곡면

1. 개요

2. 관련 용어

• 평면(plane)
  곡면의 특수한 경우로, 모든 방향에서 곡률이 0인 곡면이다.
• 접평면(tangent plane)
  곡선에서의 접선의 개념을 보다 고차원으로 확장시킨 것. 거의 모든 점에서 연속적인 곡면상의 임의의 점에서 해당 점에 접하는 평면이라는 형태로 정의된다.
• 부드러움(smooth)
  곡면 [math(S)]가 해당 영역 내의 모든 점에서의 편미분이 연속된 값을 가지는 경우, 해당 영역에서 이 곡면은 매끄럽다고 표현한다. 다만 정확하게 정의하자면 곡면 [math(S)]를 매개변수 [math(u, v)]에 대해 매개화한 좌표함수 [math(r(u,v))]를 정의한 뒤, [math(r_u\times r_v\neq 0)]. 즉 정의된 모든 점에서 법선벡터의 크기가 0이 아닌 곡면을 말한다.
• 단순곡면(simple surface)
  [math(u, v)]로 구성된 2차원 좌표를 지닌 유클리드 공간의 부분집합 [math(U \subset \mathbb{R}^2)]가 개집합이라 할 때, [math(k \in \mathbb{N})]에 대한 [math(C^{k})]-단사함수 [math(\mathbf{x}:U\to \mathbb{R}^3)]가 모든 [math(p \in U)]에 대하여 [math(\displaystyle \frac{\partial\mathbf{x}}{\partial u}(p)\times \frac{\partial\mathbf{x}}{\partial v}(p)\neq 0)]를 만족하는 곡면
• 고유조각사상(proper patch)
  단순곡면 [math(\mathbf{x}:U\to \mathbb{R}^3)]의 역함수 [math(\mathbf{x}^{-1}:\mathbf{x}(U)\to U)]가 정의역 [math(\mathbf{x}(U))]의 모든 점에서 연속인 사상.

3. 기본계수와 기본형식(fundamental coefficients / form)

• 제1기본계수(1^st fundamental coefficients)
  곡면 [math(M, p \in M)]에 대하여
  

  [math(x:D\to x(D)(\subset M))]

  
  가 [math(p)] 근방의 고유조각사상일 때, 다음의 3가지를 점 [math(p)]에서의 곡면 [math(M)]의 제1기본계수라고 한다.
• [math(E:=\left\langle \mathbf{x}_u, \mathbf{x}_u\right\rangle)]
• [math(F:=\left\langle \mathbf{x}_u, \mathbf{x}_v\right\rangle)]
• [math(G:=\left\langle \mathbf{x}_v, \mathbf{x}_v\right\rangle)]
• 제2기본계수(2^nd fundamental coefficients)
• [math(L:=\left\langle \mathbf{x}_{uu}, U \right\rangle=-\left\langle \mathbf{x}_u, U_u\right\rangle)]
• [math(M:=\left\langle \mathbf{x}_{uv}, U \right\rangle=-\left\langle \mathbf{x}_u, U_v\right\rangle=-\left\langle \mathbf{x}_v, U_u\right\rangle)]
• [math(N:=\left\langle \mathbf{x}_{vv}, U \right\rangle=-\left\langle \mathbf{x}_v, U_v\right\rangle)]
• 제1기본형식과 제2기본형식(1^st/2^nd fundamental form)
  원래는 헤세 행렬 개념이 포함되는 내용이지만, 미분기하학에서 쓰이는 수준으로 간략하게 표현하면 다음과 같다.
• 제1기본형식
  [math(T_pM=\{a\mathbf{x}_u+b\mathbf{x}_v|a, b\in \mathbb{R}\})]이라는 접평면을 가정하자. 즉, 이 접평면 위의 모든 점은 접평면의 기저의 2차원 좌표로 표현할 수 있다. 이 때, A 항목을 만족하는 사상을 제1기본형식, B 항목을 만족하는 사상을 제2기본형식이라고 한다.
  (단, [math(\mathbf{w}\in T_pM)])
  ([math(\alpha:\left(-\epsilon, \epsilon\right)\to M)]는 정칙곡선이다. 즉 [math(\displaystyle \alpha(0)=p, \alpha'(0)=\biggl. \frac{du}{dt} \mathbf{x}_u+\frac{dv}{dt} \mathbf{x}_v \biggl|_{t=0})]
  

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1. 제1기본형식

[math(\textrm{Ⅰ}_p:T_pM\to \mathbb{R})]
[math(\displaystyle\begin{aligned}\textrm{Ⅰ}_p(\mathbf{w}):&=\left\langle\mathbf{w},\mathbf{w}\right\rangle\\&=\lVert w\rVert^2\\&=\left\langle\alpha'(0), \alpha'(0)\right\rangle\\&=\biggl.E\left(\frac{du}{dt}\right)^2+2F\left(\frac{du}{dt}\right)\left(\frac{dv}{dt}\right)+G\left(\frac{dv}{dt}\right)^2\biggl|_{t=0}\end{aligned})]



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B. 제2기본형식[1]

[math(\textrm{Ⅱ}_p:T_pM\to \mathbb{R})]
[math(\displaystyle \begin{aligned}\textrm{Ⅱ}_p(w):&=-\left\langle dU_p(\mathbf{w}), \mathbf{w}\right\rangle\\&=\biggl.L\left(\frac{du}{dt}\right)^2+2M\left(\frac{du}{dt}\right)\left(\frac{dv}{dt}\right)+N\left(\frac{dv}{dt}\right)^2\biggl|_{t=0}\end{aligned})]



엄밀하게는 리만 다양체와 아핀접속 등의 고급 위상수학적 개념을 끌고 와야 하므로 학부 미분기하학 수준에서 멈춘다.

3.1. 특수한 경우의 제1, 제2기본계수

4. 기본계수와 곡면의 성질

4.1. 제2기본계수