| 수와 연산 Numbers and Operations | |||
| {{{#!wiki style="margin: 0 -10px -5px; min-height: calc(1.5em + 5px)" {{{#!folding [ 펼치기 · 접기 ] {{{#!wiki style="margin: -5px -1px -11px" | <colbgcolor=#765432> 수 체계 | 자연수 (홀수 · 짝수 · 소수 · 합성수) · 정수 · 유리수 (정수가 아닌 유리수) · 실수 (무리수 · 초월수) · 복소수 (허수) · 사원수 | |
| 표현 | 숫자 (아라비아 숫자 · 로마 숫자 · 그리스 숫자) · 기수법(과학적 기수법 · E 표기법 · 커누스 윗화살표 표기법 · 콘웨이 연쇄 화살표 표기법 ·BEAF· 버드 표기법) · 진법 (십진법 · 이진법 · 8진법 · 12진법 · 16진법 · 60진법) · 분수 (분모 · 분자 · 기약분수 · 번분수 · 연분수 · 통분 · 약분) · 소수 {유한소수 · 무한소수 (순환소수 · 비순환소수)} · 환원 불능 · 미지수 · 변수 · 상수 | ||
| 연산 | 사칙연산 (덧셈 · 뺄셈 · 곱셈 구구단 · 나눗셈) · 역수 · 절댓값 · 제곱근 (이중근호) · 거듭제곱 · 로그 (상용로그 · 자연로그 · 이진로그) · 검산 · 연산자 · 교환자 | ||
| 방식 | 암산 · 세로셈법 · 주판 · 산가지 · 네이피어 계산봉 · 계산기 · 계산자 | ||
| 용어 | 이항연산(표기법) · 항등원과 역원 · 교환법칙 · 결합법칙 · 분배법칙 | ||
| 기타 | 수에 관련된 사항 (0과 1 사이의 수 · 음수 · 작은 수 · 큰 수) · 혼합 계산 (48÷2(9+3) · 111+1×2=224 · 2+2×2) · 0으로 나누기(바퀴 이론) · 0의 0제곱 | }}}}}}}}} | |
| 수 체계 Number Systems | ||||||
| {{{#!wiki style="margin:0 -10px -5px; min-height:calc(1.5em + 5px)" {{{#!folding [ 펼치기 · 접기 ] {{{#!wiki style="margin:-5px -1px -11px; word-break: keep-all" | 사원수 [math(\mathbb H)] · 팔원수 [math(\mathbb O)] | |||||
| ↑ 확장 ↑ | ||||||
| 복소수 [math(\mathbb C)] | ||||||
| ↑ 대수적 폐포, 행렬 표현, 순서쌍 구성 등 ↑ | 허수 [math(\mathbb{C} | |||||
| 실수 [math(\mathbb R)] | ||||||
| ↑ 완비화, 데데킨트 절단 등 ↑ | 무리수 [math(\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} = \mathbb I)] | |||||
| 유리수 [math(\mathbb Q)] | ||||||
| ↑ 곱셈의 역원 ↑ | 정수가 아닌 유리수 [math(\mathbb{Q} \setminus \mathbb{Z})] | |||||
| 정수 [math(\mathbb Z)] | ||||||
| ↑ 덧셈의 역원 ↑ | 음의 정수 [math(\mathbb{Z} \setminus \mathbb{N})] | |||||
| 범자연수 [math(\mathbb N_0)] | ||||||
| ↑ 자연수의 집합론적 구성 ↑ | ||||||
| [math(0)] | ||||||
| 소수 [math(\mathbb P)] · 초실수 [math(\mathbb R^{\ast})] · 대수적 수 [math(\mathbb A)](대수적 무리수 [math(\mathbb{A} \cap \mathbb{I})]) · 초월수 [math(\complement {\mathbb A})] · 벡터 공간 [math(\mathbb V)] · 이원수 · 분할복소수 | }}}}}}}}} | |||||
1. 개요
분수 (分數, fraction)는 A를 0이 아닌 수 B로 나눈 몫을 [math(\dfrac AB)](혹은 [math(A/B)])로 표시한 것을 말한다.2. 상세
분자와 분모로 나뉘며, A 쪽을 분자 (分子, numerator), B 쪽을 분모 (分母, denominator)라 부른다.좁은 의미의 분수는 여기서 분자와 분모가 각각 정수인 경우만을 지칭한다. 한국어와 일본어, 중국어 등 한자 문화권에서는 'B로 A를 나눈다'라는 의미를 살려 B분의 A (B分のA(日), B分之A(中))라고 읽지만,[1] 영어를 비롯한 인도유럽어족들의 언어에서는 '[math(a)]가 [math(b)] 위에 있다'라는 형태를 살려 [math(a)] over [math(b)] 혹은 기수-서수(3/10 = 3-10th) 꼴로 읽는다.[2] 그래서 한자문화권의 사람들이 분수를 적을 때에는 분모부터 적으나, 영미권 혹은 유럽권 사람들이 분수를 적을 때에는 분자부터 적는다.
