수학

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¹ 대부분의 국가에서는 유사과학의 일종인 대체의학으로 분류하나, 한국, 중국, 북한, 대만 4개국에는 독립된 한의학부가 존재하여 의학사에 준하는 학위를 부여한다. ² 인문과학과 사회과학에 걸쳐져 있다. ³ 인문과학과 비과학에 걸쳐져 있다. 독일에서는 과학으로 분류한다. 최근에는 사회과학적 연구도 계속되고 있다.		}}}}}}}}}

형식과학의 일반적 분류
논리학 Logic	수학 Mathematics	통계학 Statistics	시스템 과학 System Science	이론 컴퓨터 과학 Computer Science

1. 개요2. 특징3. 명칭4. 역사5. 분야

5.1. 순수수학

5.1.1. 수리 논리학5.1.2. 대수학

5.2. 응용수학

5.2.1. 이론 컴퓨터 과학5.2.2. 수리통계학5.2.3. 응용확률론5.2.4. 암호학5.2.5. 제어이론5.2.6. 최적화 이론

6. 다른 학문과의 관계7. 대학 교과 과정

7.1. 대학·대학원에서의 수학7.2. 학부 과목7.3. 대학원 과목

8. 관련 문서

8.1. 수학회8.2. 수험 과목으로서의 수학8.3. 미분류8.4. 둘러보기 틀

8.4.1. 수 관련 틀8.4.2. 함수 관련 틀8.4.3. 도형 관련 틀8.4.4. 차원 관련 틀

9. 관련 내용

9.1. 수학자9.2. 수학 분야의 상9.3. 관련 어록9.4. 관련 캐릭터9.5. 수포자

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1. 개요

수학(數學, mathematics[1])은 수, 양, 공간의 구조와 성질, 변화, 논리 등을 연구하는 학문으로 수리논리학, 대수학, 위상수학, 해석학, 기하학, 정수론, 이산수학 및 이를 응용하는 여러 학문을 통틀어 이른다.

2. 특징

과학이라 불리는 학문들이 현실의 대상을 관찰한 결과를 이론으로 집대성하는 경험론적(a posteriori) 학문이라면, 수학은 오직 인간의 논리적 사고에서 출발하여 세계관을 확장시켜 나가는 선험론적(a priori) 학문이다. 이는 수학과 과학의 차이를 이해하기 위해 꼭 먼저 인정해야 하는 점이다. 인간의 감각적 오류에 흔들리지 않는다는 수학의 특징은 피타고라스나 데카르트 같은 철학자들의 사상에도 영향을 주었다.

수학의 발전에 힘입어 인간이 경험하고 생각하는 모든 것이 논리적으로 정리될 수 있게 되었으며, 자연과 사회 현상에 대한 복잡하고 정밀한 연구를 가능하게 하여 인류 문명의 체계적인 발전을 촉진하였다. 특히 데카르트의 좌표평면 도입과 뉴턴의 미적분학 발명은 이후 과학혁명이라 불리는 과학과 기술의 폭발적인 발전을 가능하게 만들었다. 현대 과학자들은 수학을 물리학·화학·생물학·경제학·공학·의학 등 모든 학문을 대상으로 하는, 과학을 풀어나가기 위한 핵심적인 도구로 사용한다. 예를 들어 물질을 관찰하고 분석한다면 그 물질의 크기나 밀도나 갖고 있는 에너지 등을 측정한 뒤 그 정도를 오차 없이 기록하는 방법이 필요한데, 그 측정과 기록에 있어 수식보다 좋은 수단은 없다. 그러므로 수학이 없었다면 지금과 같은 인류 문명도 존재하지 않았을 것이다. 수학은 이런 면에서 이공계와 경제학 등 인류가 연구하고 향유하는 모든 과학에서 사용하는 도구이자 언어라고 볼 수 있다.

