| 정상파의 연속적 움직임 |
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1. 개요
standing wave · 定常波진폭, 파장, 주기가 같고 단지 진행 방향만 반대인 두 파동이 만났을 때 생기는, 마디의 위치가 고정된 파동이다.
아래의 그림은 정상파가 형성되는 과정을 [math(1/4)]주기로 담은 것이다. 빨간색 파동과 파란색 파동은 진폭, 파장, 주기가 같고, 진행 방향만 반대다.
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그 합성파인 보라색 파동을 보면 파동이 마치 움직이지 않고, 제자리에 있는 것 처럼 보인다. 이러한 파동을 정상파라 한다. 여기서는 횡파의 경우에만 다뤘으나 종파의 경우에도 정상파가 형성 가능하다.
2. 명칭
일상에서 흔히 일컫는 '이상하다'의 반의어인 정상(正常)1이 아니라, '특별한 변동이 없이 제대로인 상태'를 가리키는 정상(定常)2을 의미한다. 즉 한글 표기가 같아 때문에 이러한 사이에서 혼동이 있을 법하다.무엇보다도 골칫거리는 정상2이 아니라 정상1으로 받아들이는 사람이 훨씬 많다는 점이다. 이렇게 명칭 자체가 직관적으로 와닿지도 않아서 일부 교수들은 '정지파', '정재파' 등 다르게 일컫기도 한다. 다만, 마디는 그렇다치더라도 배 부분은 움직임이 있는 파형이기 때문에 '정지파(停止波)'는 적절한 대체어는 아니다. 주로 공학 쪽에서 일컫는 '정재파(定在波)' 역시 훈을 뜯어보면 그냥 常(항상 상)만 在(있을 재)로 바꿨을 뿐이지, 사실 定(정할 정)도 停(머무를 정)으로 표기하는 편이 '머물러 있다'라는 느낌을 주어 모호함을 상쇄할 수 있다.
그나마 움직임까지 고려하면, 제자리 걸음을 뜻하는 '답보파(踏步波)'가 더 적절하고 직관적이기는 하다.
이러나저러나 이미 널리 쓰이고 있는 용어를 개정하기란 쉽지 않은 문제이기도 하다.[1] 한편 물리교육과 쪽에선 단지 직관적이지 못한 용어라는 사유 때문에 고등학생들에게 지레 겁을 주는 대표적인 케이스라며 까이기도 한다. 사실 합성파라는 개념의 연장선일 뿐이지 이해 난도 자체는 낮은 편에 속한다.
3. 마디와 배
1차원 정상파의 모습을 아주 빠르게 여러 장을 촬영하여 한 화면으로 합치면 위와 같은 모습이 나타난다.
위 그림에서 최대 진폭을 갖고 진동하는 점을 배, 진동하지 않는 부분을 마디라 한다. 일반적으로 배의 진폭은 본래 파장의 2배가 된다.
마디와 마디의 중점에 배가 위치하고, 마찬가지로 배와 배의 중점에 마디가 위치한다.
두 파동이 만나 정상파가 만들어질 때 위상차가 반파장의 홀수배인 점은 마디가, 짝수인 점은 배가 형성된다.
4. 수학적 증명
정상파는 진폭이 같은 두 파동이 서로 반대 방향으로 이동할 때 생긴다고 언급했다. 이것을 수학적으로 증명해보자.가장 간단한 파동인 정현파 파동을 고려한다. 한 파동은 [math(+x)]방향으로 이동하고, 한 파동은 [math(-x)]방향으로 이동한다고 하자. 두 파동의 각진동수와 진폭, 파수는 각각 [math(\omega)], [math(A)], [math(k)]로 같다. 각각의 파동을 기술하는 파동함수는
[math(\displaystyle \begin{aligned} \Psi_{+}(x,\,t)&=A\sin{(kx-\omega t)} \\\Psi_{-}(x,\,t)&=A\sin{(kx+\omega t)} \end{aligned} )]
이상에서 합성파는
[math(\displaystyle \begin{aligned} \Psi(x,\,t)&=\Psi_{+}(x,\,t)+\Psi_{-}(x,\,t) \\&=A[\sin{(kx-\omega t)}+\sin{(kx+\omega t)}] \\&=2A\sin{(kx)}\cos{(\omega t)} \end{aligned} )]
마지막에는 삼각함수의 덧셈정리 문서에서 언급된 합을 곱으로 고치는 공식을 사용했다. 이 함수의 형태를 직접 그려보면 정상파의 개념과 부합함을 알 수 있다.