/ 기호를 이용하여 분수를 가로쓰기로 나타낼 때 읽는 순서대로, 이를테면 [math(\dfrac12)]을 '2분의 1'로 읽으므로 [math(2/1)]로 쓰는 경우가 있는데 이는 틀린 용법으로서, 정반대의 의미가 된다.[3] /(슬래시)는 읽는 순서가 반대이며, 예시를 올바르게 나타내면 [math(1/2)]이다. 슬래시는 나눗셈 기호 (÷)와 상호 교환해서 쓸 수 있다.
유리수 이외에 거듭제곱근이 들어간 유리수, 다항식 등등을 분수 꼴로 표현한 것을 분수 표현(fractional expression)이라고 하고, 보통 중등교과 이상에서는 분수라 하면 이 넓은 의미의 분수 표현을 일컫는 경우가 더 많다. 수로서의 정수 분수는 유리수라 부르는 것이 보편적이므로 혼동을 주지는 않는다.
3. 현대대수학의 분수 정의
정역 [math(D)]에 대하여 [math(D\times D=\{\left(a, b\right)| a, b \in D\})]라는 정역의 카테시안 곱으로 두자.이 때, 이 [math(D \times D)]의 부분공간인 [math(S\left(\subset D\times D\right)=\{\left(a, b\right)|a, b \in D, b \neq 0\})]을 생각하자. 이 때, 다음과 같은 동치관계를 주자.
| [math(\forall \left(a, b\right), \left(c, d\right) \in S)]에 대하여 [math(ad=bc\iff\left(a, b\right)\sim\left(c, d\right))] |
이게 동치관계임은 다음을 통해 알 수 있다.
- [math(ab=ba)]이므로 [math(\left(a, b\right)=\left(a, b\right))](반사성)
- [math(ad=bc \iff cb=da)]가 되어 [math(\left(a,b\right)=\left(c, d\right)\iff\left(c, d\right)=\left(a, b\right))](대칭성)
- [math(\left(a, b\right)\sim\left(c, d\right))]이고 [math(\left(c, d\right)\sim\left(r, s\right))]라면 [math(ad=bc)]이며 [math(cs=dr)]이다.
즉 [math(ads=bcs, bcs=bdr)]이 되고, [math(S)]에는 영인자가 없고 곱셈에 대한 교환법칙이 성립하므로 [math(asd=brd)]이기에 소거법칙에 따라 [math(as=br)]이 되어 [math(\left(a, b\right)\sim\left(r, s\right))]가 된다.(추이성)
여기에 아래의 두 연산구조를 둔 체를 분수체(Field of Fractions)라고 하며, 이 때 [math(D=\mathbb{Z})]라면 분수체는 유리수체가 된다.
- 덧셈연산: [math(\left(a, b\right)+\left(c, d\right)=\left(ad+bc, bd\right))]
- 곱셈연산: [math(\left(a ,b\right)\cdot\left(c, d\right)=\left(ac, bd\right))]
또한, 이런 체 [math(S)]는 분수 구조와 완벽하게 동형이며, 따라서 현대대수학에서는 분수와 유리수를 이렇게 정의한다.
이 때, 이 분수체 위에서 기약분수는 [math(\left(a, b\right))]에 대해서 [math(\gcd(a,b)=1)]인 형태로 정의된다.
4. 종류
- 가분수(improper fraction): [math(\dfrac{12}7)], [math(\dfrac 77)]처럼 분자가 분모보다 크거나 같은 것.
