순환소수

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1. 개요2. 종류

2.1. 순순환소수2.2. 혼순환소수

3. 분수화

1. 개요

循環小數 / repeating decimal, recurring decimal

소수로 표기 시 일정한 숫자 배열이 계속해서 반복하는 수를 일컫는다. 즉, 무한소수 중 순환되는 단위가 있을 경우 이를 순환소수라 한다. 이 때 소숫점 아래에서 순환, 즉 반복하는 가장 짧은 부분을 '순환마디'라고 한다.

나타낼 때에는 다음과 같이 순환마디의 맨 처음 부분과 맨 마지막 부분 위에 점을 붙여 표시한다.[1]

[math(0.333333 \cdots = 0. \dot 3)]
[math(0.1624624624 \cdots = 0.1 \dot 62 \dot 4)]
[math(0.34343434 \cdots = 0. \dot 3 \dot 4)]

한국에서는 위와 같은 점찍는 방법을 사용[2]하고 있지만, 표기법이 세계적으로 통일된 게 아니라서 나라별로 약간씩 차이가 있다. 다음 방법들도 사용된다.

순환마디 위나 아래에 줄긋기
[math(\dfrac 17 = 0.\overline{142857} = 0.\underline{142857})][3]
순환마디를 괄호로 감싸기
[math(0.(142857))]
순환마디 위에 호를 그리기
[math(\dfrac{67}{55} = 1.2~\:\overset{\normalsize\mathclap\frown}{\phantom{\scriptsize;\!}}\clap{18}~\:)]

참고로 중등교육에서는 순환소수와 유한소수를 별개의 것으로 분리해서 가르치지만, [math(n)]진법까지 고려한 소수 표현의 일반화를 고려하면 유한소수는 순환소수 중 순환마디가 0으로 반복되는 특수한 사례로 보는 게 더 타당하다. 보통은 순환마디가 0인 혼순환소수이지만, 정수라면 순환마디가 0인 순순환소수라고 생각할 수 있다.

반면에 순환마디가 없는 무한소수도 있는데 이를 무리수라고 한다. 물론 무리수라고 소수점의 규칙이 항상 없거나 발견하지 못한 것이라고는 할 수 없다.

2. 종류

기약분수로 나타냈을 때 분모가 [math(2)]와 [math(5)] 이외의 소인수를 갖는다는 공통된 특징이 있다.[4]

2.1. 순순환소수

순환마디가 첫째 자리부터 시작되는 소수를 일컫는다.

[math(0.333\cdots = 0.\dot3)]
[math(0.343434\cdots = 0.\dot3\dot4)]

어떤 순환소수가 순순환소수일 필요충분조건은 그 순환소수를 기약분수로 나타냈을 때 분모가 10과 서로소[5]인 것이다. 증명은 다음과 같다.

[ 증명 펼치기 · 접기 ]: 일반성을 잃지 않고, 순환소수의 정수 부분이 0이라고 가정하자. 즉, 우리가 생각할 순환소수는 [math(0.a_1a_2a_3a_4\cdots)]의 꼴이다.
먼저 순순환소수 [math(0.\dot{a_1}a_2\cdots\dot{a_n})]을 생각하자. 아래의 '분수화' 과정을 통해서 이 순환소수를 분수로 고치면 [math(0.\dot{a_1}a_2\cdots\dot{a_n}=\cfrac{a_1a_2\cdots a_n}{10^n-1})]이 된다. 여기서 [math(a_1a_2\cdots a_n)]은 [math(a_1)]부터 [math(a_n)]까지의 곱이 아니라 각 자릿수가 [math(a_1)]부터 [math(a_n)]인 십진법 꼴의 정수이다. 즉, [math(a_1=3)], [math(a_2=6)], [math(a_3=9)]라면 [math(a_1a_2a_3=369)]와 같이 약속한다. 그러면 위에서 얻은 분수 [math(\cfrac{a_1a_2\cdots a_n}{10^n-1})]을 약분하여 기약분수 [math(\cfrac pq)]로 고쳤다고 하면, [math(q)]는 [math(10^n-1)]의 약수가 된다. [math(10^n-1)]과 10이 서로소임은 명백하므로, [math(q)] 또한 10과 서로소여야 한다.
역으로 어떤 기약분수 [math(\cfrac pq)]에 대하여 [math(q)]가 10과 서로소라고 가정하자. 그러면 오일러 정리에 의하여 [math(10^{\varphi(q)}-1)]은 [math(q)]의 배수이다. 여기서 [math(\varphi)]는 오일러 피 함수이다. 따라서 적당한 정수 [math(r)]을 분자, 분모에 곱하여 [math(\cfrac pq = \cfrac{pr}{10^{\varphi(q)}-1})]이 되도록 할 수 있다. 이 형태의 분수가 순순환소수가 됨은 위에서 이미 보였다.

2.2. 혼순환소수

순환마디가 둘째 이후의 자리부터 시작되는 소수를 일컫는다.

[math(0.1624624624\cdots = 0.1\dot62\dot4)]
[math(\dfrac56 = 0.8333\cdots = 0.8\dot3)]
[math(\dfrac15 = 0.2000\cdots = 0.2\dot0)] - 교과과정에서는 유한소수로 배우지만 엄연히 혼순환소수의 하나다.

