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1. 개요
벡터(vector)는 벡터 공간(vector space)의 원소다.2. 어원
본래 벡터(vector)라는 단어는 라틴어 vector, 즉 "운반하는 자" 또는 "운반하는 것"(영어의 carrier에 해당)에서 유래하였다. 이와 관련하여 스칼라(scalar)는 scala, 즉 사다리를 의미하는 라틴어 단어에서 유래하며, 단순히 수직적으로 값을 '올리고 내리는' 것이라는 개념을 함축한다.수학적 맥락에서 "벡터"라는 용어를 본격적으로 도입한 인물은 사원수(quaternion)의 창시자인 윌리엄 로원 해밀턴이다. 해밀턴이 정의한 사원수는 하나의 실수부(scalar part)와 세 개의 허수부(imaginary parts)로 구성되는데, 이 중 허수부가 오늘날의 3차원 벡터 개념과 유사한 역할을 한다. 반면, 실수부는 그가 스칼라(scalar)라는 용어로 명명하였다.
또한 해밀턴이 사원수 곱셈 법칙을 바탕으로 유도한 수학적 연산인 내적(dot product)과 외적(cross product)은, 훗날 3차원 벡터 공간에서의 연산으로 일반화되었으며, 오늘날까지도 물리학과 수학에서 널리 사용된다.
3. 정의와 응용
벡터는 흔히 고전역학과 전자기학 등에서 크기와 방향을 지닌 물리량으로 소개된다. 이는 물체의 위치, 속도, 힘, 가속도처럼 공간 속에서의 작용과 변화를 설명하는 데 필요한 정보를 효과적으로 표현하기 위해 도입된 개념으로, 두 점(기점과 종점)을 화살표로 잇는 방식으로 시각화된다. 이러한 정의는 흔히 유클리드 기하학적 벡터라고 불리며, 물리적 직관을 기반으로 한 벡터 개념의 표준적 예시라 할 수 있다.반면 오늘날 수학에서는 벡터를 벡터 공간의 원소, 즉 선형결합이 정의되는 추상적 대상으로 간주한다. 벡터의 크기는 노름(norm), 방향은 내적(inner product)에 의존하며, 경우에 따라 함수, 행렬, 심지어 벡터 공간 자체가 벡터가 되기도 한다. 그러나, 이러한 추상화 역시 철저히 물리학적 필요(예: 양자 상태의 기술, 장의 이론적 구조, 신호의 표현)에 뿌리를 두고 확장된 것이다. 실제로 현대 이론물리학에서는 힐베르트 공간상의 추상적 벡터, 텐서 필드, 게이지 장 등 고차원적이고 직관을 넘는 벡터 개념이 핵심 구조로 자리잡고 있으며, 이는 양자역학, 상대성 이론, 양자장론 등에서 필수적으로 사용된다.
즉, 벡터는 고등학교 수학 과정에서의 직관적이고 기하적인 수치, 혹은 대학 학부 과정에서의 추상적 공리의 집합에만 한정되지 않는다. 오히려 그 기원과 발전 과정은 물리학에서 제기된 실천적 문제, 예컨대 방향을 갖는 힘, 물체의 운동, 회전, 장(場) 개념 등을 정량적으로 기술하려는 시도와 밀접하게 연관되어 있다. 즉, 벡터는 수학 내부에서 자생적으로 추상화된 개념이라기보다, 자연현상을 수학적으로 표현하기 위한 물리학적 필요에 의해 형성된 응답이었으며, 수학은 이러한 물리적 개념을 일반화하고 이론화하는 과정에서 벡터 공간, 내적, 외적 등의 형식적 구조를 정립해온 것이다.
결국 벡터는 물리학이 요구하고 수학이 정식화한 개념으로, 수학계와 물리학계가 긴밀히 교류하며 양자적으로 발전해온 대표적인 학제 간 산물이다. 18세기부터 수학과 물리학은 벡터 개념을 중심으로 상호작용하며 발전해왔으며, 그 결과 벡터는 단순한 '방향을 가진 수'가 아니라, 현상과 구조를 동시에 포착하는 언어이자 형식으로 자리잡게 되었다. 이는 곧 벡터가 양 분야의 본질적 접점에서 태어나, 양자 모두의 발전을 이끌어온 핵심 이론 도구라는 사실을 보여준다. 다음은 벡터 공간의 수학적 정의와 관련 수식을 서술한 것이다.
| 체 [math(F)]에 대해, 집합 [math(V)]가 '체 [math(F)] 위의 벡터 공간'(vector space over [math(F)])이라 함은, [math(V)] 위에 벡터 덧셈과 스칼라 곱이라는 두 연산이 정의되어 있고, 이들이 다음 조건들을 만족한다는 뜻이다. 여기서 [math(F)]의 원소는 스칼라(scalar), [math(V)]의 원소는 벡터(vector)라 부른다. |
다시 말해, 벡터 공간이란 '어떤 상수들의 집합(체)'과 '벡터로 삼을 집합' 사이에 적절한 연산 관계가 정의되어 있는 구조이다. 상수들(스칼라)의 집합인 체([math(F)])에서는 덧셈과 곱셈이 정의되어 있으며, 이들 연산은 결합법칙과 교환법칙을 만족하고, 항등원과 역원(단, 0의 곱셈 역원은 제외)도 존재한다. 한편, 벡터로 삼을 집합([math(V)]) 내에서는 벡터 간 덧셈이 정의되어 있으며, 이 역시 결합법칙, 교환법칙, 항등원 및 역원을 갖는다.
여기에 더해, 스칼라와 벡터 간의 곱셈(스칼라 배)이 정의되어 있고, 이 연산이 분배법칙과 결합법칙을 만족하면 해당 구조는 벡터 공간이 된다. 요약하면, 수 집합과 그와 관계가 잘 정의된 또 다른 집합의 구조, 이 두 가지가 조화를 이루는 것이 벡터 공간이며, 이때 그 집합의 원소들이 바로 벡터다.
위의 정의를 주의 깊게 살펴보면, 체([math(F)]) 그 자체도 하나의 벡터 공간으로 간주될 수 있음을 알 수 있다. 실제로, 체 [math(F)]는 덧셈에 대해 가환군([math(F, +)])을 이루며, 스칼라 곱을 체의 곱셈([math(\cdot)])으로 정의하면, 벡터 공간의 모든 공리를 만족하게 된다. 이 경우, [math(F)]는 스스로를 스칼라로 삼는 1차원 벡터 공간이 된다. 수학적으로 체는 자기 자신 위의 벡터 공간이 될 수 있으며, 물리학에서도 이는 스칼라량의 추상적 모델, 복소수 위상, 또는 함수 공간 구조의 기본 단위로서 완전히 정합하게 등장한다. 다만, 이는 우리가 고등학교 수준에서 익히는 '화살표 벡터'의 물리적 직관과는 다를 수 있다는 점에서 혼동이 발생할 수 있다.
더 나아가, "한 체를 다른 체 위에서의 벡터 공간으로 본다"는 것도 가능하다. 예를 들어, 실수의 집합 [math(\mathbb{R})]을 유리수체 [math(\mathbb{Q})] 위의 벡터 공간으로 간주하는 선언도 무리가 없다. 이 경우, 실수 집합 [math(\mathbb{R})]은 무한 차원 벡터 공간이 되며, 이러한 성질은 선택 공리를 통해 수학적으로 증명할 수 있다. 또 이러한 관점은 단지 수학적인 형식에 그치지 않으며, 현대 이론물리학에서도 핵심적인 개념 구조로 활용된다. 예컨대 양자역학에서 사용되는 힐베르트 공간은 복소수체 [math(\mathbb{C})] 위의 무한 차원 벡터 공간이며, 이 공간의 성질은 체 위에서의 선형결합 구조를 그대로 따르고 있다.
