미 군(monodromy group)이라 불리는 이 개념은 사실 리 군(Lie group)이 등장한 직접적인 동기이다.[3] 일반적으로는 대칭군이라는 명칭이 더 많이 쓰이지만, 여기서는 의도적으로 치환군이라는 용어를 앞에 빼놓았다. group of symmetry 혹은 symmetry group도 '대칭군'으로 주로 번역되기 때문에 둘을 처음 같이 접하면 헷갈릴 수 있기 때문이다.[4] 영문 위키백과(Wallpaper group 항목)에 따르면 1891년이라고 한다.[5] 옥스포드대 교수 Marcus du Sautoy의 교양도서 『대칭』(Symmetry : A Journey into the Patterns of Nature, 2011)에선, 덕분에 알함브라 궁전이 군론 연구자들의 성지로 통한다고 한다...[6] 즉 semisimple Lie algebra의 [math(A, B, C, D)] 유형과 [math(G_2, F_4, E_6, E_7, E_8)]으로의 완벽한 분류