1. 개요
모티브를 간단히 말하면 복소수 위 말고 다른 세계에서도 복소 해석을 생각해보자는 것이다. 복소수로 표현되지 않은 임의의 영역의 적분[1]을 복소해석적으로 조사하기 위해서는 코시의 적분 정리가 주로 쓰이는데, 코시의 적분 정리란 적분할 함수를 폐곡선으로 적분할 때 폐곡선 내부에 적분할 함수가 해석적이라면 그 적분값은 0이라는 정리다. 이는 매우 중요한데, 미분 형식들과 폐곡선 사이의 관계가 어떻게 되어 있는지 알려주기 때문이다. 그리고 이것을 '드람 코호몰로지'라고 부른다. '호몰로지'란 적분에 의해서 잘 변하는 폐곡선의 모임, '코호몰로지'는 적분에 의해서 잘 변하는 미분 형식들의 모임으로 부를 수 있고 이 둘을 엮는 것이다. 그리고 이를 발전시킨 것이 바로 호지 이론. 그리고 이것을 더 일반화시킨 것이 '모티브'다.2. 역사
1960년대 에탈 코호몰로지가[2]가 만들어졌다. 에탈 코호몰로지는 베유 추측 이라는 엄청난 가설을 풀 수 있는 열쇠로 여겨졌고 실제로 에탈 코호몰로지로 베유 추측은 풀리게 된다. 하지만 알렉산더 그로텐디크는 훨씬 더 거대한 것을 생각하게 되는데, 베유 추측를 풀 수 있는 적당한 코호몰로지를 만들려고 노력한 것이 결국 복소수 위의 코호몰로지와 성질이 거의 같은 코호몰로지를 유한체 위에서 찾는 일과 같음을 깨달았기 때문이었다. 그렇게 해서 에탈 코호몰로지같은 코호몰로지를 어디에서든 찾을 수 있다는 것이 알렉산더 그로텐디크의 생각이었고, 그렇게 해서 모티브라는 것을 생각하게 되었다.3. 정의
그러면 이런 cohomology를 어떻게 만드는 걸까?? 먼저 우리가 원하는 cohomology가 어떤 성질을 가져야 하는지 생각해보자. [math(k\subseteq \Bbb{C})]를 field라고 하고 [math( \mathrm{Var}_{k})]를 [math(k)] 위의 모든 smooth projective (not assumed connected) variety라고 해보자. 그리고 [math( E)]를 아무 field (of characteristic 0)라고 하고 [math(\mathrm{Gr}_{E})]를 [math(E)] 위의 category of finite dimensional graded [math(E)]-vector space라고 하자. 그렇다면 [math( \mathrm{Gr}_{E})]엔 tensor product를 정의할 수 있는데,[math( (V \otimes W)_n=\bigoplus_{i+j=n}V_i\otimes W_j)]
라고 정의되면 잘 정의된다. (이를 생각하는 이유는 cohomology ring때문이다. cohomology라면 당연히 cup product가 있어야 한다는 생각 때문에.)그렇다면 다음과 같은 성질은 어떨까. tensor functor [math( H^*:\mathrm{Var}_{k}^{\mathrm{op}}\to \mathrm{Gr}_{E})]를 생각하자. (tensor functor라는 것은 곧 Kunneth formula를 뜻한다.) tensor product라면
[math( K_{X,Y}:H^*(X)\otimes H^*(Y)\cong H^*(X\times Y))]
를 생각할 수 있다.
| Nomalization. [math( H^2(\Bbb{P}^1))]은 [math(\mathrm{Gr}_{E})]에서 invertible이다. 이제 [math(V\in \mathrm{Gr}_{E})]라면 [math(V(r)=V\otimes H^2(\Bbb{P}^1)^{-\otimes r})] 라고 정의하자. |
| Trace axiom. [math( X)]가 equidimension [math(d)]를 갖는다고 하자. 그렇다면 다음과 같은 trace morphism [math(\mathrm{Tr}_{X}:H^{2d}(X)(d)\to E)] 가 있어서 다음 둘을 만족한다. (a) [math(K_{X,Y})]에 의해서 [math(\mathrm{Tr}_{X\times Y}=\mathrm{Tr}_{X}\circ \mathrm{Tr}_{Y})]다. 그러니까 [math(d_X)]가 [math(X)]의 dimension이라면 [math(H^{2d}(X\times Y)(d_X+d_Y)\overset{K_{X,Y}}{\longrightarrow}H^{2d}(X)(d_X)\otimes_{E} H^{2d}(Y)(d_Y)\overset{\mathrm{id}\otimes \mathrm{Tr}_{Y}}{\longrightarrow} E\otimes_{E}H^{2d}(Y)(d_Y)\longrightarrow E)] 와 그냥 [math(\mathrm{Tr}_{X\times Y})]로 가는 거와 같은 morphism이라는 것이다. (b) 다음 morphism을 생각하자. [math(H^*(X)\otimes H^*(X)\overset{K_{X,X}}{\longrightarrow}H^*(X)\otimes H^*(X)\overset{\Delta^*}{\longrightarrow}H^*(X))] 여기에서 [math( \Delta)]는 [math(x)]를 [math((x,x))]로 보내는 morphism. 그리고 이 composition을 cup product라고 하자. 그러면 [math( H^{i}(X)\times H^{2d-i}(X)(d)\longrightarrow H^{2d}(X)(d)\longrightarrow E)] 라는 cup product와 trace morphism의 composition은 perfect pairing을 이룬다. |
| cycle class map. [math( Z^r(X))]를 codimension [math(r)]인 integral closed scheme [math(Z\hookrightarrow X)]들을 basis로 하는 [math(\Bbb{Q})]라고 하자. 그렇다면 다음과 같은 cycle class map이 있다. [math(\gamma^r_{X}:Z^r(X)\longrightarrow H^{2r}(X)(r))] 그리고 다음과 같은 좋은 성질들을 만족한다. (a) [math(\gamma^r_{X})]는 Chow group을 만든다. Chow group은 [math(Z^r(X))]을 rational equivalence로 나눈 것. (b) [math(\gamma^r_{X})]는 contravariant다. 그러니까 [math( f^*\gamma^r_{Y}(Z)=\gamma^{r}_{X}([f^{-1}Z]))] 가 된다. 여기에서 [math(f)]는 flat이어야 하는데, 그 이유는 [math([f^{-1}Z])]를 잘 정의해야 하니까. 아니면 equidimensional이란 성질이 깨져서 정의를 못 한다. (c) [math(\alpha\in Z^r(X),\beta\in Z^s(Y))]라면 [math( \gamma^r_{X}(\alpha)\times \gamma^s_Y(\beta)=\gamma^{r+s}(\alpha\times \beta))] 가 된다. 이 때에도 [math(\alpha\times \beta)]가 언제나 integral scheme인 건 아니니까 reduced structure를 생각해야 한다. (d) [math(Z^d(X)\longrightarrow H^{2d}(X)(d)\longrightarrow E)] 는 [math([P_i])]를 [math([k(P_i):k])]로 보낸다. |
[1] 주로 특정 극점들에서 발산하는 적분.[2] 간단히 말해서 실수가 아닌 일반적인 field 위의 코호몰로지이다. 코호몰로지는 사슬 복합체의 호몰로지와 다르다! 헷갈리지 말자.