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1. 개요
十進法 / decimal, denary[1]10을 기수(基數)로 쓰는 실수의 진법이다. 10개의 숫자를 가지고 수를 표현하며, 열배마다 자릿수가 하나씩 올라간다. 현대의 거의 모든 사람들이 기본적인 일상생활을 하면서 사용하는 진법이다. 예를 들면 100이 5, 10이 6, 1이 3인 수가 563이면 563=5×10²+6×10+3×1로 바꾸는 것이다.[2] 초등학교 1학년 때부터 5학년 때까지 배운 자연수와 소수의 자릿수 분리를 거듭제곱꼴로 나타낸 것이다. 세상엔 수많은 가지각색의 언어가 존재함에도 불구하고 10진법은 고대 이집트 때부터 거의 전 세계 수준으로 통일되었다. 과거 7차 교육과정 때는 중1 수학 교과서에 있었다.
2. 상세
인간의 셈법이 10진법으로 정착된 이유는, 인간의 손가락이 10개이기 때문이다. 더 정확하게는 사람이 수를 셀 때 10개의 손가락 중 몇 개가 펴지고 접혔는지로 세어왔기 때문. 사람이 손가락으로 최대한 펴거나 접을 수 있는 수가 10이므로 자연스럽게 상당수의 단위가 10을 묶음으로 형성되었다. 만약 손가락이 n개였다면 자연스럽게 n진법이 정착되었을 것이다.[3]만약 인류가 몇 번째 손가락이 펴지고 접혔는지에 초점을 두어왔다면 인류는 어쩌면 2진법, 혹은 그것에서 파생하는 진법[4]을 썼을지도 모른다. 손가락마다 자릿수를 매겨서 접고 펴는 것으로 1, 0을 구별하면 양손으로 0~1023 또는 1~1024까지 셀 수 있다. 새끼손가락을 독립적으로 못 굽히는 사람을 감안해도 255까지 셀 수 있으며, 이는 16진수 FF에 해당한다. 이 정도면 확률, 경우의 수와 마찬가지로 기하급수적으로 증가하기 때문에 손가락의 개수가 조금만 많아져도 셀 수 있는 수는 우주의 원자 개수보다도 더 많아진다.
다만 손가락 개수를 세는 것은 10진법이 아닌 2진법이다.[5] 10진법은 비트 하나당 10가지의 상태를 가질 수 있어야 한다. 즉 손가락 하나만으로 [math(0 - 9)]까지 셀 수 있어야 10진법이라고 할 수 있다. 굳이 손가락으로 10진법을 쓰고 싶다면 손가락을 완전히 접은 것을 [math(0)], 손가락을 [math(\frac{1}{9})]만큼만 편 것을 [math(1)], [math(\frac{2}{9})]만큼 편 것은 [math(2 \ldots,)] 완전히 편 것을 [math(9)]로 볼 수 있다. 이 경우에는 [math(0 - 9999999999)]까지 셀 수 있다.
현재 대부분의 단위가 10진법으로 통일되었기 때문에, 다른 진법에서의 사칙연산이 불편하게 느껴지는 것은 어쩔 수 없다. 다시 말하자면 이는 10진법이 습관이 되어서 나온 결과이다. 대표적인 상황이 12진법과 60진법으로 표현되는 시간을 계산하는 경우인데, 진법 개념이 희박한 어린 아이들은 이것에 혼란을 느껴 시간 계산을 틀리는 경우가 매우 많다.
10은 1과 자신을 제외하면 약수가 2와 5밖에 존재하지 않기에, 사용에 있어 은근히 불편한 부분이 많다. 일단 8진법만 해도 2와 4가 약수인데 이건 그래도 4 한정이기는 하지만 소인수분해가 한 번 더 된다. 그리고 여기서 중요한 건 약수의 개수보다는 소인수분해가 가능한 횟수다. 고작 2와 5로만 나눠도 더 이상의 소인수분해가 불가능한 10진법과 비교해 보면 잘 와닿을 것이다. 인간은 기본적으로 10진법의 사고방식을 가지고 있음에도 각종 명칭, 묶음 단위 등에서 8진법, 12진법, 16진법, 60진법 같은 다양한 진법들 또한 같이 사용해 왔는데, 모두 약수가 많아서 나누기가 편리한 진법들이다. 물론 2진법과 8진법은 너무 짧고 60진법은 너무 길어서 세 진법에 비하면 10진법이 적당한 감은 있다. 하지만 12진법과 16진법에 비하면 여전히 불편하다. 그나마 고대 로마시대 때는 12진법 소수점을 쓰는 식으로 이를 보완했다.