이처럼 '체 위의 벡터 공간'이라는 개념은 양자장론, 게이지 이론, 함수해석학 등 고차원적 물리학 이론들의 수학적 기반을 형성하며, 함수 공간의 기저가 무한하다는 사실은 곧 물리계가 가질 수 있는 상태가 무한히 다양함을 의미하는 것으로 해석된다. 따라서 벡터 공간을 이루는 체의 성질은 물리 이론의 자유도와 표현 가능성에 직접적인 영향을 미치며, 이는 물리학이 수학적 추상 개념을 단지 도구로 사용하는 수준을 넘어, 그것 자체를 이론의 본질로 받아들이고 있다는 점을 시사한다.
결국, 물리학적 벡터와 수학적 벡터를 명확히 구분하려는 시도는 그 자체로 제한적인 관점일 수 있다. 물리학에서 벡터는 일반적으로(주로 물리학과 학부 수준) 방향과 크기를 가진 물리량으로 이해되지만, 이러한 개념은 수학적으로는 벡터 공간 이론이라는 보다 추상적이고 일반화된 틀 속에 포함된다. 반대로 수학에서 정의된 벡터 공간, 함수 공간, 심지어 텐서 공간까지도 물리학의 다양한 이론에 어떤 방식으로든 적용되어 물리적 의미를 갖는다. 또한, 사실 이러한 수학적 벡터 개념들 대부분은 순수 수학의 자생적 산물이라기보다는, 물리학적 문제를 정량적으로 기술하고 분석하기 위한 필요에서 비롯되어 발전한 경우가 많다. 즉, 두 분야의 벡터 개념은 자연의 본질적 구조를 설명하려는 같은 목적에서 출발해서 본질적으로 긴밀히 연결되어 있으며, 물리적 현실과 수학적 구조가 상호 번역되고 확장되는 과정 속에서 유기적으로 통합되어 발전해온 개념이다.
4. 물리학과 벡터
물리학에서 벡터는 자연 현상을 기술하고 이해하기 위한 핵심적인 사유 방식이자 언어 중 하나이다. 물리학은 본질적으로 시간과 공간 속에서 일어나는 운동과 상호작용을 다루는 학문이며, 이러한 과정은 대부분 크기와 방향을 동시에 가지는 물리량을 통해 설명된다. 이러한 양들을 가장 효과적으로 표현하고 연산할 수 있는 형식이 바로 벡터(vector)이다.학생들 중에는 종종 "왜 벡터는 수학 개념임에도 불구하고, 물리학처럼 양과 방향의 개념을 포함하는가?"라는 질문을 던지는 경우가 있다. 벡터가 수학적 개념임에도 불구하고 '양과 방향'을 포함하는 이유는, 벡터가 처음부터 수치 계산을 넘어서 공간 속에서의 작용, 이동, 변화를 기술하기 위해 고안된 개념이기 때문이다. 수학은 본래 추상적 구조를 다루는 학문이지만, 벡터는 특수하게도 그 기원에서부터 공간적 구조와 물리적 운동을 수학적으로 표현하려는 필요성에서 비롯되었다.
수학계에서 이러한 필요성이 발생한 근본적인 이유는, 벡터의 발명이 결국 서구 특유의 플라톤주의적 사고방식, 즉 물리학과 수학이 동일한 본질(실체)을 공유하며, 자연현상 속에 수학적 구조와 질서가 내재되어 있다고 믿은 근대 수학자들과 물리학자들의 공통된 철학적 인식에 기반하고 있기 때문이다. 당시에는 수학자와 물리학자의 연구 대상이 오늘날보다 훨씬 더 밀접하게 겹쳐 있었으며, 자연의 구조를 수학적으로 해석하고 기술하려는 공통된 목표 속에서 학문 간 경계가 뚜렷하지 않았다. 벡터 역시 이러한 흐름 속에서 수학과 물리학이 공유한 이론적 과제로부터 고안된 개념으로, 두 분야의 협력적 사고가 낳은 산물이라 할 수 있다. 따라서 벡터는 현실의 물리적 작용(힘, 운동, 흐름 등)을 단순화하거나 모사하기 위해서가 아니라, 그 본질적 구조를 수학적으로 기술하려는 철학적 시도의 산물이라 할 수 있다.
즉 수학자와 물리학자들 모두, '자연에 내재한 어떤 양'이 단순한 수치와 논리적 기법 이상의 의미를 가지며, 그것은 본질적으로 형이상적이고 수학적인 이데아적 실체라고 보았던 것이다. 그리고 그들은 이러한 양을 정확히 기술하기 위해서는 "얼마나 큰가"뿐만 아니라 "어디를 향하고 있는가"라는 방향 정보까지 함께 포함되어야 한다고 판단했으며, 이러한 인식에 따라 크기(스칼라)와 방향(기하학적 성질)을 결합한 구조로서 벡터라는 개념이 정의되었다. 따라서 벡터는 수학 내부의 자율적 추상이라기보다는, 공간적 작용성을 형식화하려는 수학과 물리학의 통합적 응답이라 할 수 있다.
이러한 전통에 기반한 이론적 발전의 결과로, 현대 물리학의 거의 모든 분야(고전역학, 전자기학, 유체역학, 상대성 이론, 양자역학 등)에서 벡터는 기본 단위로 작용한다. 예를 들어, 고전역학에서 물체의 위치는 3차원 공간상의 한 점으로 나타내며, 이 점의 이동은 위치 벡터로 표현된다. 속도는 단위 시간당 위치 벡터의 변화율, 즉 위치 벡터를 시간에 대해 미분한 값으로 정의되며, 이것 역시 방향과 크기를 지닌 벡터량이다. 가속도와 힘 또한 모두 방향성과 크기를 함께 지니는 벡터량이다. 대표적으로, '뉴턴의 제2법칙'으로 알려진 [math(\vec{F} = m \vec{a})]는 바로 이러한 벡터 연산에 기반한 대표적인 공식으로, 물리량들 간의 인과적 관계가 방향성과 크기를 포함하는 벡터 형식으로 정립될 수 있다는 사실을 잘 보여준다.[1]
전자기학에서는 전기장과 자기장이 공간 속 모든 지점에 대해 크기와 방향을 갖는 필드(field)로 정의되며, 이는 본질적으로 위치에 따라 벡터가 분포된 함수, 즉 벡터장(vector field)이다. 이러한 벡터장은 점전하나 전류와 같은 물리적 원인에 의해 형성되며, 입자들이 이 필드 내에서 어떻게 힘을 받고 운동하는지를 예측할 수 있도록 해준다.
상대성 이론에서도 벡터는 중요한 개념으로 작용한다. 특수상대성이론에서 사건의 위치는 시간과 공간을 포함한 4차원 시공간 벡터(4-vector)로 표현되며, 이들 사이의 관계를 통해 시간지연, 길이수축 등의 현상이 설명된다. 일반상대성이론에서는 시공간 자체가 곡률을 지닌 리만 다양체로 취급되며, 이 위에서의 운동과 장은 곡률 공간 위의 벡터 및 텐서장의 관계로 기술된다. 더 나아가 양자역학에서도 벡터의 개념은 계속 확장된다. 이때 벡터는 3차원 공간 상의 화살표가 아니라, 복소수로 구성된 추상적 벡터공간(힐베르트 공간)의 원소로 등장하며, 양자 상태의 표현과 연산의 기본 단위가 된다.
이처럼 벡터는 단지 "방향이 있는 수"가 아니라, 자연의 운동성과 상호작용을 수학적으로 해석하고 표현하기 위한 사고의 틀이자 도구이다. 물리학에서 벡터는 공간을 점유하고, 작용하고, 변화하는 모든 실체를 기술할 수 있게 해주며, 이는 인간이 자연을 이해하는 방식 자체를 바꾸어 놓았다. 벡터를 이해한다는 것은 곧, 자연이 '방향성과 구조를 지닌 힘들의 장(場)'으로 구성되어 있다는 근대 물리학의 관점을 수용하는 것이며, 물리학의 언어 속으로 들어가는 첫 걸음이라 할 수 있다.
