1. 개요
보존력(保存力, conservative force)은 한 일이 경로에 무관한 힘이다.수학적으로 표현하면 보존력의 변위에 대한 적분은 경로독립이라는 것인데, 이 경우 이 적분한 물리량을 스칼라 함수로 나타낼 수 있다. 물리에서는 이를 퍼텐셜 에너지라고 부른다. 반면 그렇지 않은 힘을 비보존력이라고 부른다.
물체에 보존력만 작용하면 역학적 에너지가 보존되고, 비보존력이 작용해 일을 하게 되면 그 일부가 열에너지 등으로 바뀐다. 여기서 유의할 점은 비보존력이 작용해도 방향이 수직이면[1] 역학적 에너지는 보존된다.
일반적으로 중력, 탄성력, 전기력 등이 보존력의 일종으로 알려져 있으며, 비보존력의 가장 일반적인 예시는 마찰력, 저항력 등이 있다. 실이나 줄로 여러 물체가 이어진 역학계에서도 물체 각각의 관점에서 보면 장력을 비보존력으로 볼 수 있다. 각각의 물체 관점에서는 장력을 그 물체(들)에 작용하는 외력으로 볼 수 있기 때문이다. 계 전체의 관점에서 보면 장력은 서로 상쇄되는 내력이다.
2. 보존력의 조건
보존력 [math(\mathbf{F} )]의 큰 특징은 퍼텐셜 에너지 [math(U )]와 다음과 같은 관계에 있다는 것이다.[math( \displaystyle \mathbf{F}=-\boldsymbol{\nabla}U )]
이 사실을 이용하면, 점 [math(\mathbf{1} )]에서 점 [math(\mathbf{2} )]로 이동했을 때 보존력이 한 일 [math(W )]를 구할 수 있다.
[math( \displaystyle W=\int_{\mathbf{1}}^{\mathbf{2}} \mathbf{F} \boldsymbol{\cdot} d \mathbf{r}=\int_{\mathbf{1}}^{\mathbf{2}} (-\boldsymbol{\nabla}U) \boldsymbol{\cdot} d \mathbf{r} )]
이때 다음이 성립한다.
[math( \displaystyle \boldsymbol{\nabla}U \boldsymbol{\cdot} d \mathbf{r}=\sum_{i}\frac{\partial U }{\partial x_{i}}dx_{i}=dU )]
따라서
[math(\begin{aligned}\displaystyle W&=-\int_{\mathbf{1}}^{\mathbf{2}} dU=-(U_{\mathbf{2}}-U_{\mathbf{1}})\\&=- \mathit{\Delta}U\end{aligned})]
즉, 보존력이 한 일은 퍼텐셜 에너지 변화량의 음의 값과 같다.
위 문단에서 보존력이 한 일은 경로에 의존하지 않는다고 하였다. 그렇기 때문에 경로가 폐곡선 형태라면, 즉 처음과 끝이 같다면, 보존력이 한 일은 다음과 같이 [math( 0 )]이어야 한다.
[math( \displaystyle \oint \mathbf{F} \boldsymbol{\cdot} d \mathbf{r}=0 )]
스토크스 정리를 사용하면,
[math( \displaystyle \oiint (\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{F}) \boldsymbol{\cdot} d \mathbf{a}=0 )]
가 되므로, 여기서 보존력이 만족시켜야 할 조건이 나온다.
[math( \displaystyle \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{F} = 0 )]
이상에서 어떤 힘이 보존력일 조건은 아래의 두 개로 정리된다.
- 어떤 퍼텐셜의 음의 그레이디언트를 취하면, 해당 힘으로 환원되어야 한다: [math( \displaystyle \mathbf{F}=-\boldsymbol{\nabla}U )]
- 힘에 회전 연산을 가하면, [math(0 )]이 되어야 한다: [math( \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{F} = 0 )]
위의 조건은 퍼텐셜의 정의에 따라 일견 당연할 수 있고[2], 아래의 조건은 거리에 따라 일정한 힘일 것을 말한다. 어떤 기준점(면)에서의 거리에 따라 일정한 힘이라면 보존력이 될 수 있다.[3][4]
3. 보존장의 에너지 보존
보존력이 작용하여 미치는 공간을 보존장(conservative field)이라 한다. 보존장에서 총 에너지가 보존됨을 증명해보자.물체가 갖는 총 에너지 [math(E )]는 운동 에너지 [math(T )]와 퍼텐셜 에너지 [math(U )]의 합이므로 다음이 성립한다.
