최근 수정 시각 : 2025-03-23 05:17:41

연립방정식

선형대수학
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1. 개요2. 연립일차방정식3. 연립이차방정식4. 고등교육과정5. 연립미분방정식6. 연립적분방정식


[math(\displaystyle \begin{cases} \begin{aligned}
\boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{E} &= \frac{\rho}{\varepsilon_0} \\
\boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{B} &= 0 \\
\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{E} &= -\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t} \\
\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{B} &= \mu_0\mathbf{J} + \varepsilon_0\mu_0 \frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t} \\
\end{aligned} \end{cases} )]

대표적인 연립방정식인 맥스웰 방정식.

1. 개요

(연립방정식) / simultaneous equations
(방정식계) / system of equations

방정식계라고도 한다. 방정식 중에서 복수의 방정식이 세트로 묶여 있는 것을 일컫는다.

미지수가 2~3개 정도인 1차 연립방정식 정도는 여러 가지의 초보적인 계산법이 있긴 하지만, 가장 확실하고 보편적인 방법은 행렬을 이용하는 것이다.

미지수의 개수에 따라 n원 연립방정식으로 정의한다.[1] 경제학과 학생들의 주적. (구조 공학도에게도 주적이다)

가장 널리 알려진 연립방정식으로는 맥스웰 방정식이 있다.

1차 연립방정식에 대해 처음 배울 때 실생활에 비유해서 흔히 나오는 설명이 바로 '동물의 마리 수와 다리 수 계산하기'이다. 가령 토끼가 총 a마리가 있고 다리 수를 모두 더하면 b개가 될 때 닭과 토끼는 각각 몇 마리인지 계산하는 것.

2. 연립일차방정식[2]

파일:상세 내용 아이콘.svg   자세한 내용은 연립일차방정식 문서
#!if (문단 == null) == (앵커 == null)
를
#!if 문단 != null & 앵커 == null
의 [[연립일차방정식#s-|]]번 문단을
#!if 문단 == null & 앵커 != null
의 [[연립일차방정식#|]][[연립일차방정식#|]] 부분을
참고하십시오.

3. 연립이차방정식

파일:상세 내용 아이콘.svg   자세한 내용은 연립이차방정식 문서
#!if (문단 == null) == (앵커 == null)
를
#!if 문단 != null & 앵커 == null
의 [[연립이차방정식#s-|]]번 문단을
#!if 문단 == null & 앵커 != null
의 [[연립이차방정식#|]][[연립이차방정식#|]] 부분을
참고하십시오.

4. 고등교육과정


[math(\displaystyle \begin{aligned}
\dfrac x{y+z} +\dfrac y{z+x} +\dfrac z{x+y} = 4 \quad (x, y, z \in \mathbb{N})
\end{aligned} )][3]


한때 인터넷에서 'MIT 졸업생 95%가 못 푸는 수학 문제'라는 이름으로 유행했던 방정식. 이 문제의 가장 작은 해는 각각 79, 80, 81 자릿수이다. 더 자세한 내용은 해당 문서 참고.[4]

고등수학에서는 생각보다 많이 볼 수 있다. 특히 해의 범위가 정수 혹은 유리수제한되는 경우 문제의 난이도가 매우 어려워진다.

3차 이상의 정수해/유리수해를 구하는 경우 보통 타원곡선을 이용한다.

5. 연립미분방정식

[math(\displaystyle \begin{cases} \begin{aligned}
\dfrac{{\rm d}x}{{\rm d}t} &= x(\alpha-\beta y) \\
\dfrac{{\rm d}y}{{\rm d}t} &= - y(\gamma-\delta x)
\end{aligned} \end{cases} )]


뭇 수학자와 물리학 전공자들을 멘탈 붕괴로 이끄는 진 최종보스. 위의 방정식은 두 종류의 생물 간의 관계를 선형화하여 나타낸 로지스틱 방정식의 일종인 로트카-볼테라 방정식.