아래는 벡터 개념의 역사에 대한 서술로, 이를 통해 벡터가 수학과 물리학 양쪽 모두에서 핵심 개념으로 기능하며, 두 학문이 서로 영향을 주고받는 접점에서 발전해왔음을 확인할 수 있다. 벡터는 물리학에서는 힘, 운동, 전기장 등 방향성과 크기를 지닌 물리량을 표현하기 위한 필수적인 도구로 자리잡았고, 수학에서는 이러한 물리적 요구를 충족시키기 위해 기하학과 대수학을 결합한 새로운 형식 체계로 정교화되었다. 이 과정에서 수학은 물리학에 이론적 기반과 기호 체계를 제공하고, 물리학은 수학에 현실적 동기와 개념적 방향성을 제공함으로써, 벡터 개념은 양 분야의 이론적 상호작용의 산물로서 점진적으로 확립되고 확장되었다.
5. 역사
5.1. 고대 및 중세: 방향 개념의 기원
고대 수학에서 '벡터'라는 개념은 명확히 정의되어 있지 않았지만, 방향성과 이동에 대한 직관은 존재했다. 특히 유클리드 기하학에서는 선분(segment)을 두 점 사이의 거리로 이해하며, 크기와 위치 개념이 독립적으로 등장한다. 그러나 이 시기에는 방향(direction) 자체를 수량화하거나 기호화하려는 시도는 거의 없었다. 또한 물리학이 수학과 분리되어 있었기 때문에, 물리량으로서의 벡터 개념은 출현하지 않았다.5.2. 르네상스 ~ 17세기: 좌표기하학의 탄생과 전제 마련
르네 데카르트는 1637년 <방법서설> 부록에서 좌표기하학(Cartesian coordinate system)을 도입함으로써, 공간상의 점을 수의 쌍으로 표현할 수 있는 틀을 제시했다. 이를 통해 곡선, 거리, 기울기 등의 기하학적 개념이 수학적 함수로 환원 가능해졌으며, 점 사이의 위치 변화(즉, 선분의 이동)를 수학적으로 기술하는 기반이 마련되었다. 이 좌표화는 훗날 벡터 개념의 수량화와 구조화로 이어진다.5.3. 18세기: 운동과 힘의 수학화
아이작 뉴턴의 <프린키피아>는 물리량(속도, 가속도, 힘 등)의 개념을 엄밀히 도입한 결정적 계기였다. 이 시기에는 아직 '벡터'라는 용어가 없었지만, 크기와 방향을 동시에 고려해야 하는 물리량이 실질적으로 존재했다. 뉴턴의 제2법칙인 [math(F = \frac{dp}{dt})]는 훗날 정립될 벡터 표현 [math(\vec{F} = m \vec{a})]의 원형으로 간주되며, 이는 힘과 운동량 변화 간의 관계를 미분 형태로 나타낸 것이다. 수학적으로도 이 시기부터 힘의 크기와 방향을 함께 표현하기 위한 시도가 등장했으며, 화살표 도식이나 좌표쌍 등을 활용해 물리량의 방향성을 시각적으로 나타내려는 초기적인 벡터 개념이 점차 발전하기 시작했다. 특히 물리학에서 벡터 개념이 형성되는 데 있어, 이 시기에 활동한 레온하르트 오일러(Leonhard Euler)와 조제프-루이 라그랑주(Joseph-Louis Lagrange)의 기여는 결정적이다. 이들은 뉴턴 역학의 기반 위에서, 힘과 운동의 관계를 정량적으로 다루는 틀을 수학적으로 정립해나갔다.오일러는 물체에 작용하는 힘을 운동량의 시간에 대한 도함수로 표현한 [math(F = \frac{dp}{dt})]라는 뉴턴의 근본 원리를 바탕으로, 이를 회전하는 강체, 유체, 연속체 등 다양한 물리적 계에 적용하며 해당 식을 보다 통합적인 수학적 형식으로 격상시켰다. 이 공식은 이후 운동량 보존 법칙을 일반화하는 데에도 핵심 역할을 하였으며, 현대에도 질량이 시간에 따라 변하는 상황(예: 로켓 역학)에서도 적용 가능한 보다 보편적인 힘의 정의로 기능한다. 즉, 뉴턴은 원리를 제시했고, 오일러는 그 원리를 다양한 물리 시스템에 맞춰 수학적으로 구체화하고 응용함으로써 후대 역학들의 기반을 마련한 셈이다.
라그랑주는 이보다 더 일반적인 수학적 틀을 제안했다. 그는 일반화된 좌표계에서 계의 운동을 기술하기 위해 라그랑지안 함수 [math(L = T - V)]를 정의하고, 이에 따라 운동 방정식을 유도하였다. 이른바 라그랑주의 운동 방정식은 다음과 같이 주어진다:
[math(\frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \right) - \frac{\partial L}{\partial q_i} = 0)]
여기서 [math(q_i)]는 일반화된 좌표, [math(\dot{q}_i)]는 그 시간 도함수, [math(T)]는 운동에너지, [math(V)]는 위치에너지다. 이 수식은 좌표계의 선택과 무관하게 물리 법칙을 기술할 수 있다는 점에서 혁신적이었으며, 이후 양자역학의 기초로 발전했다.
이처럼 오일러와 라그랑주는 뉴턴 역학의 원리를 확장하여, 단순한 질점의 운동을 넘어 회전하는 강체, 유체의 흐름, 연속체의 변형 등 보다 복잡한 물리계를 수학적으로 정식화하였다. 이 과정에서 운동량, 힘, 가속도처럼 방향성과 크기를 동시에 지니는 물리량들을 정밀하게 다루어야 했으며, 이러한 이론들을 각 물리적 상황에 적용하던 학자들 사이에서는 점차 이러한 양들을 효과적으로 표현할 수 있는 새로운 수학적 수단의 필요성이 제기되기 시작했다. 특히 여러 방향으로 작용하는 힘의 합성, 시간에 따른 위치 변화율로서의 속도, 연속적인 운동의 기술 등은 크기만으로는 부족했으며, 방향 정보를 함께 고려할 수 있는 구조적 표현이 요구되었다. 오일러와 라그랑주의 업적 이후로부터 본격적으로 벡터 개념이 필요해졌고, 벡터의 등장 이후 점차 그것이 물리학에서 필수적인 도구로 자리 잡게 되었던 것이다. 즉, 오일러와 라그랑주의 체계화된 역학 이론은 벡터의 필요성과 수학적 정당성을 명확히 드러내는 계기가 되었다.
5.4. 19세기 전반: '벡터' 용어의 등장과 형식화의 시작
현대적 의미에서의 벡터 개념은 19세기 중반에 들어서야 본격적으로 등장한다. 가장 먼저 '벡터(vector)'라는 용어를 도입한 인물은 윌리엄 로원 해밀턴으로, 그는 1843년 사원수(quaternion)를 정립하면서 벡터를 허수부(imaginary part)로, 스칼라(scalar)를 실수부(real part)로 정의하였다. 이때의 벡터는 물리적 공간 내 방향성과 회전을 표현하기 위한 도구로 도입된 것으로, 사원수의 곱셈 규칙에서 내적과 외적 개념이 함께 나타난다.해밀턴이 사원수와 벡터 개념을 고안하게 된 계기는, 3차원 공간에서의 회전과 방향을 수학적으로 일관되게 다루고자 하는 깊은 철학적 사유에서 비롯되었다. 그는 수년간 복소수(complex number)가 2차원 평면에서 회전을 표현할 수 있는 강력한 도구라는 점에 착안하여, 이를 3차원 공간으로 일반화하려는 시도를 거듭하였다. 해밀턴은 수학적 구조를 통해 공간의 본질을 파악하고자 했으며, 물리적 세계의 대칭성과 회전의 법칙을 대수적 기호 체계로 기술하려는 목표를 지녔다. 마침내 그는 사원수라는 4차원 수 체계를 창안하면서, 그 속의 허수부를 '벡터'라 명명하고, 이를 공간의 방향성과 관련된 수학적 개념으로 정의하였다. 즉, 이는 물리적 공간의 운동과 대칭을 해석하기 위한 본질적인 수학적 언어를 창조하려는 철학적 동기에서 비롯된 것이었다.
