1. 개요
wave equation파동을 기술하는 편미분방정식.
1747년 장바티스트 르 롱 달랑베르가 1차원 파동방정식을 발견했고 1759년 레온하르트 오일러가 3차원 파동방정식을 발견한다.
2. 상세
위 그림은 위상속도 [math(\mathbf{v})]로 이동하는 파동의 모습을 나타낸 것이다.
좌측은 [math(t=0)]일 때, 우측은 [math(t)]만큼 지났을 때의 모습이다. 따라서 파동을 기술하는 파동함수가 [math(f(\mathbf{r},\,t))]로 주어진다면, 다음이 성립한다.
[math( \begin{aligned} f(\mathbf{r},\,t)=f(\mathbf{r}-\mathbf{v}t,\,0) \end{aligned})]
이제 공간 미분을 두 번 진행한다.
[math( \begin{aligned} \nabla^{2} f(\mathbf{r},\,t)&=\sum_{j} \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{j}^{2}} \\ &=\sum_{j} \frac{\partial}{\partial X_{j}} \frac{\partial X_{j}}{\partial x_{j}} \frac{\partial f}{\partial X_{j}} \frac{\partial X_{j}}{\partial x_{j}} \\ &= \sum_{j} \frac{\partial^{2} f}{\partial X_{j}^{2}} \end{aligned})]
여기서 [math(\mathbf{X}=\mathbf{r}-\mathbf{v}t)]이다.
마찬가지로 시간에 대한 적분을 두 번 진행한다.
[math( \begin{aligned} \frac{\partial^{2}f(\mathbf{r},\,t)}{\partial t^{2}}&=\frac{\partial^{2} f}{\partial t^{2}} \\ &=\sum_{j} \frac{\partial}{\partial X_{j}} \frac{\partial X_{j}}{\partial t} \frac{\partial f}{\partial X_{j}} \frac{\partial X_{j}}{\partial t} \\ &= v^{2} \sum_{j} \frac{\partial^{2} f}{\partial X_{j}^{2}} \end{aligned})]
이상에서 다음을 얻는다.
[math( \begin{aligned} \nabla^{2}f=\frac{1}{v^{2}}\frac{\partial^{2} f}{\partial t^{2}} \end{aligned})]
이 편미분 방정식을 파동방정식이라 한다.
3. 불변
파동방정식은 평행 이동, 회전, 로런츠 변환, 등각 변환에 대하여 불변이다.4. 불변량
파동방정식에 [math(\partial f / \partial t)]를 곱해보자. 그러면 다음과 같이 쓸 수 있다.[math( \begin{aligned} \biggl( \frac{\partial^{2} f}{\partial t^{2}}-v^{2}\nabla^{2}f \biggr)\frac{\partial f}{\partial t}=0 \end{aligned})]
이 식은 다음과 동치이다.
[math( \begin{aligned} \frac{\partial}{\partial t} \biggl[ \frac{1}{2}\biggl(\frac{\partial f}{\partial t} \biggr)^{2}+\frac{1}{2}v^{2} |\boldsymbol{\nabla} f|^{2} \biggr] =v^{2} \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} \biggl(\frac{\partial f}{\partial t} \boldsymbol{\nabla}f \biggr) \end{aligned})]
우변을 전체 공간에 대하여 적분하자.
[math( \begin{aligned} \iiint \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} \biggl(\frac{\partial f}{\partial t} \boldsymbol{\nabla}f \biggr) \,{\rm d}V \end{aligned})]
발산 정리에 의거하여,
[math( \begin{aligned} \iint \frac{\partial f}{\partial t} \boldsymbol{\nabla}f \boldsymbol{\cdot} {\rm d}\mathbf{a} \end{aligned})]
만약 파동이 무한 공간으로 갈 때, 공간적 변화가 매우 작다면, 즉 [math(\boldsymbol{\nabla}f \to \bf{0})]이라면, 위 적분은 0이 되고, 결국 다음을 얻는다.
[math( \begin{aligned} \frac{\partial}{\partial t} \biggl[ \frac{1}{2}\biggl(\frac{\partial f}{\partial t} \biggr)^{2}+\frac{1}{2}v^{2} |\boldsymbol{\nabla} f|^{2} \biggr] =0 \end{aligned})]
즉, 각괄호 안은 시간에 대한 불변량이 되며, 그것을 에너지라 해석하는 게 가장 합당하다. 즉, 파동의 에너지 밀도는 다음과 같이 쓸 수 있다.
[math( \begin{aligned} \varepsilon= \frac{1}{2}\biggl(\frac{\partial f}{\partial t} \biggr)^{2}+\frac{1}{2}v^{2} |\boldsymbol{\nabla} f|^{2} \end{aligned})]
이때, 우변의 1항은 운동 에너지와 관련 있으며, 제 2항은 퍼텐셜 에너지와 관련이 있다.
5. 해
5.1. 평면파
3차원 공간을 진행하는 평면파 [math(f(\mathbf{r},\,t))]를 고려하자. 이때, 파동방정식은[math( \begin{aligned} \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial z^{2}}=\frac{1}{v^{2}}\frac{\partial^{2} f}{\partial t^{2}} \end{aligned})]
파동방정식의 해를 [math(f(\mathbf{r},\,t)=X(x)Y(y)Z(z)T(t))]형태로 가정한다. 이것을 넣고, 정리하면 다음을 얻는다.
