연산

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1. 개요2. 단항연산3. 이항연산4. 항등원과 역원5. 교환법칙과 결합법칙6. 닫혀 있다

1. 개요

연산(演算, operation)은 수학에서 하나 이상의 피연산자를 연산자의 정의에 따라 계산하여 하나의 결과값을 도출해 내는 과정을 말한다. 피연산자가 1개일 경우 단항연산, 2개일 경우 이항연산, n개일 경우 n항연산이라고 한다. 단항연산은 함수에 대응되는 개념이며 n항연산은 n개의 정의역으로 1개의 치역을 도출하는 사상에 대응되는 개념이라고 할 수 있다. [math(A_1\times A_2\times{\cdots}\times A_n\rightarrow B)]

예를 들면 [math(1+2=3)]에서 [math(1)]과 [math(2)]가 피연산자, [math(+)]가 연산자, [math(3)]이 결과값이라고 할 수 있다.

가장 유명한 연산으로 사칙연산을 꼽을 수 있다.

2. 단항연산

피연산자가 하나인 연산. 부호 반전이나 역수, 절대값 기호 [math(\left| \cdot \right|)][1]나 최대 정수 함수 [math(\lfloor \cdot \rfloor)][2], 최소 정수 함수 [math(\lceil \cdot \rceil)], 그리고 여집합 연산 [math(\complement A)][3] 등이 있다. 복소수에서는 켤레복소수([math(\overline z)])와 실수부와 허수부를 추출하는 [math(\Re(z), \Im(z))][4]가 있다.
지수는 형태상으로 단항연산으로 착각하기 쉽지만 이항연산이다. 밑과 지수 두 피연산자를 받는다.

3. 이항연산

사칙연산을 비롯하여 거듭제곱(및 거듭제곱근), 테트레이션(tetration)[5] 등이 있다.

정말 특이한 연산[6]을 빼고는 삼항연산부터는 정의할 의미가 없는 게, [math(A+B+C)] 같은 연산은 일단 [math(A+B)]를 구한 뒤 거기다가 [math(+C)]를 하면 되기 때문에 결국엔 이항연산으로 환원된다.

4. 항등원과 역원

자세한 내용은 항등원과 역원 문서

#!if (문단 == null) == (앵커 == null)
를

#!if 문단 != null & 앵커 == null
의 [[항등원과 역원#s-|]]번 문단을

#!if 문단 == null & 앵커 != null
의 [[항등원과 역원#|]] 부분을

참고하십시오.
연산 [math(◎)]에 대해 [math(a\mathbin◎e=e\mathbin◎a=a)]가 성립할 때, [math(e)]를 [math(◎)]의 항등원이라고 한다. 덧셈의 항등원은 [math(0)], 곱셈의 항등원은 [math(1)]이다. 사칙연산이 아닌 연산자에 대해서도 항등원이라는 개념을 적용할 수 있는데, 컨볼루션([math(\ast)])의 항등원은 디랙 델타 함수 [math(\delta (t))]가 될 수 있겠다.

연산 [math(◎)]과 [math(◎)]의 항등원 [math(e)]에 대해 [math(a\mathbin◎x=x\mathbin◎a=e)]가 성립할 때, [math(x)]를 [math(◎)]에 대한 [math(a)]의 역원이라고 한다. 덧셈에 대한 [math(a)]의 역원은 [math(-a)], 곱셈에 대한 [math(a)]([math(a\ne0)])의 역원은 [math(a^{-1})]이다.

또한, 항등원과 역원의 개수는 달라질수 있는데 대표적으로 미분연산자가 있으며, 피연산자에 따라 달라질수도 있다.

5. 교환법칙과 결합법칙

연산 [math(◎)]에 대해 [math(a\mathbin◎b=b\mathbin◎a)]가 성립할 때, [math(◎)]는 교환법칙을 만족시킨다고 한다. 또한 연산 [math(◎)]에 대해 [math((a\mathbin◎b)\mathbin◎c=a\mathbin◎(b\mathbin◎c))]가 성립할 때, [math(◎)]는 결합법칙을 만족시킨다고 한다. 덧셈과 곱셈은 복소수 범위에서 교환법칙과 결합법칙이 성립하나, 뺄셈과 나눗셈은 그렇지 않다.

6. 닫혀 있다

연산 [math(◎)]이 정의된 집합 [math(A)]의 부분집합 [math(B)]의 임의의 원소 [math(a)]와 [math(b)]에 대해, [math(a\mathbin◎b)] 역시 [math(B)]에 속할 때, [math(◎)]는 [math(B)]에 대해 닫혀 있다고 표현한다.

[1] 절대값 기호 속에 들어가는 수, 행렬, 벡터 등등을 정의에 따라 실수로 변환해 주는 연산. 이것을 일반화한 개념이 노름이다.[2] 안에 들어간 실수의 소수점 이하 부분을 제거하여 정수로 만드는 연산.[3] 중등교육과정에서는 [math(A^c)]가 친숙할 것이다.[4] 고등학교/대학교 학부 수준에는 [math(\mathrm{Re}(z), \mathrm{Im}(z))] 형태로 배우는데 [math(\Re(z), \Im(z))]가 비교적 낯선 형태이기 때문이다. ~~왠지 외계문자 같은 느낌도 있다.~~ 참고로 [math(\Im)]는 허수부(Imaginary part)의 앞글자를 딴 I이다.[5] [math(x^x)]를 [math(x\uparrow\uparrow2)], [math(x^{x\uparrow\uparrow2})]를 [math(x\uparrow\uparrow3)]과 같은 식으로 정의하는 연산. 지수로는 나타낼 수 없는 매우 큰 수를 나타날 때 쓰인다.[6] 행렬이나 델 연산, 적분 등

연산