"Time is said to have only one dimension, and space to have three dimensions. … The mathematical quaternion partakes of both these elements; in technical language it may be said to be 'time plus space', or 'space plus time': and how the One of Time, of Space the Three, might in the Chain of Symbols girdled be."
"시간은 하나의 차원만을 가진다고 하고, 공간은 세 개의 차원을 가진다고들 말한다. … 수학적인 사원수는 이 두 요소를 모두 내포하고 있다. 기술적인 언어로 말하자면, 사원수는 '시간 더하기 공간' 또는 '공간 더하기 시간'이라 할 수 있다. 그리고 시간의 하나와 공간의 셋이 어떻게 상징의 사슬 안에 함께 묶일 수 있는가를 보여주는 것이다."
해밀턴의 어록. 그의 학생이자 전기 작가인 R.P.Graves의 전기 "Life of Sir William Rowan Hamilton"에서 발췌.
해밀턴의 이 말은 시간은 하나의 차원을, 공간은 세 개의 차원을 가진다고 전제한 뒤, "그 하나(시간)와 셋(공간)이 어떻게 기호의 사슬 속에 함께 묶일 수 있을까"를 묻고 있다. 이는 곧 그가 사원수를 통해 시간과 공간이라는 이질적인 차원들을 하나의 수학적 구조 안에 통합하려 했음을 보여준다. "시간은 하나의 차원만을 가진다고 하고, 공간은 세 개의 차원을 가진다고들 말한다. … 수학적인 사원수는 이 두 요소를 모두 내포하고 있다. 기술적인 언어로 말하자면, 사원수는 '시간 더하기 공간' 또는 '공간 더하기 시간'이라 할 수 있다. 그리고 시간의 하나와 공간의 셋이 어떻게 상징의 사슬 안에 함께 묶일 수 있는가를 보여주는 것이다."
해밀턴의 어록. 그의 학생이자 전기 작가인 R.P.Graves의 전기 "Life of Sir William Rowan Hamilton"에서 발췌.
이러한 목표는, 19세기 초중반의 대부분의 물리학자들이 시간과 공간을 본질적으로 이질적인 성질의 것으로 인식하고 있었던 데에서 비롯되었다. 시간은 아이작 뉴턴의 "절대 시간" 개념에 기반해 방향성과 위치가 없는 순수한 흐름, 곧 스칼라적 배경으로 여겨졌고, 반면 공간은 방향과 위치를 지닌 물리적 영역으로 점차 벡터적인 수학 구조로 기술되기 시작했다. 이러한 인식 속에서 "시간 = 스칼라", "공간 = 벡터"라는 구도는 이미 자연철학자들 사이에 널리 공유되고 있었으며, 해밀턴은 이러한 구도를 사원수라는 수학적 형식 안에 병렬적으로 배치함으로써, 시간과 공간을 하나의 틀에 담으려 했던 것이다. 다시 말해, 그는 단순한 계산 도구를 넘어서, 우주의 구조 자체를 대수적 기호 체계로 파악하려는 철학적 열망을 품고 있었다.
이에 해밀턴은 1843년, 복소수를 일반화하여 4차원 수 체계인 사원수(quaternion)를 정립하였다. 사원수는 다음과 같은 꼴로 표현된다:
[math(q = a + bi + cj + dk)]
여기서 [math(a, b, c, d)]는 실수, [math(i, j, k)]는 다음의 곱셈 규칙을 따르는 허수 단위이다:
[math(i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1)]
사원수의 곱셈은 비가환적이며([math(ij \ne ji)]), 다음과 같은 기본 규칙을 따른다:
[math(ij = k,\quad jk = i,\quad ki = j)]
[math(ji = -k,\quad kj = -i,\quad ik = -j)]
[math(ji = -k,\quad kj = -i,\quad ik = -j)]
사원수는 [math(a)]를 스칼라(scalar), [math(bi + cj + dk)]를 벡터(vector)로 간주할 수 있으며, 전체 형태는 다음과 같이 표현된다:
[math(q = \text{scalar} + \text{vector})]
이러한 방식으로 사원수는 스칼라부와 벡터부로 분리할 수 있으며, 특히 벡터부의 곱셈 과정에서는 내적과 외적이 동시에 나타난다.
해밀턴의 어록을 이와 대응시켜 보면, 사원수 [math(q = a + bi + cj + dk)]에서 [math(a)]는 스칼라 항으로서 시간 축에 해당하는 성분으로 간주되며, [math(bi + cj + dk)]는 벡터 항으로서 공간을 구성하는 세 방향 성분으로 해석된다. 이러한 스칼라부와 벡터부의 분리는 사원수를 물리학적 현상(위치, 속도, 회전, 시공간 표현 등)을 통합적으로 기술하는 데 활용할 수 있는 유용한 도구로 만든다. 즉, 사원수는 공간의 방향성과 시간의 흐름을 하나의 수학적 객체로 다루려는 시도의 일환이라고 평가되며, 이는 근대 벡터 대수 이론의 기초가 되었다.
5.5. 헤르만 그라스만과 선형확대론
동시기에 헤르만 그라스만은 <선형확대론>(1844)을 통해 다차원 공간에서의 방향과 크기, 그리고 선형 조합을 다루는 일반적인 연산 체계를 수립했다. 그는 점, 방향, 면, 체적 등을 하나의 연산 구조 안에서 통합적으로 기술하려 했으며, 그라스만의 이론은 현대의 외대수(exterior algebra) 및 텐서 개념에까지 이어진다.헤르만 그라스만의 핵심 철학은 수학을 인간 인식의 확장 도구로 보는 데 있었다. 그는 공간과 그 안에서의 힘과 양의 관계를 인식하는 인간의 능력을 단순한 기하학적 직관에 의존하지 않고 논리적·대수적 구조로 체계화하고자 했다. 그가 저작 <선형확대론>에서 제시한 이론들은 점, 선, 면, 체적 등 서로 다른 차원의 기하학적 대상을 하나의 일관된 연산 체계 안에 통합하고, 차원의 개념을 무한히 확장 가능한 일반 개념으로 정립했다는 점에서 선구적이었다. 이러한 시도는 힘, 운동량, 회전 등 방향성과 크기를 지니는 물리량을 차원에 구애받지 않고 표현하려는 당대의 물리학적 필요와도 맞물려 있었으며, 단순한 계산 기술을 넘어 인간이 세계를 개념화하고 구조화하는 방식에 대한 깊은 인식론적 성찰로 이어졌다.