3. 분수화

순환소수를 분수로 고치기 위해서 다음과 같은 방법을 쓸 수 있다. 중2 수학 시험에 꼭 나오는 부분이다.

대수적 방법
두 가지 예를 들어서 과정을 설명한다. [math(0. \dot 3)]의 경우

[math(a=0.333333 \cdots)]로 놓으면
[math(10a=3.333333 \cdots)] (ㄱ)
[math(a=0.333333 \cdots)] (ㄴ)
(ㄱ)-(ㄴ)을 하면 [math(9a=3)], [math(\therefore a = \cfrac13)] (약분을 해야 한다) [6]

[math(a=0.142857142857 \cdots)]로 놓으면
[math(1000000a=142857.142857 \cdots)] (ㄱ)
[math(a=0.142857142857 \cdots)] (ㄴ)
(ㄱ)-(ㄴ)을 하면 [math(999999a=142857 \; \therefore a=\displaystyle \frac{142857}{999999} = \displaystyle \frac{1}{7})]

등비급수를 이용한 방법
2015 개정 교육과정 기준 미적분에서 등장한다. 예를 들어 [math(2.32 \dot 4)]는 다음과 같이 유리화한다.

[math(2.32\dot4)]는 [math(2.32 + 0.00\dot4)]로 쓸 수 있다.
[math(0.00 \dot 4 = \cfrac1{100}{\biggl( \cfrac4{10} + \cfrac4{100} + \cfrac4{1000} + \cdots \biggr)} = \cfrac4{100}{\biggl( \cfrac1{10} + \cfrac1{100} + \cfrac1{1000} + \cdots \biggr)} = \cfrac4{100} \displaystyle \sum^\infty_{n=1}{\left( \frac1{10} \right)}^n)]
여기서 [math(\sum)] 이후의 부분이 바로 첫째항과 공비가 동시에 [math(\displaystyle \frac{1}{10})]인 등비급수다.
첫째항이 [math(a)], 공비가 [math(r)]인 등비급수의 합이 수렴할 때 그 값은 [math(\cfrac a{1 - r})]이므로,
[math(\displaystyle \sum^\infty_{n=1} {\left( \frac1{10} \right)}^n = \frac{\dfrac1{10}}{1 - \dfrac1{10}} = \frac19)]
그러므로 [math(2.32\dot4 = 2.32 + 0.00\dot4 = \cfrac{232}{100} + {\biggl( \cfrac4{100} \times \cfrac19 \biggr)} = \cfrac{232}{100} + \cfrac4{900} = \cfrac{2092}{900} = \cfrac{523}{225})]

공식
위에서 소개한 등비급수를 이용한 방법을 공식화한 것이다.
위와 같이 [math(2.32 \dot 4)]를 예로 들면

분모에는 (ㄱ) 순환마디의 글자 수만큼 9를 쓰고(예시로 든 수의 경우 1개), (ㄴ) 순환마디가 아닌 소수점 아래의 글자 수만큼 0을 쓴다(2개).
분자에는 (ㄱ) 유리화하려는 순환소수를 소수점과 윗점을 제외하고 쓴 수(2324)에서 (ㄴ) 순환소수를 소수점과 순환마디를 제외하고 쓴 수(232)를 뺀 수를 적는다.

위의 등비급수를 이용한 풀이 과정을 다음과 같이 변형해서 쓸 수 있다.

[math(\begin{aligned} 2.32 + 0.00\dot4 &= \frac{232}{100} + {\left( \frac4{100} \times \frac{\dfrac1{10}}{1 - \dfrac1{10}} \right)} \\ &= \frac{232}{100} + \frac4{100 \times {\left( 1 - \dfrac1{10} \right)} \times 10} \\ &= \frac{232}{100} + \frac4{100 \times (10 - 1)} \\ &= \frac{232 \times (10 - 1) + 4}{100 \times (10 - 1)} \\ &= \frac{(2320 + 4) - 232}{100 \times 9} \\ &= \frac{2324 - 232}{900} {\left( = \frac{2092}{900} = \frac{523}{225} \right)} \end{aligned})]

여기서 마지막 줄 부분을 위와 같이 알고리즘화한 것이다.}}}

[1] 숫자가 아닌 문자에 점이 찍히면 시간에 대해서 미분한다는 의미가 될 수 있지만 이런 표기법은 동역학과 거시경제학 외의 영역에서는 별로 사용되지 않으므로 그닥 신경쓰지는 않아도 된다.[2] 초중고 시험에서도 이 방법으로 표기해야 한다.[3] 이걸 'bar'라고 하며 윗줄의 경우 'vinculum'이라고도 한다.[4] 당연하지만 이는 십진법을 기반으로 하기 때문에 나타나는 특징이다. 이를테면 주판 등에서 쓰이는 5진법에서의 순환소수는 분모가 5를 소인수로 갖지 않으면 모조리 순환소수이고 이진법 역시 분모가 2를 소인수로 갖지 않으면 모조리 순환소수가 된다.[5] 즉, 분모의 소인수에 2와 5가 있으면 안 된다.[6] 같은 방식으로 [math(0.\dot9)]를 유리화 하면 [math(9a=9)], [math(\therefore a=1)] 이므로 [math(0.dot9=1)]이다.

순환소수

1. 개요

2. 종류

2.1. 순순환소수

2.2. 혼순환소수

3. 분수화

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