중등교육에서 수학은 다른 과목과는 배우는 과정에서 큰 차이가 존재한다. 다른 과목은 초등학교 및 중학교에서 실력이 부족했어도 고등학교 때 공부를 통해 어느 정도 극복이 가능한 반면 수학은 초등학교 산수를 못하면 절대로 못 하는 과목이며 조금만 부족해도 다음 단계로 넘어갈 수 없다.[2] 한마디로 단계도 많고 그 많은 단계를 단 하나도 빠짐없이 전부 마스터 해야 상위 단계로 넘어갈 수 있는 과목이 수학이며 정확히 말하면 다른 과목에 비해 단계가 워낙 많다보니, 학습 초반에 재정의를 해주는 다른 과목과 달리 배울 때마다 전에 배웠던 것을 다시 설명해줄 겨를이 없는 것이다. 그렇기 때문에 여타의 과목에 비해 학업 난이도가 상당히 높은 편이다. 전 과정이 기억이 안 나면 이전 과정의 책들을 다시 펼치는 수밖에 없다. 본인 실력보다 한참 뒤의 수학문제를 보면 뭔가 고대 문자나 암호문, 외계어가 생각날 수도 있다.[3]

다만, 수학과 학부생들이 배우는 전공수학을 학습하다보면 이러한 주장이 대학교 이상의 수학과 전공과정에서는 일관적으로 들어맞지 않는다는 것을 알 수 있다. 수학과 학부과정에는 집합론, 해석학과 선형대수학 정도를 제외하면 다른 과목을 아직 몰라도 공부할 수 있는 ~~또는 해야 하는~~ 과목도 많으며, 대학원 과정에서도 개별 연구주제를 들이파야 하기에 연구에 필요한 과목을 그때그때 '필요한 만큼만' 공부하는 수밖에 없다. 오히려 모든 것을 다 마스터하려고 애쓰다가는 평점 망치고 졸업도 못할거라는 우려를 사기 십상이다. 예를 들어 필즈 메달리스트 허준이 박사는 서울대 학부생 시절 물리학도로서 F로 점철된 걸레짝 성적표를 뒤로 하고 백지상태에서 새출발하기 위해 수리과학부의 한 수업을 들었다가 수학에 매료되어 물리를 그만두고 수학으로 진로를 틀었는데, 그 과목은 바로 수학과생들에게 최종보스로 꼽히는 위상수학이었다. 이런 현상은, '총론(일반성)'을 먼저 공부하고 '각론(특수성)'을 다듬는 다른 학문과 달리 '특수성'에서 '일반성'을 향해 나아가는 수학 특유의 확장적 사고방식 때문이다.[4] 즉, 수학에서 선수과목의 완벽한 학습은 '효율적이고 효과적인 교육'을 위한 것일 뿐 자기주도적 공부와 연구에 있어서까지 무조건적으로 필수불가결하다고는 할 수 없다. 괜히 수학과 교수들이 학생들에게 "여러분이 이전까지 배운 수학은 아무짝에도 쓸모없다"고 경고하겠는가?[5] 종합하면, 수학의 학습을 위해 필요한 것은 앞선 진도를 빠짐없이 학습함으로써 쌓은 이전에 습득한 선행 지식보다는 수학에서 요구되는 사고방식의 높은 숙련도(일명 mathematical maturity)라 할 수 있겠다.

수학은 교육과정에서는 물론 인문학, 자연과학, 사회과학 등 다른 분야에서 바라보는 시선에서도 전형적인 이공계 학문으로 여겨지지만, 일부 수학자들은 수학은 다른 과학 분야들과는 달리 인문학에 가까운 학문이라고 주장하기도 한다. 무슨 말이냐면, 현실세계(의 모델링)는 수학적 대상으로서는 극히 예외적인 특수사례에 불과하며, 진정 수학적으로 유의미하고 흥미로운 연구는 오직 인간의 머릿속에서 만들어진 연역적, 추상적, 논리적 사고를 통해 이뤄진다는 것이다. 조합대수기하학 연구자 허준이 박사, 복소기하학 연구자 황준묵 박사 같은 순수수학자들이 특히 이런 주장을 강조하는 편인데, 이에 대해서도 '현실과 유리된 수학은 쓸데없는 설정놀음에 불과하다'는 지적도 종종 나오곤 한다. 이러한 주장에 대해서도 다비드 힐베르트, 니콜라 부르바키의 유산을 계승하는 서구권 수학계에서는 전자의 의견으로 기우는 반면 서구권과 오랫동안 단절되어 독자적으로 발전해온 소련 등 동구권 수학계는 후자의 의견에 동의하는 편이다.[6]

수학은 모든 이공계 학문의 기본기로 간주되어 세계 어느 나라에서건 국어(자국공용어), 만국공용어와 함께 연령불문 공교육에서 절대 빠지지 않는 분야이며, 날이 갈수록 중요성이 높게 평가받는 학문이기도 하다. 그러나 수학의 중요성이 높이 평가받음에도 불구하고 수학 및 수학교육 분야에의 재정적 지원은 악화일로에 있어 시민들의 수학 역량이 낮아지고 수포자만 늘어가고 있어 수학계 및 이공계 전반에서 큰 우려를 사고 있다.
단, 모든 학문에서 학부,대학원 수준의 수학이 골고루 쓸일 거라 생각하면 오산이다. 일부 학문은 수학을 거의 안 쓰기도 한다.