5.6. 19세기 후반 ~ 20세기 초: 벡터 공간 개념의 정립
펠릭스 클라인, 조제프 리우빌, 다비트 힐베르트, 스테판 바나흐 등은 벡터 개념을 기하학적 직관에서 벗어나 보다 추상적인 구조로 일반화하였다. 이 과정에서 '벡터 공간(vector space)'이라는 개념이 정립되었고, 벡터는 어떤 체(field) 위의 선형 변환이 가능한 대상으로 간주되기 시작했다. 이로써 벡터는 더 이상 '공간 속의 방향성 있는 선분'이 아니라, 연산구조를 가진 추상적 대상으로 전환되었다.이들의 연구는 단순히 수학 내부의 형식화 요구에 따라 벡터를 추상화한 것이 아니라, 열역학·전자기학·파동역학 등에서 등장한 함수나 장(場)과 같은 물리적 대상들을 정량적으로 기술하기 위해, 보다 일반적인 연산 구조가 필요하다는 물리학의 요청에 응답한 것이기도 했다. 특히 힐베르트는 양자역학의 기반이 될 무한 차원 함수 공간을 엄밀히 정의하면서, 벡터 공간을 함수·연산자·신호 등으로까지 확장 가능한 구조로 형식화하였다. 그 결과 '벡터 공간'은 단순히 공간상의 방향성과 크기를 나타내는 선분이 아니라, 체 위에서 덧셈과 스칼라곱이 정의되는 연산구조를 가진 추상적 대상으로 정착되었으며, 이는 물리학 이론의 정합성을 담보하는 수학적 토대가 되었다.
이 개념은 곧 함수 공간, 행렬 공간, 텐서 공간 등 다양한 수학적 구조로 확장되었고, 힐베르트 공간(Hilbertraum), 바나흐 공간(Przestrzeń Banacha)과 같은 무한 차원 공간 개념도 이 시기에 등장하여 양자역학의 수학적 기초로 활용되었다.
5.7. 20세기 이후: 물리학과 수학의 상호작용 속에서의 발전
20세기 들어 벡터 개념은 양자역학, 상대성 이론, 양자장론 등 현대 물리학의 핵심 이론 속에서 중심 구조로 자리잡는다. 4-벡터, 텐서장, 게이지 이론 등은 모두 벡터 공간 개념을 바탕으로 정립된 구조이며, 수학적으로는 리 군, 리 대수, 다양체 위의 벡터 다발 등으로 이론화되었다.또한 함수해석학과 범주론 등 고차원 추상 수학에서도 벡터 공간은 핵심적 구조로 자리잡으며, 수학 내부의 순수 추상화와 물리학 외부의 응용 요구가 상호 작용하며 발전을 이끌었다. 이로써 벡터는 현실 세계의 구조를 반영하고 예측하는 이론적 틀로 그 위상을 더욱 확고히 하게 되었다.
6. 표기법
일반적으로 표기 기호로는 이탤릭이 아닌 정체의 볼드체를 사용하여 [math(\mathbf{v})]로 많이 쓴다. 화살표를 사용하여 [math( \vec{a})][2]라 쓰기도 하는데, 앞서 나온 것과 같이 방향이 존재하지 않을 수 있는 추상적인 벡터를 다루는 고급 대수학 이론으로 갈수록 이런 기호를 보기 힘들다. 미적분학에서는 타 전공 학생들이 같이 듣는 경우가 많으니만큼 신경 써서 화살표를 빼먹지 않고 써주는 친절한(?) 교수라도, 벡터의 본진이자 수학과 학생들의 첫 관문인 선형대수학 과목의 경우 첫 학기, 그중에서도 특히 벡터 공간을 다루는 챕터에서부터는 화살표를 노골적으로 생략하기 시작한다.물론 교수나 조교들은 학생들이 어떻게 쓰든 알아봐야 하기에 어지간한 표기법에는 이골이 나 있지만[3], 미적분과 선형 대수를 처음 배우는 학생들은 이 벡터 기호를 필기하는 데 익숙해지지 않아서 차원을 혼동하여 오류를 초래하는 등의 불상사를 많이 겪는다.
학생들은 벡터를 스칼라와 구분하기 위해 별의 별 방법을 사용한다. 화살표나 꺾쇠[^], 물결[~], 밑점, 밑줄[6], 윗줄[7], 인쇄체로 쓰기[예], 벡터에 컴퓨터용 사인펜 사용하기[9], 샤프나 연필로 쓸 때 필압의 변화 혹은 겹쳐 쓰는 방법으로 구분하기[10] 등 기기묘묘한 노테이션을 끌어와 버텨보려 해도 본격적으로 벡터 공간을 다루기도 전에 다변수 미적분학에서부터 편미분, 선 적분 기호를 쓰다 보면 어느새 유체 이탈 필기체가 등장하기 일쑤. 이런 데에 쓰라고 이른바 칠판체라 하는 수학계의 암묵의 룰이 있기야 하지만, 정작 교과서들도 벡터와 벡터 성분의 볼드체 처리를 자주 혼동하여 독자들의 머릿속을 어지럽히기도 하고, Strang 저 선형 대수학이나 Friedberg 저 선형 대수학처럼 오랜 역사와 전통을 자랑하는 일부 명저나 옛날 책들 중에는 독자들을 위한 최소한의 배려라 할 수 있는 이런 볼드체 처리마저 안 해놓는 사례도 적지 않다.[11] 이런 표기법에 구애받지 않고 아무렇게나 찍찍 쓰면서도 자신이 다루는 대상이 무엇인지 혼동하지 않는 무신경한 수준이 되려면, 수학과 학부 과정에서 미분 기하학을 배우는 시점은 되어야 한다. 미분 기하학 첫 학기부터 두뇌를 핑핑 돌리는 벡터장의 소용돌이를 경험하면, 죽이 되든 밥이 되든 다들 해탈해 있다.[12] 또한 손글씨로 써봤자 일반 글씨와 구분이 될리 만무한 이탤릭체나 오리지널 볼드체와 달리 보통 세로줄만 두 번 긋는 방식으로 쓰는 특성상 그나마 구분이 가능한 칠판체는 사실 벡터보다도 IN([math(mathbb N)]), IR([math(mathbb R)])
한편, 계산이 중요한 해석학이나 기하학, 또는 각종 응용 수학 등을 염두에 두고 행렬의 분해 같이 테크니컬한 주제를 중심으로 진행하기보다는 현대 대수학과 가환 대수학 등 오로지 추상적인 고급 대수학으로의 일반화를 추구하는
양자역학에서는 홑화살괄호를 사용해 [math(left| v right>)][14]로 표기한다. 다만 양자역학 밖에서는 쓰임이 없다시피 하다.
벡터는 일반적으로 순서 관계가 아니다. 다시 말해, 두 벡터에 부등호를 취할 수 없다. 그러나 미시경제학의 소비자 이론에서 재화묶음이나 그 가격을 [math(n)]차원 열벡터로 정의할 때 모든 성분에 대해 강선호를 보이거나 가격이 0보다 큰 경우 부등호를 쓰는 관행이 자리잡혀 있다. 구체적인 예시로 MWG에서 가격벡터의 각 성분이 0보다 클 때 [math(\mathbf{p} \gg 0)]이라는 표현을 사용하기도 한다. 학부 수준의 미시경제학에서는 두 상품묶음 벡터간의 선호관계를 표시할 때 [math(\succ)] 와 같은 기호를 쓰기도 한다.[15]
7. 항등원
덧셈에 대한 항등원이 존재한다. 이를 영벡터라고 하며 0을 볼드체로 하여 [math(\mathbf{0})]로 표기한다. 영벡터는 시점과 종점이 같으며, 크기는 0이고 방향은 생각하지 않는다. 방향을 어떻게 잡든 다 성립할 수 있기 때문이다.곱셈에 대한 항등원은 일반적으로 존재하지 않는다. 애초에 두 벡터의 곱셈 연산자가 일반적으로 정의되지 않는다. 스칼라 배(scalar multiplication)는 벡터간의 연산이 아니고, 내적과 외적(tensor product)은 결과값이 벡터인 연산자가 아니며, 외적(cross product)은 3차원 및 7차원 벡터공간에서만 정의된다. 더군다나 외적(cross product)의 항등원은 존재하지 않는다. 이는 다음을 통해 보일 수 있다.