[math( \begin{aligned} \frac{1}{X}\frac{{\rm d}^{2}X}{{\rm d}x^{2}}+\frac{1}{Y}\frac{{\rm d}^{2}X}{{\rm d}y^{2}} +\frac{1}{Z}\frac{{\rm d}^{2}X}{{\rm d}z^{2}}=\frac{1}{v^{2}}\frac{1}{T}\frac{{\rm d}^{2}T}{{\rm d}t^{2}} \end{aligned})]
이제 이 값을 어떠한 상수의 제곱의 음이라 가정한다.
[math( \begin{aligned} \frac{1}{v^{2}}\frac{1}{T}\frac{{\rm d}^{2}T}{{\rm d}t^{2}} = -k^{2} \end{aligned})]
정리하면,
[math( \begin{aligned} \frac{1}{T}\frac{{\rm d}^{2}T}{{\rm d}t^{2}} = -v^{2}k^{2} \end{aligned})]
이제 우변을 [math(\omega^{2})]이라 하자.
[math( \begin{aligned} \frac{1}{T}\frac{{\rm d}^{2}T}{{\rm d}t^{2}} = -\omega^{2} \end{aligned})]
이 방정식은 쉽게 풀리며, 그 해는
[math( \begin{aligned} T \propto e^{\pm i\omega t} \end{aligned})]
마찬가지로, 다음을 가정하면,
[math( \begin{aligned} \frac{1}{X_{i}}\frac{{\rm d}^{2}X_{i}}{{\rm d}x_{i}^{2}} = -k_{i}^{2} \end{aligned})]
여기서 [math(k^{2}=k_{x}^2+k_{y}^2+k_{z}^2)]이다.
이것은 위의 시간 항과 같은 꼴이므로 그 해는
[math( \begin{aligned} X_{i}= \propto e^{\pm i k_{i} x_{i}} \end{aligned})]
이상에서 평면파의 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있다.
[math( \begin{aligned} f=Ae^{\pm i k_{x} x}e^{\pm i k_{y} y}e^{\pm i k_{z} z} e^{\pm i \omega t} \end{aligned})]
[math(A)]는 초기조건으로 결정되는 상수이다.
이제 [math(\pm k_{i} \equiv k_{i})][1]라 하면,
[math( \begin{aligned} f=Ae^{i \mathbf{k}{\boldsymbol \cdot}{\mathbf r} } e^{\pm i \omega t} \end{aligned})]
이제 시간항의 부호만 선택하면 된다. 이제 파동힘수의 조건
[math( \begin{aligned} f(\mathbf{r},\,t)=f(\mathbf{r}-\mathbf{v}t,\,0) \end{aligned})]
를 보면 된다.
[math( \begin{aligned} e^{i \mathbf{k}{\boldsymbol \cdot} ({\mathbf r}-\mathbf{v}t) } = e^{i \mathbf{k}\cdot{\mathbf r} } e^{\pm i \omega t} \end{aligned})]
이때, 음의 부호로 택하는 것이 옳다는 것을 얻는다.[2] 즉, 평면파의 방정식은
[math( \begin{aligned} f(\mathbf{r},\,t)=Ae^{i (\mathbf{k}\cdot \mathbf{r}-\omega t)} \end{aligned})]
임을 얻는다.
5.2. 구면파
3차원 공간을 진행하는 구면파 [math(f(\mathbf{r},\,t))]를 고려하자.이 경우 [math(\theta)], [math(\phi)] 방향으로는 등방적이므로 파동함수는 [math(f(r,\,t))]로 쓸 수 있고, 이것을 평면파의 경우와 같게, [math(R(r)T(t))]로 가정할 수 있다. 이것을 방정식에 넣고, 장리하자. 구면좌표계의 라플라시안은
[math( \begin{aligned} \nabla^{2}=\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial }{\partial r} \biggl(r^{2}\frac{\partial }{\partial r} \biggr) \end{aligned})]
이므로 방정식을 정리하면,
[math( \begin{aligned} \frac{1}{r^{2}R}\frac{{\rm d} }{{\rm d}r} \biggl(r^{2} \frac{{\rm d}R }{{\rm d} r} \biggr)=\frac{1}{v^{2}T}\frac{{\rm d}^{2}T}{{\rm d}t^{2}} \end{aligned})]
마찬가지로 식의 값을 [math(-k^{2})]이라 놓으면,
[math( \begin{aligned} T \propto e^{\pm i\omega t} \end{aligned})]
이며, 귀결되는 것은
[math( \begin{aligned} \frac{{\rm d} }{{\rm d}r} \biggl(r^{2} \frac{{\rm d}R }{{\rm d} r} \biggr)+k^{2}r^{2}R=0 \end{aligned})]
으로 이 방정식의 해는
[math( \begin{aligned} R \propto \frac{e^{\pm ikr}}{r} \end{aligned})]
이다.
평면파와 마찬가지로 [math(\pm k \equiv k)]라 놓고, 파동함수의 조건을 따져주면
[math( \begin{aligned} f(\mathbf{r},\,t)=\frac{A}{r}e^{i(kr-\omega t)} \end{aligned})]
가 된다.