- 진분수(proper fraction): [math(\dfrac37)]처럼 분자가 분모보다 작은 것. 정확한 뜻은 가분수 용어의 기원 부분 참조.
- 대분수(mixed fraction): [math(1 \dfrac57)]처럼 가분수를 정수와 진분수의 합으로 표현한 것.
이때, 진분수의 소수 부분이 진분수, 정수 부분이 가분수임을 알려준다. 후술하다시피 중등 이상 과정에서는 잘 안 쓴다. - 번분수(complex fraction): [math(\dfrac{\left(\dfrac35\right)}7)]처럼 분모 혹은 분자에 또 다른 분수가 있는 것.
- 연분수(continued fraction): [math(3 + \cfrac1{2+\cfrac15})]처럼 분모가 정수와 분수의 합으로 연달아 표기되는 것. 각 분수에서 모든 분자가 [math(1)]이면 단순연분수(simple continued fraction) 혹은 정칙 연분수 (regular continued fraction)라고 한다.[4]
- 기약분수(Irreducible fraction): 분자와 분모가 서로소인 분수를 ‘기약 분수’라고 한다.
5. 교과과정에서
초등학교 때는 가분수를 대분수로 바꾸라고 얘기하고, 가분수로 답을 표기할 시 틀리다고 하는 경우도 있지만[5], 중학교부터는 대분수가 거의 푸대접을 받는다. 원주율을 근사 값 [math(3.14)]로 계산하다가 아예 [math(\pi)]로 갈아타는 것과 똑같다. 앞으로 다룰 수들을 대분수 꼴로 적는 것 자체가 번거로울 뿐더러, 정수/정수 꼴이 아닌 실수/실수 꼴을 사용하면서 직관적으로 분자가 분모 보다 큰 지 알 수 없기 때문이다. 더 나아가 복소수가 나오거나 분수 안에 문자가 들어가버리면 크기 판별 자체가 되지 않으므로 대분수 표현 자체가 무의미해진다.게다가 식에서 곱셈의 경우에도 분수 앞에 수를 써서 기입하는 경우가 있는데[6] 이걸 대분수와 헷갈리기 시작하면 답이 없다. 그래서 대분수 사용을 사실상 금기시하며 수능에서도 나오지 않는다. 나왔다 하면 2점 문제라해도 오답자가 속출할 것이다. 미국의 수능격인 SAT 수학 단답형 표기 때도 가분수 표기만을 인정한다고 요강에 명시되어 있다.[7] 이를테면 어떤 문제의 정답이 [math(3 \dfrac12)]이라서 OMR에다 31/2라고 마킹하면 [math(\dfrac{31}2)]로 인식돼서 오답으로 처리된다. 이쯤 되면 가분수를 일일이 대분수 꼴로 바꿔 적는 사람이 아싸로 보이는 지경까지 이르게 된다. 여기에 일상적인 상황에서도 정수가 아닌 수를 표현할 때는 거의 항상 소수로 표현하기 때문에, 대부분의 성인은 야구에서 투수의 투구이닝(e.g. [math(6 \dfrac23)]이닝 (선발투수가 7회 2아웃까지 잡고 교체됐을 때) 무실점)[8] 또는 킹스 크로스역 [math(9 dfrac34)] 승강장 정도가 아닌 이상 대분수 표현을 볼 일이 전혀 없다고 봐도 무방하다. 밀덕이라면, 제2차 세계 대전 시기 독일의 설계도가 대분수로 적혀있어서 가분수에 익숙한 사람에게 혼동을 준다.
초등 교과에서 분수를 진분수 → 대분수 → 가분수 순으로 가르치는 것은 대분수가 먼저 등장한 역사를 따라가는 문화적 목적도 있겠지만 교육적 목적이 더욱 크다. 분수의 도입은 보통 1을 작은 조각으로 나누는 식으로 이루어지는데[9] 이러면 진분수가 자연스럽게 먼저 나오고 그 다음에 대분수를 진분수+자연수 꼴로 생각하는 것이 자연스럽다. 문제는 여기서 가분수 개념으로 넘어가야 하는데, 많은 학생들이 어떻게 분모 개수보다 많은 조각을 생각하는지 이해하기 힘들어한다. 즉 나눗셈에 익숙해진 사람들과는 다르게 초등학생들 입장에서는 가분수를 인식하는 게 제일 어렵다. 가분수, 대분수 전환 노가다를 시키는 이유도 분수의 사칙연산 같은 걸 맞닥뜨리기 전에 어떻게든 학생들을 가분수에 익숙해지게 만들어야 하기 위해서이다. (최근 들어 중학교, 초등학교에서도 수포자가 등장하면서)[10] 이 분수 도입이 초등학생들에게는 자연수가 아닌 수와 처음으로 대면하는 과정이라, 여기서 수포자가 갈린다는 연구 결과도 있다. 한 마디로 초등학생 수학의 최종 보스 내지는 1라운드 보스.
