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1. 개요
絶對값 ｜ absolute value쉽게 말하면 부호나 방향을 고려하지 않은 채로 측정한 어떤 값의 크기, 위상수학적으로 말하면 유클리드 거리공간에서의 노름.
'절대치'라고도 불린다. 절대값으로 부르던 시절이 있었으나 사이시옷 규정에 맞게[1] 절댓값으로 부르게 되었다.
기호인 [math(|\cdot|)]는 카를 바이어슈트라스가 도입했다.
2. 대한민국 교육 과정에서
중1 때 정수와 유리수 파트에서 처음 배우며, 중3 때 제곱근과 연관지어서도 또 배우고, 고1로 입학하면 방정식ㆍ부등식 단원에 '절댓값 기호를 포함한 일차방정식 & 이차방정식 & 일차부등식'에도 나온다.함수계의 적들 중 하나이다. 이른바 '가우스 기호'라고 불리는 최대 정수 함수가 2011학년도 대학수학능력시험 이후 사걱세의 영향으로 수능에 출제가 안 되면서, 일반 학생들을 괴롭히는 최고난도의 킬러 문제는 전부 절댓값 기호가 붙는 문제가 출제되고 있다. (예시 : 2024학년도 대학수학능력시험 9월 모의평가 미적분 28번) 절댓값 자체가 아주 난해하다고 보긴 어려우나 어떤 문제의 난해함을 배가시킬 순 있다.
3. 실수의 절댓값
실수의 절댓값은 부호를 제거한 것으로 이해하기 쉬운데, 사실은 실수 집합의 기하학적 사영인 실직선에서 두 점(실수) 사이의 거리를 나타내기 위해 도입되었다. 실제의 거리는 상식적으로 동일한 두 점 사이의 거리만 0이고, 다른 두 점 사이는 양수의 거리만 갖게 된다.[math(|\pm x| = x \, \mathrm{sgn}(x) = |x|\geq 0 )]
실수 [math(x)]에 대해
- [math(x > 0)]이면 [math(x)]는 +가 되므로, [math(|x| = x)]
- 이 성질 때문에 절댓값은 멱등함수(idempotent function)이다.
- [math(x < 0)]이면 [math(x)]는 -가 되므로, 부호를 바꾸어 +로 만들어야 한다. 따라서 [math(|x| = -x)]
- 절댓값을 처음 배울 때에 음수에 -부호를 붙여서 양수로 바꾸는 이유를 이해하지 못할 수 있지만, -부호는 쉽게 말해, 붙이는 것이나 떼는 것이나 -1을 곱하는 같은 대합(involution)[2] 연산이다. -1로 나누어도 -1을 곱한 것과 동일한 연산이기 때문에 [math(\frac {x}{-1})]보다 간단한 [math(-x)]로 표현하는 것이다.
- [math(x＝0)]은 [math(x)]가 원점 자신인 자명한 경우로, [math(|x| = 0)][3]
- 원점을 제외한 모든 점에서 미분가능하다. 정의역 중 미분이 불가능한 점이 있으므로 매끄러운 함수는 아니다.
- 원점을 제외하면 도함수는 부호 함수(Signum function, [math(\mathrm{sgn})])다. 원점에서는 미분계수의 좌우극한이 달라서 정의가 안 된다.
- 분포(Distribution) 이론에서, 이계도함수는 디랙 델타 함수의 두 배이다.[4] 삼계도함수 이후부터는 디랙 델타 함수에 따옴표가 하나씩 추가된다.
- 역도함수는 부호함수가 곱해진 이차함수이다.[5] 이후 적분도 일반적인 다항함수 적분에 부호함수를 붙인 꼴이 된다. [6]
- 해석함수는 아니다. 매클로린 급수가 원점을 중심으로 부호가 반대이기 때문이다.
수능 및 모의고사 출제 유형으로는
- 함수 전체에 절댓값이 있는경우: 예) [math(y=|x^2+5x+6|)] 그래프를 그려서 y<0인 부분은 y=0(x축)에 대칭이동 시킨다.
- 변수가 절댓값인 경우: 예) [math(y=|x|^2+5|x|+6)]에 x를 넣고 x≥0인 부분을 x=0(y축)에 대칭이동 시킨다.
- 각각에 절댓값이 있는 경우 : 예) [math(|x|+2|y|=4)] (마름모) 1사분면 (x,y축의 양의 방향 포함)의 모양을 (x, y)=(0, 0), 즉 원점에 대칭이동 시킨다.
- 절댓값 안이 다른경우: 예) [math(y=|x-5|+|x+5|)] 절댓값 안이 0이 나오는 값(여기선 x=±5)를 경계로 나누어서 푼다. [math(x<-5)] 면 [math(-2x, -5<x≤5)] 면 [math(10, x≥5)] 면 [math(2x)]
함수 자체는 간단한 경우가 많으므로 그래프로도 쉽게 풀 수 있다. 실수가 정의역일 경우 그래프는 V자를 그리는 짝함수의 형태이다.