5. 예
5.1. 현의 진동
정상파를 쉽게 볼 수 있는 것은 현이다.그림과 같이 두 벽 사이에 선밀도(단위 길이당 질량)가 [math(\mu)]이고, 길이가 [math(l)]인 현을 고려하자. 문제를 간단히 하기 위해 다른 힘과 마찰 등은 고려하지 않는다.(단, 줄에 장력이 작용하지 않을 경우 진동 효과가 크지 않으므로 장력은 고려해줘야 한다.)
1차원 파동 방정식은 다음과 같이 기술된다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{\partial^2 y}{\partial x^2}=\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 y}{\partial t^2}\qquad \left(v=\sqrt{\frac{T}{\mu}} \right) \end{aligned} )]
[math(v)]는 파동의 속력이다. [math(T)]는 줄에 작용하는 장력이다. 파동이 시간에 따라 진동할 것으로 보이므로 그 시험해 [math(y(x,\,t)=f(x)e^{-i \omega t})]을 대입해보자.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{{\rm d}^2 f}{{\rm d}x^2}=\frac{-\omega^2}{v^2}f\end{aligned} )]
한편, [math(\omega/v = k)]로 파수이므로 공간에 대한 방정식은
[math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{{\rm d}^2 f}{{\rm d}x^2}=-k^2f\end{aligned} )]
이 미분방정식의 해는 다음과 같다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} f(x)=A\sin{(kx)}+B\cos{(kx)} \end{aligned} )]
[math(A)], [math(B)]는 상수이다. 벽에 닿은 점은 진동할 수 없으므로 그 경계 조건 [math(f(0)=f(l)=0)]을 적용하자. 이것에 따르면, [math(B=0)]이어야 하고,
[math(\displaystyle \begin{aligned} A\sin{(kl)}=0 \end{aligned} )]
을 만족시켜야 하므로
[math(\displaystyle \begin{aligned} kl=n\pi \qquad (n=1,\,2,\,3,\,\cdots) \end{aligned} )]
이다.[2] 한편, [math(k=2\pi/\lambda)]인 점을 고려하면
[math(\displaystyle \begin{aligned} \lambda_{n}=\frac{2l}{n} \end{aligned} )]
만 가능하다. 매질이 같다면 파동의 속력은 동일해야 하므로 파장이 1배, 2배, 3배로 줄어들면, 진동수는 1배, 2배, 3배로 늘어난다. 따라서 [math(n)]일 때, '[math(n)]배 진동'이라 한다. 또한 [math(n=1)]일 때를 기본 진동이라 하며, 그 때의 진동수를 기본 진동수 [math(f_{0})]로 쓴다. 따라서 [math(f_{n}=n f_{0})](단, [math(n \geq 2)])
따라서 이 계의 파동함수는 실수부만 취하여
[math(\displaystyle \begin{aligned} y(x,\,t)&=A\sin{(kx)}\cos{(\omega t)} \\&=\frac{A}{2}\sin{(kx-\omega t)}+\frac{A}{2}\sin{(kx+\omega t)} \end{aligned} )]
삼각함수의 곱을 합으로 바꾸는 공식을 썼다. 따라서 현에 형성된 파동은 해당 파동의 절반의 진폭을 갖고, 서로 반대 방향으로 진행하는 파의 합성파, 즉, 정상파가 형성된다는 사실을 알 수 있다.
또한 마디의 위치는 공간 성분이 0인 곳에 나타나므로 [math(n)]배 진동에서 [math(m)]번째 마디의 위치는
[math(\displaystyle \begin{aligned} x_{m}=\frac{m}{n}l \qquad \end{aligned} )]
이때, [math(0 \leq m \leq n)]인 정수이고, [math(m=0)], [math(m=n)]은 벽의 위치이므로 항상 마디가 된다.
마지막으로 [math(n)]번째 진동수를 구하자.