하지만 아무리 10진법보다 편리한 진법이 있다고 하더라도 이제 와서 인류가 10진법을 버릴 일은 없을 것이다. 당장 인간의 손가락이 10개이며[6] 이것은 모든 사람들이 원초적인 '십진법 계산기'를 가지고 있다는 의미이므로, 복잡한 수식을 별로 할 일이 없고 물건 사고 파는 수준의 간단한 계산이 필요한 일반인들에겐 계산이 헷갈릴 때 손가락을 활용해서 도움을 받을 수 있다는 절대적 편리함 하나만으로 다른 단점들을 다 씹어먹을 수 있는 사안이다. 다른 진법으로 바꾼다고 한다면 당연히 수많은 사람들이 반발할뿐더러[7], 숫자의 표기부터 언어체계까지 지구상에서 숫자가 관련된 모든 것을 모조리 바꿔야 하기 때문에 천문학적 비용이 들기 때문이다.[8] 프랑스 혁명 때 도량형을 개선하면서 시간만큼은 10진법으로 바꾸지 못했고, 그레고리력이 매년 달력을 새로 찍어야 하는 불규칙성에도 불구하고 세계력이나 국제고정력을 적용하지 못하고, 화성 기후 궤도선이 추락했음에도 미국에서는 미터법을 도입하지 못하고 있는 걸[9][10] 보면, 이들과도 비교를 할 수 없을 정도로 훨씬 더 큰 일인 10진법을 여타 진법으로 바꾸는 일은 인류가 멸망하지 않는 이상 영원히 없을 것이다.
그리고 10진법이 약수가 적어서 불편한 점도 있지만, 다른 진법에 비해 배수 판정법이 간단한 편으로, 20까지의 소수 중에서는 7, 13, 17, 19를 빼면 모두 단순한 배수 판정법이 있다. 자리수의 합을 모두 더하면 3의 배수를 판정할 수 있는 건 (3n+1)진법만의 특징이다. 12진법에서 이렇게 하면 11로 나눈 나머지를 알 수 있긴 하지만 이는 10진법에서도 각 자릿수마다 번갈아서 더하고 빼면 된다. 그나마 6진법이 10진법보다 배수판정은 쉽지만[11] Base의 크기가 애매해서 잘안쓰인다.
10진법이 불편하다는 것은 고차원적인 계산을 할 때인데, 원주민들이 채집한 과일 개수 정도나 셀 때는 직관적으로 손가락을 하나씩 접어가며 셀 수 있는 10진법만큼 편한 게 없다. 어느 문명이든 가장 기본적인 자연수부터 수학이 시작되다 보니 모두 10진법을 쓰고 있었던 것이 괜한 우연이 아니다. 게다가 그렇게 고도화된 문명에서는 복잡한 계산을 할 때 굳이 머리아픈 암산을 하면서까지 주먹구구식으로 계산하는 것이 아니라 계산기나 컴퓨터, 종이를 활용하는 데다 일반인들은 대개 물건을 사고팔 때 라든지 간단한 자연수 정도나 셀 때 암산을 하므로 헷갈릴 때 바로 손가락의 도움을 받을 수 있는 10진법이 더 편리할 수 있다. 즉, 쉬운 계산은 직관적인 손가락을 활용하고, 복잡한 계산은 계산기와 컴퓨터 등 도구를 활용하는 이원화 방식으로 발전하여 10진법의 단점을 상쇄한 것이다. 나누어 떨어지지 않는다는 것도 분수의 도움을 받으면 그만이다.[12]
10진법이 10개의 손가락과 관련이 깊다는 사실에서 알 수 있듯이, 5라는 숫자 역시 한 손에서는 완전한 숫자이기에 10과 함께 깔끔한 기준점으로 여겨진다.[13] 예를 들어 '창립 5주년, 10주년, 15주년, 20주년'은 좀 더 특별하게 상징적인 의미를 부여하며 기념하는 경향이 있다. 영화계에서도 관객 50만 돌파, 100만 돌파는 상징성이 있다. 스포츠에서도 5와 10은 나름의 경지에 다다른 기준점이 되곤 하는데, 야구를 예로 들면 선발투수에게 있어서 10승과 15승이 실력을 평가하는 하나의 잣대이며, 실질적으로는 9승이나 10승이나 별 차이 없지만, 9승에 머무르면 아홉수 징크스라며 뭔가 아쉽고 불완전한 느낌이 강하다.[14] 만화영화에서도 주인공이 대개 삼총사에서 오총사까지인데[15] 아무래도 한 손(다섯손가락)으로 셀 수 있는 범위까지가 관리하기에 좀 더 깔끔한 느낌이 있다.