이게 어느 정도냐면 이 시기에 초등학생이 확실하게 개념을 제대로 공부하지 않으면 극단적인 경우로 상식이 없다시피 막 사는 인생으로 전락해 자식농사를 망쳤다는 말이 나올 만큼 굉장히 중요하면서도 어려운 내용이기도 하며,[11] 아예 몇몇 초등학생들과 학원 강사들 사이에선 '갑분싸'스러운 개념이라고 말하고 있다.[12] 이것 때문에 차라리 배우기 쉬운 소수부터 먼저 배우고 그 다음에 분수를 배우는 게 더 좋을 것이라는 의견도 있는데, 문제는 분수를 굳이 먼저 배우는 이유가 공부 못하는 애들을 의도적으로 걸러내기 위한 것이라는 음모론도 있다. #
비록 학년이 올라가면서 대분수의 사용은 봉인되지만, 조금 확대해석을 하자면 소수가 포함된 수를 분석하여 정수 부분과 소수 부분으로 나눈다는 아이디어 자체는 굉장히 요긴하게 쓰일 때가 많다. 지수, 로그[13], 삼각함수 등 초월함수를 다룰 때 특히 많이 사용되는 아이디어이다.
수학 문제에서 답이 정수로 떨어질 것으로 예상하고 답을 계산해보니 분수가 나오면, 왜 정수로 떨어지지 않는가 하면서 자신이 틀린 건가 하고 불안해하는 사람도 더러 있다. 그리고 이런 경우 '쌤~ 분수 나와요~' 이렇게 외치곤 하며, 여기에 선생님은 '분수가 나올 수도 있죠~'라고 화답하곤 한다.[14]
6. 여담
고대 이집트는 분수 계산의 달인들이었다. 특히 분자가 1인 분수인 단위 분수의 합으로 나타내는 것을 일명 '이집트 분수'라고 부르는데,[15] 이 불편하기 짝이 없는 분수를 왜 썼는가 하면, 이 분수는 계산하기엔 불편하지만, 일꾼들에게 봉급을 분배할 때는 매우 편리하기 때문이다.[16]영미 단위계는 기반 진법이 중구난방인 관계로 분수의 사용이 많다. 이는 국제단위계(SI 단위계)가 데이터를 제외하면 철저히 10진법 위주고 주로 소수로 표기하는 것과 대조적이다.
요즘은 머리가 큰 사람을 보고 대두라고 하지만 1990년대까지만 해도 가분수라고 더 많이 표현했다.