외적의 항등원 [math(\mathbf{e})]가 존재한다고 가정하자. 그렇다면 항등원의 정의에 의해 [math(\mathbf{e}\times\mathbf{e} = \mathbf{e})]가 성립하여야 한다. 한편 외적의 성질에 의해 [math(\mathbf{e}\times\mathbf{e} = \mathbf{0})]이다. 즉 [math(\mathbf{e} = \mathbf{e}\times\mathbf{e} = \mathbf{0})]이므로, 외적의 항등원이 존재한다면 [math(\mathbf{0})]이어야 한다. 그러나 이는 모순임을 알 수 있다. [math(\mathbf{0})]이 아닌 임의의 벡터 [math(\mathbf{u})]을 잡았을 때, [math(\mathbf{u}\times\mathbf{0} = \mathbf{0} \neq \mathbf{u})]이기 때문이다.
8. 단위벡터
단위벡터(unit vector)는 크기가 1인 벡터이다. 정의는 다음과 같다.[math({\bf\hat a} = \dfrac{\bf a}{\|{\bf a}\|})] (단, [math({\bf a}\ne{\bf0})])
[math(\hat{\mathbf{a}})]의 꾸밈 기호 ^는 햇(hat), 또는 캐럿(caret) 이라고도 읽는다.
9. 벡터의 차원
벡터를 이루는 성분의 개수를 벡터의 차원(dimension)이라고 이르며, [math(\dim {\bold a})]로 표기한다. 이하 벡터의 주요 연산은 차원이 동일해야 한다는 조건이 붙는다.[16]10. 연산
대표적으로 3차원[17] 벡터 [math(\bold{a}= \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{bmatrix})]와 [math(\bold{b}= \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{bmatrix})]에 대하여 벡터의 연산은 다음과 같이 정의한다. 아래 설명에서 각 벡터의 성분은 모두 복소수로 간주한다.10.1. 덧셈
대응되는 스칼라 값끼리 더해서 새로운 벡터를 만들 수 있다. 교과서에서 흔히 두 벡터 중 하나를 평행이동시켜 평행사변형을 그려서 설명하는 것이 이 과정이다. 덧셈의 방식으로는 크게 삼각형법[18]과 평행사변형법이 있다.[math( \mathbf{ a } + \mathbf{ b } = \left( a_{ 1 } + b_{ 1 },\ a_{ 2 } + b_{ 2 },\ a_{ 3 } + b_{ 3 } \right) )]
10.2. 상수배(스칼라 배)
일반적인 곱셈. 그냥 각 항에 스칼라를 곱해주면 된다. 그래서 설명대로 흔히 scalar multiplication 이라고 부른다. 스칼라가 실수인 경우에는 실수배라고 한다. 실수배인 벡터끼리는 서로 평행하다. 양수를 곱하면 방향이 같고, 음수를 곱하면 방향이 반대가 된다. 크기는 곱한 실수 값의 절대값을 곱해주면 된다. 0을 곱하면 영벡터가 된다.[math( k \mathbf{ a } = \left( ka_{ 1 }, ka_{ 2 }, ka_{ 3 } \right) )]
이 중 [math(k=-1)]인 경우를 [math(\bold a)]의 역벡터(inverse vector)라고 하며, 벡터의 덧셈에 대한 역원이 된다.
10.3. 내적
#!if (문단 == null) == (앵커 == null)
를#!if 문단 != null & 앵커 == null
의 [[내적#s-|]]번 문단을#!if 문단 == null & 앵커 != null
의 [[내적#|]] 부분을[math( \mathbf{ a } \cdot \mathbf{ b } = \lVert\mathbf{a}\rVert\lVert\mathbf{b}\rVert\cos\theta = \det {\bold a}^{\ast}{\bold b} = \det {\bold b}^{\ast}{\bold a} = \overline{a_{ 1 }}b_{ 1 } + \overline{a_{ 2 }}b_{ 2 } + \overline{a_{ 3 }}b_{ 3 } = a_{ 1 }\overline{b_{ 1 }} + a_{ 2 }\overline{b_{ 2 }} + a_{ 3 }\overline{b_{ 3 }})]
내적(內積, inner product) 또는 도트곱(dot product), 점곱은 두 벡터를 연산했을 때, 결과가 스칼라이다. 그래서 스칼라 곱(scalar product)이라고도 한다. [math(\langle\mathbf{a},\mathbf{b} \rangle)] 로 표기하기도 한다.
벡터 하나의 성분들에 켤레가 취해져 있는데, 내적이 성립하기 위해서는 두 벡터 중 하나의 허수부 부호가 반대가 되어야 하기 때문이다.[19][20]
10.4. 크로스곱
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의 [[외적#s-|]]번 문단을#!if 문단 == null & 앵커 != null
의 [[외적#벡터곱의 관점|벡터곱의 관점]] 부분을크로스곱(cross product) 또는 벡터곱, 가위곱은 연산 결과가 벡터이다. 외적(外積)이라고도 하는데, 이 명칭에 대해서는, 텐서곱도 외적이라고 부르기 때문에 주의가 필요하다[21] 연산 과정에서 뺄셈이 들어가므로 교환법칙은 성립하지 않으며, 굳이 자리를 바꾸고 싶으면 벡터 하나의 부호를 바꿔야 한다. 종종 오른손 손가락 3개로 벡터 간 외적 계산 결과를 이해시키곤 한다.
3차원 벡터 간 벡터곱은 아래와 같이 계산된다.
[math( \mathbf{a} \times \mathbf{b} = - \mathbf{b} \times \mathbf{a} = \mathbf{n}\lVert \mathbf{a}\rVert\lVert\mathbf{b}\rVert\sin\theta = ( a_2 b_3 - a_3 b_2 , a_3 b_1 - a_1 b_3 , a_1 b_2 - a_2 b_1) )]
이때 대다수의 교재에서는 행렬의 개념을 배우기도 전에 행렬식을 사용하여 벡터곱의 연산을 보여주기도 한다. 이때 사용하는 방법은 "여인수 전개"라고 자주 부르는 라플라스 전개이다.
[math(\mathbf{a}\times\mathbf{b}=\det \begin{bmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{bmatrix})]
[math( \; = \mathbf{i}(a_2 b_3 - a_3 b_2) + \mathbf{j}(a_3 b_1 - a_1 b_3) + \mathbf{k}(a_1 b_2 - a_2 b_1) )]
여기서 [math(\mathbf{i}=(1,0,0),\space \mathbf{j}=(0,1,0),\space \mathbf{k}=(0,0,1))]는 유클리드 공간(이 경우 [math(\mathbb{R}^3)])의 표준기저이다. 즉, 3차원 벡터 둘 사이의 벡터곱은 제1행에 [math(\mathbb{R}^3)]의 표준기저벡터, 제2행, 제3행에 각각 행벡터 [math(\mathbf{a})], [math(\mathbf{b})]를 넣은 행렬식과 같다.
또한, 동일한 벡터끼리의 연산 결과로 영벡터가 나온다. 이는 라플라스 전개를 사용할 필요도 없이 행렬식의 성질로 보일 수 있다. 위 벡터곱의 정의를 보면 알다시피 같은 벡터를 벡터곱하면 선형종속일 수밖에 없으며,[22] 행·열벡터가 서로 선형종속일 경우 행렬식은 0이 된다. 다만 제1행이 표준기저벡터이므로 결론적으로 영벡터가 나온다.