[math(\displaystyle \begin{aligned} f_{n}&=\frac{v}{\lambda_{n}} \\&=\frac{n}{2l}\sqrt{\frac{T}{\mu}} \\&=nf_{0} \qquad \biggl( f_{0}\equiv \frac{1}{2l}\sqrt{\frac{T}{\mu}} \biggr) \qquad \end{aligned} )]
한편, 장력의 크기가 [math(T=Mg)]([math(M)]은 현에 건 추의 질량)이고, [math(m)]이 실의 질량, [math(L)]이 실 전체의 길이라면, [math(\mu=m/L)]이므로
[math(\displaystyle \begin{aligned} f_{0}\equiv \frac{1}{2l}\sqrt{\frac{MgL}{m}} \end{aligned} )]
으로 쓸 수 있다. 여기서 [math(l)]은 진동 영역 길이인 점에 유의하자.
빠르면 고등학생, 이공계 학부 때 해당 실험을 해보게 된다. 대체적으로 아래와 같이 실험 장비를 구성하여 실험을 하는 편이다.[3]
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아래는 실험 영상이다.
현악기는 이러한 수많은 정상파가 모여 아름다운 소리를 우리에게 들려주게 된다.
5.2. 관내 진동
정상파를 쉽게 볼 수 있는 또 다른 예는 관이다. 이때 관에서는 공기 분자의 진동, 즉, 음파의 정상파의 형성이 된다. 음파의 파동 방정식은 현과 비슷하게
[math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{\partial^2 y}{\partial x^2}=\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 y}{\partial t^2}\qquad \left(v=\sqrt{\frac{B}{\rho}} \right) \end{aligned} )]
[math(\rho)]는 공기의 밀도, [math(B)]는 부피 탄성 계수이다. 또한 [math(y(x,\,t))]는 미소 공기 기둥이 관의 단면적의 수직으로 움직인 변위이다. 유도가 필요하다면 이곳(영어)을 참고한다.
관내 진동은 양쪽이 모두 열린 열린 관(개관), 한쪽이 닫힌 닫힌 관(폐관) 두 케이스가 있다. 양쪽이 모두 닫혀서는 진동을 만들 수 없으므로 그 경우는 생각하지 않는다.
또한 음압은
[math(\displaystyle \begin{aligned} P=-B\frac{\partial y}{\partial x} \end{aligned} )]
로 구할 수 있다. 이것은 위에 첨부한 사이트에서 이유를 알 수 있다.
[1] 열린 관
길이가 [math(L)]인 열린 관의 경우 양쪽의 음압[4]이 0이 돼야 한다. 다시 말하면, 열린 관의 양 끝의 총 압력은 대기압과 같다. 열린 관의 양 끝은 대기압과 맞닿아 있으므로 공기 분자는 진동 할 수, 즉 분자 자체의 운동을 가로막는 벽이 없으므로 분자 자체는 움직일 수 있으나, 분자의 요동으로 인한 압력은 양 끝의 기압인 대기압으로 유지되어야 한다. 이것이 현의 진동과 약간 다른 부분이다. 현의 진동에서 "벽"의 역할을 대기압이 한다고 생각하면 된다. 이것을 만족시키려면 양 끝에서 [math({\partial y}/{\partial x}=0)]이어야 한다.
현의 진동과 마찬가지의 방법을 통하여, 다음을 얻는다. (단, [math(y=f(x)e^{-i \omega t})])
[math(\displaystyle \begin{aligned} f(x)=A\sin{(kx)}+B\cos{(kx)} \end{aligned} )]
이때,
[math(\displaystyle \begin{aligned} f'(x)=Ak \cos{(kx)}-Bk\sin{(kx)} \end{aligned} )]
이므로 [math(x=0)]에서 [math({\partial y}/{\partial x}=0)]을 만족시키려면 [math(A=0)]이어야 한다. 더불어 [math(x=L)]일 때, 마찬가지의 조건을 만족시키려면
[math(\displaystyle \begin{aligned} k_{n}=\frac{n \pi }{L}\qquad (n=1,\,2,\,3,\,\cdots) \end{aligned} )]
이상에서 열린 관에서
[math(\displaystyle \begin{aligned} y(x,\, t)&=B\cos{(kx)}\cos{(\omega t)} \\&=\frac{B}{2}\cos{(kx-\omega t)}+\frac{B}{2}\cos{(kx+\omega t)} \end{aligned} )]
이므로 이 파동 또한 서로 반대 방향으로 움직이는 파동이 중첩된, 즉 정상파가 형성되었음을 알 수 있다.
