하위헌스 원리

고전역학 Classical Mechanics
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1. 개요2. 정성적인 접근3. 정량적인 접근

3.1. 반사의 법칙3.2. 굴절의 법칙

1. 개요

하위헌스[1]의 원리(Huygens' principle)는 파동이 어떻게 진행하는가를 나타내는 원리이다. 빛이 아니더라도 역학적 파동의 경우도 이 원리로써 접근할 수 있다.
하위헌스-프레넬 원리(Huygens-Fresnel原理)라고도 한다.

2. 정성적인 접근

파일:external/upload.wikimedia.org/Huygens_brechung.png

이미지 출처
파면 위에서 위상(phase)이 같은 지점들을 파원으로 간주한다. 일정 시간동안 퍼져나간 파동들에 접하는 곡선을 찾는다. 이것이 다음 위상의 파면이 되며, 새로운 파원이 된다.

3. 정량적인 접근

파동의 진행을 정확하게 알아보기 위해서는 파원을 충분히 많이 그려야 하지만 여기서는 간략한 맥락으로 서술한다.

3.1. 반사의 법칙

위 그림은 반사하는 파동이 진행하는 모습을 나타낸 것이다. 편의상 [math(\rm O)], [math(\rm P)], [math(\rm Q)] 세 지점을 기준으로 살펴보면 아래와 같다.

[math(\rm O)], [math(\rm P)], [math(\rm Q)]과 [math(\rm O')], [math(\rm P')], [math(\rm Q)]의 위상은 각각 같다.
[math(\rm O)], [math(\rm P)], [math(\rm Q)]는 동일한 위상차를 두고 있다.

위 두 사실에 근거하면 아래와 같은 관계를 유추할 수 있다. 파동의 진행속도가 언제나 일정하기 때문이다.

[math(\begin{aligned} \overline{\rm OP} &= \overline{\rm PQ} \\ \overline{\rm QQ} = 2\overline{\rm PP} &= \overline{\rm OO'} = 2\overline{\rm PP'} \end{aligned})]

그림의 초록색 선은 위상이 같은 지점들을 이은 파면이다. 이 파면은 파동의 진행방향과 수직이다. [math(\rm\triangle OO'Q \equiv\triangle QQ''O)]이기 때문에 그림에 표시된 두 각은 동일하다. 즉 [math(\theta=\theta')]이며, 따라서 법선과 이루는 각인 입사각과 반사각은 같으며, 이는 반사의 법칙을 이끌어낸다.

3.2. 굴절의 법칙

위 그림은 굴절하는 파동이 진행하는 모습을 나타낸 것이다. 마찬가지로 편의상 [math(\rm O)], [math(\rm P)], [math(\rm Q)] 세 지점을 기준으로 살펴보면 아래와 같다.

[math(\rm O)], [math(\rm P)], [math(\rm Q)]과 [math(\rm O')], [math(\rm P')], [math(\rm Q)]의 위상은 각각 같다.
[math(\rm O)], [math(\rm P)], [math(\rm Q)]는 동일한 위상차를 두고 있다. [math(\rm O)], [math(\rm Q)] 사이의 시간차를 [math(\Delta t)]라 하자.

그림에서 경계선 위쪽 영역의 파동의 진행속도를 [math(v_1)], 아래쪽은 [math(v_2)]라 두면 아래 관계식이 성립한다.(단 [math(underlinetheta = theta/{rm rad})])

[math(\begin{aligned} \overline{\rm OP} &= \overline{\rm PQ} \\ \overline{\rm QQ} = 2\overline{\rm PP} &= \overline{\rm OQ}\sin\underline\theta = v_1\Delta t \\ \overline{\rm OO'} = 2\overline{\rm PP'} &= \overline{\rm OQ}\sin\underline{\theta'} = v_2\Delta t \end{aligned})]

그림의 초록색 선은 위상이 같은 지점들을 이은 파면이다. 이 파면은 파동의 진행방향과 수직이다. 위 식에서 길이의 비를 유추할 수 있다.

[math(\dfrac{\overline{\rm Q''Q}}{\overline{\rm OO'}} = \dfrac{\sin\underline\theta}{\sin{\underline{\theta'}}} = \dfrac{v_1}{v_2})]

따라서 법선과 이루는 각인 입사각과 굴절각은 굴절의 법칙(스넬의 법칙)을 만족하게 된다.

[1] Huygens의 일본어 표기 ホイゲンス(호이겐스)의 중역인 '호이겐스'로도 알려져있다. 네덜란드어 외래어 표기법에 따르면 Huygens는 '하위헌스'로 적게 되어 있다.