2019년 6월 서울시에서 성 차별적인 용어들로 선정되어서 분자는 윗수, 분모는 아랫수로 바꿔 부르는 것으로 장려하여 논란이 되고 있다. 분수의 모양과 모자(母子)의 의미를 고려했을 때 어머니가 아들을 업고 있는 이미지를 연상시킨다는 것.[17]
7. 관련 문서
[1] 한국에서도 주로 법률조문 등에서 분수를 써야 할 일이 있을 때 '3분지 1'식으로 적기도 한다. 다만 현행 법률은 대부분 "3분의 1" 등으로 개정된 상태이다.[2] 영어권에서 한인 학생들끼리 대화할 때는 '분자 (한국어) over 분모 (한국어)'라고 하기도 한다. 예를 들어 [math(\dfrac{12}7)] 같은 경우 '십이 오버 칠'이라고 하기도 한다. 이렇게 말해도 서로 잘 알아 듣는다. 혹은 한국에서도 영어 강의를 많이 들어 영어식 분수 읽기에 익숙해진 이공계 대학생들이 간혹 이렇게 읽는다. 한국어로는 분모 부분을 먼저 읽어야 하는데 무의식적으로 분자 부분을 먼저 읽어서...[3] [math(\dfrac21)][4] 직, 병렬 혼합 등가 저항을 구할 때 많이 나온다. 공학용 계산기를 소지하고 있으면 계산이 무척 편하다.[5] 예외로 구몬에서는 대분수가 아닌 가분수로 쓰라고 지시한다.[6] 덧셈, 뺄셈과는 달리 곱셈, 나눗셈으로 묶인 수들은 한 덩어리로 취급해야 여러모로 다루기 편하기 때문에 따로 특별히 명시해야 할 목적이 없는 이상 [math(\times)], [math(\cdot)] 등의 기호는 종종 생략된다.[7] SAT 수학 단답형 OMR에는 분수도 표기할 수 있다.[8] 그래서 유니코드에는 ⅓, ⅔ 외에도 n회 0아웃을 뜻하는 ↉이 등록되어 있다.[9] 예를 들어 [math(\dfrac23)] 같은 경우는 케이크를 3조각으로 나눈 것 중 2조각, [math(\dfrac58)] 같은 경우는 피자를 8조각으로 나눈 것 중 5조각[10] 일제고사의 폐지와 중학교 1학년 시기의 자유학년제가 원인이라는 의견이 있다. ##[11] 심지어는 분수 계산법은 알지만 정작 왜 그렇게 하는지 모르는 경우도 있고, ## 조금 극단적으로는 분수가 나누기의 또 다른 표현()이라는 걸 전혀 모르다가 중학생이 돼서야 알게 되는 경우도 있다.[12] 그래서인지 몇몇 초등학생들에겐 아예 분수 자체를 발작버튼으로 여기고 있는데 이게 어느 정도냐면 [math(\dfrac 12+\dfrac13)]나 [math(\dfrac 12×\dfrac13)]같은 간단한 분수 사칙연산을 그냥 보여주는 것 만으로도 머리 아파하거나 집기를 내던지는 정도다. 그래서인지 채팅창에서 잼민이들을 도발할 때 분수 사칙연산을 작성해 보여주는 방법도 있다고 알려졌고, 최근 들어 커뮤니티에서 분수를 쓰는 것만으로도 "왜 유식한 척 하느냐", "÷도 있는데 왜 굳이 분수를 써서 복잡하게 만드느냐", 심지어는 "꼰대냐", "근첩이냐", "조선족이냐"라는 골때리는 반발까지 등장했다.[13] 로그를 정수 부분과 소수 부분으로 나누어서 생각하여 나오는 것이 바로 그 유명한 지표와 가수다.[14] 물론 사람 수 같은 걸 계산하는 문제가 나오면 분수 답이 나오는 경우는 사실상 아예 없다.[15] [math(\displaystyle \frac{5}{6})]을 [math(\displaystyle \frac{1}{2})]+[math(\displaystyle \frac{1}{3})]으로 나타내는 식[16] 단, [math(\displaystyle \frac{2}{3})]만큼은 단위분수가 아님에도 사용되었다. [math(\displaystyle \frac{2}{3})]를 예를 들어서 [math(\displaystyle \frac{2}{3}=\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{12})]처럼 단위분수로 쪼개서 표현하는 법이 없는건 아니지만, 사용될 가능성이 많은 다른 단위분수와 중복될 가능성이 있는데다가, [math(\displaystyle \frac{2}{3})]를 별도의 기호로 표기할 수 있다면 많은 면에서 표기적인 편의성이 늘어나기 때문으로 추정된다.[17] 이는 한자의 개념을 제대로 이해하지 못한 결과인데, 분수의 모母는 어머니를 뜻하는 게 아니라 근본(base, main)을 뜻하는 것이며, 자子 또한 하위 개념(sub)을 뜻하는 한자이다. 당연히 수는 생명체가 아니기에 암수 구별이란 개념도 없으며, 이해하기 쉬우라고 아들을 업고 있는 어머니의 뜻을 연상시키도록 만든 단어도 아니다. 같은 뜻을 가진 한자의 용례로 모세포-딸세포, 모집단, 모평균, 모표준편차, 모분산(집단, 평균 등은 생명이 아니기 때문에 어머니란 개념이 없다.), 모국, 모교, 모어(어머니의 나라, 학교, 언어가 아니다.)등이 있다.