3. 명칭

한자어 數學(수학)의 직역 탓에 막연히 '수학'이라고 하면 숫자나 계산만 다루는 학문(산수)이라고 오해하기 십상이지만[7], 가장 근접한 정의는 수를 바탕으로 하는 논리 체계를 연구하는 학문이다.[8]

고전 그리스어 μαθηματικός(mathematikos)에 기반한 영어 단어 mathematics는 아예 ‘배움의 기술’로 직역된다. 이처럼 서양과 동양이 이 학문을 바라보는 관점은 서로 상당한 차이를 보인다는 것을 알 수 있다.[9]

이 때문에 '수학을 어떻게 정의내리는지' 연구가 이루어졌으나 대부분의 시도가 실패하였다. 실제로 1990년대에 접어들면서 학문의 명칭을 물리학(物理學)처럼 수리학(數理學)으로 바꾸려는 움직임을 보였으나, 기존에 쓰던 동음이의어 [예]가 있기에 결과는 미미했다. 일각에서는 '생물'에서 '생명과학'으로 바꾼 경우처럼 초중등교육 과정에서부터 대대적인 개편 과정을 거듭해야 정착을 기대할 수 있을 것이라고 지적한다.

4. 역사

자세한 내용은 수학/역사 문서 참고하십시오.

5. 분야

다음과 같은 단체에서 수학을 체계화하고 있다.

MSC(Mathematics Subject Classification)
알파벳과 숫자를 혼용해서 Mathematical Reviews와 Zentralblatt MATH, 2개의 수학 데이터베이스에서 사용되는 분류체계다. 많은 학술지에서 사용되는 분류체계다. 자세한 사항은 MSC2010 참조.
듀이십진분류법의 510 항목
미국 의회도서관 분류법의 QA항목
한국십진분류법의 410 항목

5.1. 순수수학

5.1.1. 수리 논리학

자세한 내용은 수리 논리학 문서 참고하십시오.
논리를 수학적 대상으로 연결시켜 수학적 방법론으로 연구하며 그 하위이론인 집합론, 모형 이론, 범주론, 계산이론(혹은 재귀이론), 증명이론, 구성주의 수학 등을 포함한다. 현대 논리학의 정수라고 할 수 있고, 현대 논리학 그 자체라고도 할 수 있다. 논리학은 철학의 한 분과에 속하는데, 논리학에서는 이 학문을 기호 논리학이라고 부른다. 즉 사실상 같은 학문을 두고 철학에서는 기호 논리학, 수학에서는 수리 논리학이라고 하는 것이다. 수리 논리학은 수학의 한 분야로 언급은 되지만, 사실상 ZFC 집합론과 범주론 정도의 시스템 안에서 대부분이 이루어지는 수학에 비해 오만 가지 형식적 시스템이 등장하고 수학을 이루는 형식적 시스템은 물론 형식적 시스템 일반을 대상으로 삼아 연구하는 터라 실제 타 수학과의 직접적인 연관은 의외로 적은 편이다. 오히려 메타수학 쪽에 가까운 학문으로 철학, 컴퓨터과학, 언어학 등 타 분야와 관련을 더 깊이 갖고 연구하는 경우가 많다.[11] 일반적인 수학과 공유하는 부분은 수리논리 쪽에서 특정 수학분야 자체를 대상으로 삼아 전개해나가는 경우, 예를 들면 호모토피 논리 등의 경우가 아니라면 형식논리, 집합론, 범주론 기초정도 약간에 역사적인 관점에서의 수학기초론 정도가 전부이다. 상대적으로 타 수학 분야 와의 관련성이 적으며 이쪽 분야 자체도 매우 크고 넓기 때문에 이쪽 관련 전공을 택할 경우 최대한 빠르게 시작하는 것이 좋다. 다만 한국 대학에서는 이 분야의 전공 교수진이 거의 없기 때문에[12] 맛보기 정도의 커리큘럼만 제공되는 것이 전부다. 따라서 집합론이나 수리논리학을 전공하고 싶다면 해외로 유학을 가거나 전공을 포기하는 수밖에 없다.

5.1.2. 대수학

자세한 내용은 대수학 문서 참고하십시오.

