1. 기본 의미
torsion
어떠한 것이 곧바르지 않고 꼬인 위치 방향으로 휘는 것. 비틀림이라고도 한다. 역학에서는 뒤틀리는 경향성을 '토크(torque)'라고 부르며, 미분 기하학에서는 곡선이 뒤틀린 정도를 '열률(捩率)'[1]이라고 이른다. 열률은 프레네 틀(Frenet frame)을 이용해 구할 수 있으며, 자세한 내용은 해당 항목 참고.
수학교사를 꿈꾸는 사람이 보는 임용고시에서 킬러 문제를 담당하고 있는 한 축이기도 하다. 뒤틀림을 계산하는 과정이 그야말로 노가다이기 때문. 미분 기하학을 이용해 이론을 전개하는 일반 상대성 이론에서도 빼놓을 수 없다.
임의의 미분 가능한 곡선 [math(\boldsymbol{\alpha})]의 뒤틀림을 [math(\tau)]라고 하면, 다음과 같다.
[math(\displaystyle\tau = \frac{\left(\boldsymbol{\alpha}' \times \boldsymbol{\alpha}\right)\cdot\boldsymbol{\alpha}'}{\|\boldsymbol{\alpha}' \times \boldsymbol{\alpha}''\|^2})]
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[math(\displaystyle\tau = \frac{\left(\boldsymbol{\alpha}' \times \boldsymbol{\alpha}\right)\cdot\boldsymbol{\alpha}'}{\|\boldsymbol{\alpha}' \times \boldsymbol{\alpha}''\|^2})]
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[math(\boldsymbol{\alpha})]의 단위접선벡터를 [math(\mathbf{T})], 단위법선벡터를 [math(\mathbf{N})], 단위종법선벡터를 [math(\mathbf{B})]라고 하면 프레네-세레 공식에 따라 아래와 같다.
[math(\displaystyle \begin{aligned}\mathbf{T}'&=\kappa v\mathbf{N} \\\mathbf{N}'&=\tau v\mathbf{B} -\kappa v\mathbf{T} \\\mathbf{B}'&= -\tau v\mathbf{N} \end{aligned})]
(여기서 [math(v = \|\boldsymbol{\alpha}'\|)], [math(\kappa)]는 곡선의 곡률, [math(\tau)]는 곡선의 뒤틀림이다.)
[math(\displaystyle \begin{aligned} \boldsymbol{\alpha}' &= v\mathbf{T}, \\ \boldsymbol{\alpha} &= v'\mathbf{T} + v\mathbf{T}' \\ &= v'\mathbf{T} + \kappa v^2\mathbf{N}, \\ \boldsymbol{\alpha}'\times\boldsymbol{\alpha} &= \left(v\mathbf{T}\right) \times \left(v'\mathbf{T}+\kappa v^2\mathbf{N}\right) \\ &= kv^3 \mathbf{B} \\ \boldsymbol{\alpha}' &= v\mathbf{T} + v'\mathbf{T}' + \left(\kappa v^2\right)'\mathbf{N} + \kappa v^2\mathbf{N}' \\ &= \left(v''-\kappa^2v^3\right)\mathbf{T} + \left(\kappa'v^2+3\kappa vv'\right)\mathbf{N} + \kappa\tau v^3\mathbf{B} \end{aligned})]
[math(\boldsymbol{\alpha}'\times\boldsymbol{\alpha})]와 [math(\boldsymbol{\alpha}')]를 내적하면 다음과 같다.
[math(\displaystyle \left(\boldsymbol{\alpha}'\times\boldsymbol{\alpha}\right)\cdot\boldsymbol{\alpha}' = \kappa^2\tau v^6)]
[math(\displaystyle \begin{aligned}\tau &= \frac{\left(\boldsymbol{\alpha}'\times\boldsymbol{\alpha}\right)\cdot\boldsymbol{\alpha}'}{\kappa^2 v^6} \\ &= \frac{\left(\boldsymbol{\alpha}'\times\boldsymbol{\alpha}\right)\cdot\boldsymbol{\alpha}'}{\|\boldsymbol{\alpha}'\times\boldsymbol{\alpha}''\|^2} \end{aligned})]
}}}
뒤틀림의 노가다성은 고체역학, 섬유물리학이라고 뒤지지 않는다. 이쪽은 응력 텐서를 이용하기 때문.
1.1. 역학에서
역학에서 뒤틀림은 주로 '비틀림'으로 부르며, 물체에 돌림힘이 가해졌을 때, 비틀림 응력에 의해 물체가 돌아가면서 변형되는 것이다.
비틀림도 인장이나 압축처럼 후크 법칙을 만족하기 때문에 탄성의 한계 범위 내에서는 돌아간 각도에 비틀림 토크가 비례하며, 이때 물체가 원래 모양으로 돌아가려는 복원 토크가 작용한다. 이러한 원리를 활용해 비틀림 탄성력으로 작동하는 토션바 서스펜션과 토션 스프링(비틀림 스프링)같은 물건이 만들어졌다. 존 미첼이 발명하고 만유인력을 측정한 캐번디시 실험에서 헨리 캐번디시가 사용한 비틀림 저울도 비틀림 탄성력을 활용한다.
1.2. 얀-텔러 효과
Jahn-Teller effect. 자발 대칭 깨짐으로 인해 분자 구조가 뒤틀리는 현상을 뜻한다. 반방향족성의 일종으로 보기도 한다.2. Project Moon 세계관의 용어
[1] 비틀림률, 꼬임률 등으로도 부른다.