한편, 파장 [math(\lambda=2\pi k)], 진동수 [math(f=kv/2\pi )]임을 이용하면
[math(\displaystyle \begin{aligned} \lambda_{n}&=\frac{2L}{n}\\ f_{n}&=\frac{v }{2L}n \qquad (n=1,\,2,\,3,\,\cdots) \end{aligned} )]
이상의 결과를 시각화하면 아래와 같다.
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적색 곡선은 최대 변위를 나타낸 것이고, 청색 곡선은 음압을 나타낸 것이다. 대부분의 참고서에서 등재되는 것은 적색 곡선인 최대 변위 곡선으로, 열린 관에서는 양끝은 적색 곡선을 기준으로 항상 배가 만들어진다.
[2] 닫힌 관
닫힌 관에서 막힌 쪽은 공기 분자의 진동이 불가능하므로 [math(x=0)]에서 관이 막혀있다면, 경계 조건으로 [math(f(0)=0)]을 적용하여야 한다. 열린 쪽 [math(x=L)]에서는 열린 관의 경우와 그 경계 조건이 [math(f'(L)=0)]로 같다. 이것이 가능하려면 다음이 성립해야 한다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} B&=0 \\ \tilde{k}_{n}&=\frac{(2n-1)\pi}{2L} \\ \tilde{\lambda}_{n}&=\frac{4L}{2n-1} \\\tilde{f}_{n}&=\frac{v}{4L} \cdot (2n-1) \qquad (n=1,\,2,\,3,\,\cdots) \end{aligned} )]
[math(\tilde{\,\,})]는 열린 관과 비교하기 위해 붙인 것이다. 열린 관은 파장과 진동수 모두 기본 진동의 1배, 2배, 3배, [math(\cdots)]로 각각 줄어들고 늘어나나 닫힌 관의 경우 홀수 배(1배, 3배, 5배, [math(\cdots)])로 줄어들고 늘어난다. 또한 기본 진동에 대하여 같은 길이의 닫힌 관과 열린 관을 비교하면 다음을 얻는다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \tilde{\lambda}_{1}&=2 \lambda_{1} \\ \tilde{f}_{1}&=\frac{1}{2} f_{1} \end{aligned} )]
이상을 시각화하면 아래와 같다.
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적색 곡선을 기준으로 닫힌 관에서는 막힌 쪽은 마디가, 뚫린 쪽은 배가 만들어진다.
파동함수의 형태는
[math(\displaystyle \begin{aligned} y(x,\, t)&=A\sin{(kx)}\cos{(\omega t)} \\&=\frac{A}{2}\sin{(kx-\omega t)}+\frac{A}{2}\sin{(kx+\omega t)} \end{aligned} )]
으로, 정상파의 정의와 부합한다.
관악기 또한 비슷하게, 공기 분자 즉, 종파의 정상파가 형성되어 아름다운 소리를 내어준다.
고등학교 시절 관에서 형성되는 정상파를 처음 배웠을 때 음파 즉, 종파의 정상파를 다룸에도 횡파의 방식을 빌려 표현할 수 있었던 이유가 여기에 있다.
5.3. 막의 진동
6. 실생활
- 악기를 연주하면 정상파가 나타나는데, 정상파가 공기를 타고 전해져서 귀로 들어와 소리를 들을 수 있게 된다.
- 정상파는 청취를 방해하는 요소로도 작용하여 흡음재를 만들 때 고려되는 1순위기도 하다.
[1] 화학용어 개정안에서 변경한 용어인 '소듐', '포타슘'이 여전히 '나트륨', '칼륨'으로 널리 불리고 있다는 것을 생각해 보자. 언어의 보수성에서 볼 수 있듯 한번 굳어진 표현을 바꾸기는 쉽지 않다.[2] 파수와 현의 길이는 양수이므로 음수가 될 수 없으므로 [math(n)]이 음의 정수는 될 수 없다. 또한 둘 중 하나가 0인 상황은 물리적 상황과 거리가 머므로 [math(n)]이 0도 될 수 없다.[3] 정상파 형성만 원하는 경우에는 풀리(도르래)나 추 없이도 적절하게 줄을 팽팽하게 한 것으로 대체 가능하다.[4] 음압이란 것은 공기 분자들의 요동에 의한 총 압력에서 요동이 없을 때의 압력, 즉 대기압을 빼준 값으로 정의함에 유의하자.