5.1.2.1. 정수론

자세한 내용은 정수론 문서 참고하십시오.

5.1.3. 기하학

자세한 내용은 기하학 문서 참고하십시오.
공간을 다루는 수학 분야다.

우리가 중고등학생 때 배우는 기하학이랑은 차원이 다르다. 당장 학부생들은 보통의 2~3차원 유클리드 공간에 존재하는 곡선, 곡면 등의 기하학적 오브젝트[13]를 익히고 차근차근 고차원으로 확장시켜 배우는데, 이게 차원이 조금만 더 높아지면 시각화가 불가능한 추상적 공간과 수식, 논리식밖에 안 나온다. 예를 들어, 2~3차원에서의 surface를 임의의 차원으로 확장시킨 것을 manifold(다양체)라고 하는데, 여기까지 오면 이게 대체 왜 기하학에 속하는지도 이해하기 힘들 것이다. 사실 이는 그림으로 표현이 불가능해졌을 뿐, 공간의 기하학적 구조를 다룬다는 사실 자체는 같기 때문에 기하학의 한 개체임이 분명하다.[14] 기하학은 일반적으로 해석기하학과 대수기하학으로 나뉘는데, 현대수학에서 해석기하학은 유클리드 공간에서의 좌표평면 숫자놀음을 넘어 비유클리드 기하학까지 아우르는 미분기하학으로 진화했다. 미분기하학은 미분이라는 구조를 가지고 curve와 surface, 나아가서는 manifold와 vector bundle을 위시한 기하학적 개체를 다루는 학문이다. 한편 대수기하학의 경우 현대수학의 각 분야 전반과 매우 깊은 연관을 맺고 있다. 심지어 수학기초론에까지 영향을 끼칠 정도로 비전공자들이 막연히 기하학 하면 떠올리는 것 이상으로 중요한 위치를 점하여 기하학의 새로운 패러다임으로 자리잡았다.

5.1.3.1. 위상수학

자세한 내용은 위상수학 문서 참고하십시오.
위상수학은 위상공간에 관해 연구하는 학문이다. 어떤 집합의 부분집합을 모아놓은 집합족이 1) 공집합과 전체집합이 집합족에 속하고 2) 임의의 원소집합의 합집합이 집합족에 속하고 3)원소집합 유한개의 교집합이 집합족에 속한다는 세 조건을 모두 만족할 때 해당 집합족을 '위상'으로 정의하는데, 이는 쉽게 말하면 어떤 집합이 '열린 집합'인지 정해놓은 것이다. 그런 위상이 정의된 집합을 위상공간이라고 한다. 물론 아무렇게나 열린 집합을 정하면 위상이 되는 것은 아니고 특정한 조건을 만족해야 하는데, 그 조건이란 게 만족시키기 어려운 것은 아니라서 사실상 수학에서 사용되는 거의 모든 것에 대해서 정의가 가능하다고 할 수 있을 정도이다. 가령 프로그래밍 언어에도 위상을 정의하여 위상공간으로 만들 수 있고, 논리체계에도 위상을 정의하여 위상공간으로 만드는 게 가능하다. 그러나 그 개집합을 어떤 집합 위에서 어떻게 정의하느냐에 따라 비전공자들이 막연히 가졌던 고정관념이 맥없이 무너져버린다는 점[* 흔히 말하는 '실직선상의 (a, b)꼴 개구간'에만 지나치게 얽매이는 사고방식은 위상수학에서는 고정관념에 불과하다. 개집합은 (a, b)가 아닌 [a, b) 같은 희한한 모양으로 정의하더라도 위상의 세 조건을 만족한다면 무모순히 잘 정의된다. 학부 저학년 수학도들이 해석학개론 시간에 배우는 유계 폐집합과 컴팩트집합의 동치성조차도 실수가 좋은 성질을 갖췄기 때문에 실수집합 상에서 '운 좋게' 동치일 뿐, 전혀 다른 집합에서 전혀 다른 성질의 위상을 정의한다면 이 관계는 보장되지 않는다.], 그로 인해 수학 과목 중 가장 고차원적인 상상력을 동원해야 한다는 점 때문에 이른바 또모르지라는 별명에서 보듯 비전공자들에겐 난해하기 짝이 없는 분야로 지목된다.