[math( \displaystyle E=T+U )]
따라서
[math(\displaystyle \frac{dE}{dt} =\frac{d}{dt}(T+U)= \frac{dT}{dt}+\frac{dU}{dt} )]
이때, 운동 에너지 문서에서 [math( \displaystyle \mathbf{F} \boldsymbol{\cdot} d \mathbf{r}=dT )]로 쓸 수 있음을 논의했다. 따라서 다음이 성립한다.
[math( \displaystyle \frac{dT}{dt}=\mathbf{F} \boldsymbol{\cdot} \frac{d\mathbf{r}}{dt} )]
퍼텐셜이 위치와 시간에 의존하는 함수 즉, [math( U(\mathbf{r},\, t) )]로 주어지면 다음이 성립한다.
[math( \displaystyle \frac{dU}{dt}=\sum_{i}\frac{\partial U }{\partial x_{i}}\frac{dx_{i}}{dt}+\frac{\partial U}{\partial t}=\boldsymbol{\nabla}U \boldsymbol{\cdot} \frac{d\mathbf{r}}{dt}+\frac{\partial U}{\partial t} )]
따라서, 본래의 식에서
[math( \displaystyle \frac{dE}{dt} = (\mathbf{F}+\boldsymbol{\nabla}U) \boldsymbol{\cdot} \frac{d\mathbf{r}}{dt} + \frac{\partial U}{\partial t} )]
이때, [math(\mathbf{F} )]는 보존력이고 [math(\mathbf{F}=-\boldsymbol{\nabla}U )]를 만족시키므로 다음이 성립한다.
[math( \displaystyle \frac{dE}{dt} = \frac{\partial U}{\partial t} )]
그런데, 대부분의 퍼텐셜은 시간에 의존하지 않으므로 우변은 [math( 0 )]이 됨에 따라
[math( \displaystyle \frac{dE}{dt} =0 )]
따라서 보존장에서 물체의 총 에너지는 보존된다. 또한, 이것을 중등교육 수준으로 역학적 에너지 보존 법칙이라 한다.
해밀턴 역학으로 가면 이 보존력은 곧 해밀토니안 [math(\mathcal H)]이 된다. 즉, 이 문단의 맨 위의 식은 다음과 같이 바꿔 쓸 수 있다.
[math( \displaystyle \mathcal{H}=T+U )]
4. 비보존력이 한 일
물체가 두 지점을 이동할 때, 일-운동 에너지 정리에 따라 알짜힘이 한 일은 물체의 운동 에너지 변화량과 같다. 따라서 알짜힘이 한 일을 [math(W_{T})]라 놓으면,[math( \displaystyle W_{T}=\Delta T )]
로 쓸 수 있다. 여기서 [math(T)]는 운동 에너지이다. 한편,
[math( \displaystyle W_{T}=W_{N}+W_{C} )]
로 나눌 수 있는데, [math(W_{N})], [math(W_{C})]는 각각 비보존력, 보존력이 한 일이다. 위의 결과에 따라 [math(W_{C}=-\Delta U)]로 퍼텐셜 에너지 변화량으로 쓸 수 있다. 이상의 결과를 종합하면,
[math( \displaystyle \begin{aligned} W_{N}=\Delta U+\Delta T \end{aligned} )]
이고, 물체가 지점 1에서 2로 이동했다고 하면,
[math( \displaystyle \begin{aligned} \Delta U+\Delta T&=(U_{2}-U_{1})+(T_{2}-T_{1}) \\ &=(T_{2}+U_{2})-(T_{1}+U_{1})\\&=E_{2}-E_{1}\\&=\Delta E \end{aligned} )]
따라서
[math(\displaystyle \begin{aligned} W_{N}=\Delta E \end{aligned} )]
즉, 비보존력이 한 일은 물체의 역학적 에너지 변화량과 같은데 이는 비보존력이 작용되면 계의 역학적 에너지는 보존되지 않음을 시사한다.
많은 학생들이 '외력이 가해졌을 때 역학적 에너지가 보존되지 않는다', 혹은 '외력이 한 일이 역학적 에너지 변화량과 같다' 등 얕게 알고 있는 경우가 많은데, 정확히는 비보존력과 관련되어 있음에 유의해야 한다.
[1] 즉, 비보존력이 일을 하지 않으면[2] 양자역학에서는 퍼텐셜이 좀 더 근본적인 물리량이다.[3] 따라서 보존력이 아닌 것처럼 느껴지는 기압 등도 특정한 조건하에서는 보존력이 될 수 있다. 유압밸브나 기압밸브 등이 그 예시다.[4] 열역학에서는 가역적인 과정을 가정하므로 열이 가해지 않는 공기의 기압은 보존력이 된다.