3. 수학적 특징
십진법에서는 10의 약수가 1, 2, 5, 10이고, 소수(素數)[16]가 2, 5이기 때문에, 이들만을 곱셈으로 조합한 숫자 [math(2^{x}5^{y})] ([math(x,y)]는 자연수)를 분모로한 기약분수는 분모를 [math(10^n)] ([math(n)]은 자연수)꼴로 나타낼 수 있기 때문에 유한소수가 된다. 다시 말해 기약분수꼴일 때 2, 5외의 소인수가 분모에 있으면 그 수는 순환소수. 그리고, 2와 5는 밀접한 관계가 있으며 대략적으로 다음과 같은 성질이 있다.- [math(2^{-n} = 5^{n}10^{-n})] 이다. ([math(\displaystyle a^{-n} = {1 \over a^{n}})])
- [math(5^{-n} = 2^{n}10^{-n})] 이다.
- [math(2^{a} 5^{b})]에서
- [math(a < b)] 이면, 그 값은 [math(5^{b-a} 10^{a})]이다.
예) [math(2^{3} 5^{4} = 5 \cdot 1000 = 5000)] - [math(a = b)] 이면, 그 값은 [math(10^{a})]이다.
예) [math(2^{5} 5^{5} = (2 \cdot 5)^{5} = 100000)] - [math(a > b)] 이면, 그 값은 [math(2^{a-b} 10^{b})]이다.
예) [math(2^{4} 5^{1} = 8 \cdot 10 = 80)]
4. 특정 진법에서만 해당되는 수의 분류
#!if (문단 == null) == (앵커 == null)
를#!if 문단 != null & 앵커 == null
의 [[진법#s-|]]번 문단을#!if 문단 == null & 앵커 != null
{{{#!if 문서명 = 문서명 != null ? 문서명 : calleeTitle
의 [[진법#특정 진법에서만 해당되는 수의 분류|특정 진법에서만 해당되는 수의 분류]] 부분을}}}5. 기타
과거에는 한자 문화권에서는 본래 10진법을 사용하면서도 자릿수마다 十, 百, 千, 萬, 億, 兆 등의 별도의 문자를 사용하는 방식을 썼다. 하지만 이후에 0을 사용하는 아라비아 숫자식의 10진법 표기를 수입하여 〇, 一, 二, 三, 四, 五, 六, 七, 八, 九로, 갖은자로는 零[17], 壹, 貳, 參, 肆, 伍, 陸, 柒, 捌, 玖를 사용했다. 현대에 와서는 한자문화권 전체에서 숫자만큼은 아라비아 숫자를 그대로 사용하게 되어서 지금은 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9로 통일해서 표기하고 있다. 다만 숫자 항목에도 나와 있지만 정작 아라비아 등의 지역에서는 다른 모양의 숫자(동아라비아 숫자)를 쓴다.대한민국에서는 숫자를 기록하거나 말할 때 주로 0, 1, 2는 초반, 3, 4, 5, 6은 중반[18], 7, 8, 9는 후반으로 보는 경우가 있고, 또는 사사오입이 되냐 안되냐에 따라 초반과 후반으로 보는 경우도 있다. 예를 들어 나이를 지칭할 경우 30~32살은 30대 초반, 33~36살은 30대 중반, 37~39살은 30대 후반 식으로 하는 반면, 액수를 셀 경우 120만 원은 백만 원 초반, 150은 백만 원 중반, 180만 원은 백만 원 후반과 같이 지칭하기도 한다.
십간도 10진법이다.
척관법은 임페리얼 단위랑은 다르게 SI 단위처럼 10의 배수로 커지는 단위가 꽤 있다.