[math(\mathbf{a} \times \mathbf{a} = \mathbf{0})]
여담으로, 성분 개수에 구애받지 않는 스칼라곱과는 달리 성분이 3개인 3차원 벡터에서 깔끔하게 계산이 되므로[23] 보통 3차원 벡터에서 많이 쓰인다. 3차원에서 벡터곱을 통해 나온 법선벡터 [math(\mathbf{n})]는 곱하기된 벡터 [math(\mathbf{a})], [math(\mathbf{b})] 모두에 수직이다. 이걸 사용하는 가장 대표적인 개념이 역학에서의 토크(회전력)와 전자기학에서의 자기력.[24]
내적과 외적이라는 이름은 사원수군에서 왔다. 실수부가 0인 두 사원수를 곱해서 실수부와 허수부를 각각 구해 보면, 실수부의 모양은 내적과 거의 비슷하고, 허수부의 모양은 외적과 거의 비슷하다. 이에 대해 내적과 외적이라는 이름이 각각 붙었는데, 그것이 벡터의 경우로도 전파되어 지금까지 내려 온 것. 어째 먼저 발전했던 사원수 자체는 지금 별로 쓰이지 않고 그와 관련된 명칭들만이 의미가 조금 달라진 채 지금 많이 쓰이는 모양이다. 참고로 팔원수를 이용하면 7차원의 외적을 만들 수는 있다. 4차원 우주에서 별 도움이 안돼서 그렇지...
10.5. 외적(outer product)
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의 [[외적#s-|]]번 문단을#!if 문단 == null & 앵커 != null
의 [[외적#선형변환의 관점|선형변환의 관점]] 부분을외적(外積, outer product) 또는 텐서곱(tensor product)은 연산 결과가 텐서인 두 벡터 간의 행렬곱셈이다. 기호는 ⊗이다. 행렬곱셈의 특성상 당연히 이것도 교환법칙을 씹어먹는다. 만약 두 벡터 간의 순서가 바뀌면 원래 텐서의 수반 행렬이 된다. 주의할 점은, 앞쪽 항의 행렬을 켤레를 취하고 시계 방향으로 90도 돌려서 계산해야 한다는 것이다.[25] 물론 텐서 개념이 등장한 뒤에야 다루거나, 텐서의 수학적이고 엄밀한 정의에서 나오거나, 많이 추상화된 대수학에서 쓰이는 개념이다. 양자역학에서 [math(\left| a \right>)]와 [math(\left| b \right>)]의 외적은 [math(\left| a \right>)]를 입력하여 [math(\left| b \right>)]를 출력하는 연산자로 취급하여 [math(\left| b \right>\left< a \right|)]로 쓰기도 한다.
[math(\mathbf{a} \otimes \mathbf{b} = (\mathbf{b} \otimes \mathbf{a})^{\ast} = \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{bmatrix} \overline{\begin{bmatrix} b_1 & b_2 & b_3 \end{bmatrix}} = \begin{bmatrix} a_1 \overline{b_1} & a_1 \overline{b_2} & a_1 \overline{b_3} \\ a_2 \overline{b_1} & a_2 \overline{b_2} & a_2 \overline{b_3} \\ a_3 \overline{b_1} & a_3 \overline{b_2} & a_3 \overline{b_3} \end{bmatrix})]
한편, 텐서곱의 주대각합은 내적이 된다.
[math(\mathrm{tr}(\mathbf{a} \otimes \mathbf{b}) = \mathbf{a} \cdot \mathbf{b})]
10.6. 크로네커 곱
크로네커 곱(Kronecker product)은 m x n 행렬과 p x q 행렬을 수행하여 mp x nq의 행렬이 나오는 연산이다.계산 자체는 간단하여, 앞의 행렬의 각 원소를 스칼라로 취급하여, 해당 스칼라에 뒤의 행렬을 곱하는 식으로 정의된다. 즉, m×n 행렬과 p×q 행렬을 크로네커 곱을 하게 되면, 그 결과는 mp×nq 행렬이지만, 동시에 한 칸이 p×q 행렬로 구성된 m×n 블록행렬이기도 한 셈.
11. 여담
자연계 과목을 선택한 고등학생들을 괴롭히는 수학 중 하나지만, 배운 후에는 유용한 개념. 힘들게 풀었던 기하문제들을 단숨에 풀 수 있다. 내적 역시 두 선이 이루는 각을 구할 때 사용하면 너무도 편하다.특히 (고교 교육 과정 밖이지만) 외적을 배우면 벡터 문제가 아닌 공간도형이나 기하 문제 등에서 유용하게 쓸 수 있다. 예를 들어 평면 위에서 세 점이 주어져 있을 때, 삼각형의 면적을 구하는 문제는 외적을 계산할 줄 안다면 한 모서리를 기준으로 두 변을 벡터로 만들어 외적을 한 후 크기에다가 1/2만 곱해주면 끝난다. 흔히 말하는 신발끈 공식이 사실 외적이다.[26] 해당 식을 다시 정리하면 행렬식의 절댓값이 튀어나온다. 정확하게는 두 벡터의 외적을 해서 절댓값을 씌우면 두 벡터로 이루어진 평행사변형을 밑면으로 하고 높이 1인 평행육면체의 부피가 된다. 높이가 1이므로 평행육면체의 부피와 평행사변형의 넓이가 같다. 이 외에도 한 평면에 존재하는 두 벡터를 던져주고 그 평면의 법선벡터를 빠르게 구하거나 3차원에서 한 점으로부터 직선까지의 거리를 구할 수도 있다. 두 꼬인 직선 사이의 거리도 구하는 방법이 있다.
대학 과정의 수학, 물리학, 공학[27]에서 자주 이용되는 선형대수학이 벡터를 다루는 과목이나, 그때의 벡터는 기하학적인 것이 아니라 위에서 말했듯이 좀 더 일반화된 것이다. 당장 학부 수준의 물리학이나 미분방정식에서부터 함수를 벡터로 다루는 법을 배우게 된다. 이는 편미분방정식과 푸리에 해석에서 매우 중요한 역할을 하니 이공계열 대학생들이라면 확실히 익혀두자. 특히 물리학의 경우 양자역학이란 게 힐베르트 공간에서 함수를 벡터 취급해서 이러저러한 걸 하는 방식으로 이뤄져있기 때문에 일반화된 벡터라는 개념을 확실히 몸에 익혀놓아야 된다.
대학마다, 교수마다 다르지만 일반적으로 유클리드 공간의 벡터를 표시할 때 선형대수학에서는 열벡터 표기를 선호하고 해석학에서는 행벡터 표기 방식을 선호하는 편이다. 사실 어떤 방식으로 표기하든 관계는 없지만, 수학 전반적으로 '벡터=열벡터'라는 관행이 있다. 하지만 조판상 이유로 열벡터를 전치해 행백터로 쓰는 경우도 많다.
대학교 미적분학이나 그 이상의 과정에서는 벡터를 미분하거나 적분하는 일도 많이 있다. 이를 다변수 미적분학/해석학, 간단히 벡터 미적분학/해석학이라 한다.
한국에서는 이과생들이 가장 자주 보게 되는 용어라고도 한다. 다만 일본에서는 2022년까지는 문과도 수학B에서 벡터를 배웠고,[28] 중국 역시 문과도 벡터를 배우는데, 보통고중수학과정표준에서 벡터는 삼각함수와 함께 보통고중수학과정표준/필수4에 들어가 있기 때문이다. 한국에서도 대학에 가면 경제학과 같이 벡터를 반드시 사용해야 하는 문과 전공이 몇 개 있다.
히어로즈 오브 더 스톰/영웅의 기술 중 Vector Targeting은 끌어서 사용으로 옮겨졌다.