식 한 개만으로도 푸는 사람을 괴롭게 만드는 미분방정식[5] 이 둘 이상 있다고 보면 되는데, 이것이 얼마나 무시무시하고 끔찍한(...) 상황인 지는 더 이상 말할 필요가 없다. 그나마 위의 식은 상미분방정식이라서 그나마 낫지만, 편미분방정식이 연립방정식으로 묶여 있다면... 더 이상의 자세한 설명은 생략한다..

단, 위에 언급된 로지스틱 방정식과 같이 1차 상미분방정식으로만 이루어진 연립미분방정식은 선형대수학의 이론을 사용하여 행렬을 이렇게 저렇게 만지작거려 일반해를 구할 수 있다. 보통 학부 수준의 선형대수학이나 미분방정식을 공부하면서 이를 배운다. 다만 이를 푸는 방법을 제대로 이해하려면 고윳값(Eigenvalue)이나 '함수벡터로 바라보는' 선형대수학적 개념을 반드시 알아야 하기에 궁금한 분들은 여기서 답을 찾지 말고 본인들의 전공책에서 해법을 찾는 것을 추천한다. 애초에 위의 과목들에서도 이에 대한 내용만 한 단원 전체에 걸쳐 다루기 때문에 여기다 서술하기에는 여백이 남아나지 않을 정도다. 공업수학수리물리학 등에서 넘어야 할 산 중 하나.

[math(\displaystyle \begin{cases} \begin{aligned}
\dfrac{\partial {\bf j}_s}{\partial t} &= \dfrac{n_s e^2}m {\bf E} \\
\boldsymbol{\nabla} \!\times {\bf j}_s &= \dfrac{n_s e^2}{mc} {\bf B}
\end{aligned} \end{cases} )]


편미분으로 이뤄진 연립미분방정식 중 하나인 런던 방정식으로, 초전도체에 관련되어 있다. 익히 잘 알려져 있는 맥스웰 방정식도 편미분 연립미분방정식이다.

참고로 위와 같은 편미분 연립방정식은 전자기학양자역학에서 많이 출현한다. 그래서 전공자들은 매일 죽어나간다...

혼돈의 대표적인 예시로 드는 이중 진자 역시 연립미분방정식의 일종이다. 비선형 미분방정식 두 개만으로도 어디까지 복잡해지는 지를 단적으로 보여준다.

6. 연립적분방정식

[math(\displaystyle \begin{cases} \begin{aligned}
\int_0^\infty w_1(x) J_\mu(xy) \psi(x) {\rm d}x &= f(y) \quad (y \in I_1) \\
\int_0^\infty w_2(x) J_\nu(xy) \psi(x) {\rm d}x &= g(y) \quad (y \in I_2)
\end{aligned} \end{cases} )]

출처

바늘 가는 데 실 간다고, 적분방정식에도 연립방정식이 있다. 이쯤 되면 무섭다...

미적분의 특성상 연립미분방정식은 발산 정리스토크스 정리를 통해 연립적분방정식으로 상호 변환이 가능하다.


[1] 이에 비추어 미지수가 하나인 방정식을 '일원방정식'이라고 한다.[2] 聯立線刑方程式(연립선형방정식)이라고도 부른다. 선형방정식과 일차방정식은 동의어이다.[3] 이 문제는 [math(X = \dfrac{-28(x+y+2z)}{6x+6y-z}, Y = \dfrac{364(x-y)}{6x+6y-z})]로 치환해서 [math(Y^2 = X^3 + 109X^2 + 224X)]의 타원곡선 꼴로 바꿀 수 있다.[4] 여담으로 저 식에서 집합 표기를 [math(\mathbb{N})]에서 [math(\mathbb{Z})]로 바꾸게 되면 훨씬 간단한 수에서도 해가 나온다. 대표적인 해는 [math((x, y, z)=(-1, 11, 4))].[5] 당장 밀레니엄 문제 중 하나인 나비에-스토크스 방정식만 해도 1개짜리 식이다! 다만 편미분방정식이라 식 하나만으로도 매우 어렵긴 하다.