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[1] 후자는 고대 로마 은화인 데나리우스와 동원어다.[2] 모든 진법은 그 진법으로 나타냈을 때 10진법이다. 2진법에서는 2가 10으로 표기되므로 '2진법'의 '2'가 '10'이다.[3] 베르나르 베르베르의 소설 개미의 설정을 보면 여기서 개미들은 12진법을 사용하고 있다고 한다. 개미의 각 다리에 발톱 2개가 달려서 2(발톱) × 6(다리 숫자)=12가 되기 때문. 물론 개미의 발톱은 인간이 맨눈으로 보기에는 너무 작다.[4] 2진법을 묶어둔 16진법이 유력하다.[5] 정확히는, 일반적인 2진법은 아니고 10진화 2진법이다.[6] 돌연변이가 나타나서 다른 손가락 개수를 가진 인간이 우위종이 된다면 말이 다르겠지만...[7] 물론 이 문서를 읽고는 시험 삼아 다른 진법을 쓰는 사람은 꽤 있을 것이다. 하지만 얼마 안 가 왜 인류가 10진법을 버리지 않는지 알게 될 것이다.[8] 최소 백경 원 이상. 코로나19로 인한 손실이 5경 원을 넘지 않는다는 것을 생각해 보면 감이 올 것이다. 무엇보다도 원주율 등 무한소수를 바꾸긴 더더욱 어렵다. 설령 인류가 자연수만 다뤄왔다고 해도 이미 진법을 바꾸기가 어려움을 생각해 보면. 이쯤되면 10000년 문제가 코앞이라고 해도 이보다 비용 문제가 더 심하진 않을 것이다. 사실 선거만 해도 엄청난 비용이 든다.[9] 물론 사건 당사자인 NASA는 사건 직전에도 미터법을 도입했다. 그리고 사건 이후 프로젝트 참여업체도 NASA 프로젝트에서는 공식적으로 미터법을 사용하도록 강제하게 된다.[10] 사실 저런 사건이 있다고 도입하기도 힘들다. 미터법이 도입되지 않는 이유는 단순히 일상생활 자체에 스며들었다는 것이다. 미터법이 이미 일상생활에 정착하고 법으로 강제하는 우리나라에서도 근과 평 같은 단위가 완전히 사라지진 않았는데, 미국은 야드 파운드법이 일상생활에 완전히 고착된 상황이고 규모도 더 크기에 도입하기도 훨씬 어려울 수밖에 없다.[11] 모든 자릿수를 더하면 5로, 자릿수마다 더하고 빼면 7로 나눈 나머지를 알 수 있어 1부터 10진법의 10까지 나눈 나머지를 쉽게 알 수 있다.[12] 예를들어 원주율 근사값인 22/7은 10진법이나 12진법이나 분수를 써야만 정확하다.[13] 부커 T라는 프로레슬러가 손가락을 하나씩 펴면서 "파이브 타임!"을 외치는데 다섯 번째에 쫙 편 다섯 손가락을 강조하며 "파이브타임 WCW 챔피언!"이라고 했었는데, 손가락을 다섯 개 다 폈을 때 완전해진 느낌이 있다. 만약 식스타임이었다면 깔끔하게 한손으로 마무리하지 못하고 어정쩡하게 두손을 써야 해서 모양새가 이상해진다. 딱 한손으로 끝나는 5, 아니면 그냥 양손을 다 쓰는 완전체인 10이 깔끔하다.[14] 메이저리그 박찬호가 2002년 시즌 마지막 경기에서 패전을 기록하며 9승으로 마무리하자 국내언론에서는 "끝내 아홉수에서 벗어나지 못했다"고 보도했으며, 1998년에 15승을 찍었을 때는 특급 투수의 요건인 '꿈의 15승'에 도달했다고 보도했다. 사실 박찬호가 1997년에 14승을 거뒀으며 야구에서 선발투수는 잘 던지고도 타선의 지원 부족으로 패하는 등 운도 적지 않게 작용하므로 실질적으로는 14승이든 15승이든 똑같은 성적을 거뒀다고 봐도 무방하지만, 언론에서는 "드디어 15승 투수 반열에 올랐다"며 15승을 컷한 순간 레벨업 된 것처럼 보도했다. 즉, 10승과 15승은 숫자 0과 5라는 심리적인 상징성이 큰 기준점인 것이다. 타자 역시 2할 9푼 9리는 사실상 3할인 셈이지만 딱 1리 차이로 2할 타자란 꼬리표를 떼지 못했기에 못내 아쉬운 타율이며 비록 1리이지만 뒤의 아홉수의 향연인 9푼 9리를 깔끔하게 0으로 만들어야 비로소 완전해진 느낌이 든다.[15] 독수리 5형제가 아닌 6형제는 좀 많아 보일 수 있다. 지구방위대 후뢰시맨도 오총사가 주인공이다. 딱 다섯손가락 이내로 컷한 것이다.[16] 발음은 [\소쑤\]로, 0.1 등의 소수(小數)[소ː수]와는 다르게 발음되지만 똑같이 '소수'라고 쓴다.[17] 이 한자는 꽤 나중에 만들어졌다.[18] 3까지 초반으로 간주해야 한다는 주장이 있으나, 9로부터 3만큼 떨어진 6이 중반으로 분류되는 것이 일반적인 것을 고려할 때 같은 원리로 0으로부터 3만큼 떨어진 3 또한 중반으로 분류하는 것이 합리적이고 일반적이다.