[1] 물론 뉴턴은 벡터 개념 고안 이전의 인물이므로 저 식을 그대로 사용한 것은 아니며, 이는 후대의 학자들이 응용하여 간략화한 버전의 공식이다.[2] 특히 유클리드 공간상의 벡터라면 100% 이 표기를 쓴다.[3] 예를 들어 학생이 영벡터와 스칼라 0을 구분하지 못하여 과제나 시험에서 증명이 꼬인다면 부분 점수도 줄래야 줄 수가 없다.[^] 일명 hat. 벡터에다 그 노름(norm)의 역수를 곱함으로써 방향은 같되 크기를 1로 맞춘 단위 벡터를 표시하는 데 쓰이곤 한다.[~] 틸드(tilde)[6] 밑점과 밑줄은 유튜브 등지에 올라있는 초심자들을 위한 강의에서 흔히 보이는 표기법이지만, 선 적분을 배우다 보면 헷갈리고 귀찮아진다.[7] 무게 중심이나 평균값 등의 계산에서 자주 볼 수 있는 기호이나, 그래도 벡터 표기에서 쓰이는 경우는 드물다. 게다가 복소 벡터는 윗줄이 켤레 복소수를 뜻하기 때문에 혼동이 생긴다.[예] x를 예로 들면 일반 미지수로 쓸 땐 필기체로 쓰던 문자를 벡터로 쓸 때는 인쇄체처럼 쓰는 식. 그러나 이 경우 벡터곱 기호와 헷갈리는 치명적인 문제가 발생한다.그러니 끝을 약간 꺾거나 하여 구분해 보자.[9] 가장 깔끔하지만 가장 무식한 해결책. 굵게 쓰는 건 다 해결되지만, 사용하는 필기도구가 두 개로 늘어나다 보니 귀찮아지는 동시에 필기구를 헷갈리는 사태가 생긴다. 이를 막으려면 악보 기보용 연필처럼 심 하나로 획의 굵기가 달라지도록 깎는 수밖에 없다. 그렇지만 이 과정도 심한 노가다.[10] 세게 써서 굵게 쓰면 벡터, 반대로 약하게 써서 얇게 쓰면 스칼라가 된다. 델가드 쓰자.[11] 사실 적당히 어떤 벡터 공간의 원소라고 사전에 표시해 놓으면 되고 판서 과정에서는 더욱 스칼라와 구분하기 힘들어지는 벡터를 굳이 볼드체, 칠판체, 화살표로 구분해 놓는 가장 큰 목적은 꾸벅꾸벅 조는 독자들의 가독성과 집중력 향상 및 계산의 정확성 향상이라 할 수 있다. 21세기 이후로 나오는 책들은 개정 작업이 진행될수록 점점 이런 암묵의 룰을 지켜주는 추세에 있지만, 저자도 편집자도 무관심하면 독자 입장에서는 더욱 각 잡고 집중하는 것 외엔 방법이 없다.[12] 미적분학에서는 [math(\mathbf{i})], [math(\mathbf{j})], [math(\mathbf{k})]로 써주던 3차원 표준 기저 벡터도 선형 대수학, 다변수 해석학, 미분 기하학에서는 그냥 [math(\mathbf{e_1})], [math(\mathbf{e_2})], [math(\mathbf{e_3})], ...로 쓰는 경향이 있다. 시각화가 가능한 3차원만 다루는 게 아니니까 어쩔 수 없는 부분이지만, 이게 초심자의 입장에서는 사실상 화살표도 칠판체도 절대 쓰지 말라는 무언의 압박으로 느껴진다. 그리고 본격적으로 벡터장을 돌릴수록 초심자들은 필기체를 손에 익힐 여유조차 없이 허둥지둥 교수자의 판서, 교과서의 표기를 받아쓰기 급급해진다. Thomas Banchoff 저서처럼 벡터마다 일일이 화살표를 써준 미분 기하 교과서도 드물게 있기야 있지만 이들은 어디까지나 예외적인 사례.[13] 예외적으로 [math(\mathbb E)]는 기댓값을 나타내는 데 쓰인다. 또한 일부 교수자나 책에 따라서는 미분 기하학 등에서 유클리드 공간을 나타내는 기호 E를 [math(\mathbb E^2)], [math(\mathbb E^3)] 등으로 칠판체화하여 쓰기도 한다. 또한 수 체계를 나타내는 기호들 중 [math(\mathbb N)]은 볼드체 손글씨를 칠판체로 쓰는 사람들이 지겹도록 써야 할 문자이기 때문에 괜히 혼동을 초래하는 수가 있다. (기본 형식의 [math(N)]은 기울임체, 곡면의 법선 벡터는 소문자 [math(\mathbf n)], 곡선의 법선 벡터는 [math(\mathbf N)], 테일러 전개라도 해야 하면 다시 소심하게 소문자 [math(n)] 등 서체만 달라져도 의미가 전혀 달라지니...) 물론 미분 기하학에서 자연수 기호를 쓸 일은 많지는 않지만 그래도 이를 방지하기 위해 자연수를 [math(\mathbb{Z}^{+})](양의 정수)로 쓸 것을 고집하기도 한다.[14] '켓(ket)'이라고 부른다.[15] 무차별의 경우 ~ 표기법을 사용한다.[16] 단, 외적([math(\otimes)])은 차원이 달라도 무방하다.[17] 크로스곱은 3차원과 7차원 같은 몇몇 차원에서만 정의된다.[18] 머리-꼬리법이라고도 한다.[19] 내적의 공리 중 하나가 자기 내적 시 반드시 음이 아닌 실수가 되어야 하는 것인데, [math(z \neq 0)]인 임의의 복소수에 곱해서 0보다 큰 실수가 나오는 수는 그 복소수의 켤레 [math(\overline z)] 뿐이다.[20] 수학에서는 상황에 따라 적당한 벡터를 택일하고, 물리학에서는 관례상 왼쪽의 벡터에 켤레를 취한다. 실벡터일 경우 허수부가 없으므로 편의상 켤레를 생략하기도 한다.[21] 물리학에서는 문제가 있는데, 제대로 된 벡터 둘을 외적하면 유사벡터(pseudovector)가 나온다. 차이점은 유사벡터는 반사시키면 변위와 다르게 변환된다. 예를 들어 원점에 대칭시키면 변위는 부호가 바뀌지만 유사벡터는 그대로이다. 물리학에서 대표적인 유사벡터가 바로 각운동량이다. 각운동량의 정의는 위치벡터와 운동량의 외적이며, 이 때문에 거울상 변환(parity transformation)에 대해 부호가 바뀌지 않는 특징이 있다.[22] 기본행연산을 행할 시 계수(rank)가 3이 아니라 2로 떨어지는 걸 확인할 수 있을 것이다.[23] 이 경우 결과값도 3차원 벡터가 나온다. 서로 다른 n개에서 2개를 뽑는 경우를 생각해보면 n이 3일때만 3가지가 나온다.[24] 플레밍의 왼손법칙에서, F, B, I의 방향이 모두 수직인 걸 알 수 있다. 실제로 [math(\vec F = \int _R I {\rm d}\vec l × \vec B)]로 정의된다.[25] 반대로 뒤쪽 벡터를 90도로 돌리고 계산하는 것은 위에 나온 스칼라곱이다.[26] 삼각형 세 꼭짓점의 위치벡터를 [math(\vec a, \vec b, \vec c)]라 하면 [math(S=\frac 12 \left\| \vec a × \vec b + \vec b × \vec c + \vec c × \vec a \right\|)]가 성립한다. 이 식을 평면좌표 형태로 정리한 것이 신발끈 공식이다. 계산법도 사루스 공식과 비슷하다.[27] 공업수학에서 더 자세하게 배울 가능성이 크다. 다만 공수가 원래 이것저것 다 섞은 것임을 감안하면...[28] 일본 수학은 문이과 공통의 수학Ⅰ, 수학Ⅱ, 수학A, 수학B와, 이과 전용인 수학Ⅲ, 수학C로 나뉘어 있는데 벡터는 수학B에 들어가 있기 때문. 이후 2022년에 수학C로 이전됐다.