위의 모양은 y = |x|인데, 2007학년도 수능에서 이걸 평행이동시킨 그래프인 y = |x-1|을 주고 "대칭미분계수"를 물어봤다가 수많은 사상자를 양산한 바 있다. 이렇게 수능 기출에도 종종 등장하는 등 절댓값은 중요하니 챙겨주자. 또 절댓값의 원리는 루트, 제곱에서도 등장하니 잘 알아두는 게 좋다.
4. 복소수의 절댓값(|z|)
이 '원점으로부터의 거리'라는 절댓값의 정의를 이용하여 복소수에도 절댓값을 도입할 수 있다. [math( z = a+bi )] ([math( i )]는 허수단위)꼴의 복소수는 복소평면상의 (a, b)라는 점으로 나타낼 수 있는데, 이 점과 원점 사이의 거리인 [math( \sqrt{ \Re(z)^2 + \Im(z)^2} = \sqrt{ a^2 + b^2} )] 이 복소수의 절댓값이 되는 것이다. 이 값은 [math(\sqrt{z\bar{z}} )]와 같다. [math( \bar{z} )]는 [math( z )]의 켤레복소수(complex conjugate) [math( a-bi )]이다.단, 실수에서와 다르게 복소수에서의 절댓값 함수는 모든 복소수에서 미분가능하지 않다. 이는 [math(\bar{z})]라는 켤레복소수가 [math(z)]에 대해서 미분 가능한 함수가 아니기 때문이다.[7]
유색 복소평면에서는 위 그림처럼 시뻘건 톤의 원형 계조를 그린다. 밝기를 높이로 바꿔 보면, 옆에서 보면 원뿔을 뒤집어 원점 위에 놓은 형태가 된다. 즉, 위 문단의 V자 그래프는 복소평면에서의 그래프의 실수축 방향 절단면이라고 볼 수 있다.
5. 집합의 절댓값(|S|)
집합의 절댓값은 해당 집합에 딸려 있는 원소의 개수를 뜻하며, 기수(cardinality)라고도 한다. 무한집합에서도 성립하며, 이때는 초한기수라고 부른다. 중등교육과정에서는 [math(n(S))]로 표현한다.6. 절댓값의 일반화
일반적으로, 영인자가 없는 자명환이 아닌 가환환 정역 [math(\displaystyle D)]에서 정의되는 절댓값은 다음의 절댓값 공리를 만족시킨다.- 임의의 [math(x ∈ \displaystyle D)]에 대하여 [math(|x| = 0 ⇔ x = 0)][8]
- 임의의 [math(x,y ∈ \displaystyle D)]에 대하여 [math(|xy| = |x||y|)][9]
- 임의의 [math(x,y ∈ \displaystyle D)]에 대하여 [math(|x+y| ≤ |x| + |y|)][10]
참고로 위의 성질들에 더불어 아르키메데스 성질을 만족하는 절댓값을 아르키메데스 절댓값이라고 하는데, 기본적으로 실수에서는 자리수나 숫자가 커질수록 절댓값이 커지는 성질이 있지만, 아르키메데스 성질을 만족하지 않는 비아르키메데스 절댓값이라는것 역시 존재한다. 해당 문서 참조.
7. 행렬식(|A|)과 노름
행렬에 절댓값과 같은 기호를 사용하면 행렬의 절댓값이 아닌 행렬식을 의미한다. 자세한 사항은 행렬식 문서로.행렬식은 절댓값 공리가 적용되는 대상이 아니고, 행렬의 절댓값에 해당하는 것은 노름(||A||)이다. 역시 자세한 사항은 노름공간 문서로.
[1] 헷갈리는 경우가 많은데, '絕對'(한자어) + '값'(고유어)의 합성어이므로 사이시옷 규정에 부합한다.[2] 스스로가 스스로의 역연산이라는 뜻.[3] 분지절단으로 문제를 풀 때는 부등호를 [math(0≤x)]와 [math(0>x)]로 나누는 것이 경우의 수를 줄여준다.[4] [math(\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}|x| = \mathrm{sgn}(x), \dfrac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}x^2}|x| = \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\mathrm{sgn}(x) = 2\delta(x))][5] [math(\displaystyle \int |x| \ \mathrm{d}x = \frac{x^2}{2} \mathrm{sgn} \left( x \right) + C)][6] n번 적분한 함수는 적분 상수를 0으로 두고 계산하면 [math(\dfrac{x^{n}}{(n+1)!}|x|)] 또는 [math(\dfrac{x^{n+1}}{(n+1)!}\mathrm{sgn}(x))] 이 된다.[7] 실수에서 미분이 가능한 것은, 복소축 방향으로의 미분을 고려하지 않아도 되기 때문이다.[8] 절댓값 0인 수는 0 뿐이며, 모든 수 중 0의 절댓값만 0이 될 수 있다.[9] 절댓값은 곱셈적(multiplicative)이다. 곱셈을 해도 보존이 된다는 뜻.[10] 절댓값에 대한 삼각부등식.