위상수학의 분야로는 크게 일반위상수학, 대수적위상수학, 미분위상수학의 세 분야가 있다. 일반위상수학은 말 그대로 일반적인 공간의 성질들, 예를 들어 컴팩트, 분리공리 등을 다루고, 대수적위상수학은 호모토피라든지 이의 기본군, 그리고 피복공간이나 공간의 축약 등에 대해 다룬다. 마지막으로 미분위상수학은 미분기하학에서 다루었던 여러 대상들, 텐서, 접공간 등이 등장하고 또한 미분다양체 위에서의 여러 가지 성질이나 미분형식 등을 특히 주로 다룬다.

위상수학에 관해 정성적으로 말하자면 보통의 기하학이 거리공간을 사용하여 '거리'도 어느 정도 중시한다면 위상공간은 '경계'를 중시하는 경향이 있다. 즉 위상수학에서는 '닿았는가 닿지 않았는가'만 중요시하고, 닿지 않았을 경우 '얼마나 떨어져있는가'는 보통 거리공간을 사용하는 기하학의 영역이다. 이는 상기했듯 위상수학은 기하학과 달리 공간의 본질에 대해 주로 다루기 때문이다. 물론 초반부 이야기고 어차피 나중에는 알아볼 수 없게 뒤섞인다. 이는 공간의 표면과 본질은 완전히 분리될 수 없음을 의미한다.

매듭이론

자세한 내용은 매듭이론 문서 참고하십시오.

매듭을 수학적으로 다루는 위상수학의 하위 분야.

5.1.4. 해석학

자세한 내용은 해석학(수학) 문서 참고하십시오.
변화(함수)와 무한(무한대, 무한소)에 대한 학문이다.

다르게 표현하자면, 여러 함수를 탐구함과 함께 이를 통해 다른 분야로의 응용을 추구하는 학문이라 할 수 있다. 물론 해석학 내의 개념에서는 다른 학문에서 출발한 것도 많이 있다. 예를 들면 유클리드 공리계에서는 점은 길이가 없는 선이라고 정의되어 있는데 후대 수학자들이 길이가 0인 점을 무한히 더하면 길이가 0보다 큰 선이 되는 것에 관심을 가진 것이 측도이론이 탄생한 배경이다. 물론 우리는 이제 그 질문의 답을 알고있다. (점들의)유한집합과 셀 수 있는 무한집합은 측도가 0이고 측도가 0보다 큰 집합은 셀 수 없는 무한집합이다.[15] 이 예로 유리수집합은 측도가 0이나 실수집합은 측도가 0보다 크다. 또한 타 분야에서 시작된 개념들이 해석학에서 발전된 것으로는 함수 해석학이 있는데, 함수 하나하나를 벡터로 본다는 시각은 선형대수학이 없었다면 나올 수 없었을 것이다.

5.1.4.1. 미적분학

자세한 내용은 미적분학 문서 참고하십시오.

미적분학 - 고교에서 배웠던 미적분 이후로 상미분방정식, 편미분 등 다양한 미적분을 다룬다.
미분방정식 - 말 그대로 미분방정식과 그 해법에 대해 연구하는 학문이다. 크게 상미분방정식과 편미분방정식으로 나누어지며, 수학의 여러 분야뿐 아니라 타 학문에도 매우 응용이 많이 되는 분야다. 특히 물리학의 경우에는 미분방정식이 없으면 성립조차 안 될 학문이라고 할 수 있다. 애초에 뉴턴의 운동 제2법칙부터가 미분방정식이다. 또한 미분방정식의 등장으로 출현할 수 있었던 대표적인 수학 분야로 푸앵카레가 창시한 동역학계를 들 수 있는데, 이름을 보면 물리학의 특정 분야라고 생각할 수 있으나 경제학, 생물학 등에서도 많은 분야에서 응용되는 분야다.

5.1.5. 이산수학

자세한 내용은 이산수학 문서 참고하십시오.

5.2. 응용수학

여기에 나오지 않더라도 @@수학, 수리@@학, 계량@@학 등의 이름으로 여러가지 수학이 존재한다.

게임 이론

5.2.1. 이론 컴퓨터 과학

'''이론 컴퓨터 과학 {{{#!wiki style="display: inline-block; font-family:Times New Roman, serif;font-style:italic"'''
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이론 컴퓨터 과학(영어: theoretical computer science) 또는 이론 전산학은 컴퓨터과학과 수학의 한 분야로, 컴퓨터나 계산 과정의 추상적이고 근본적인 원리를 연구하는 학문이다.

5.2.2. 수리통계학

일반적인 인식으로는 통계는 수학에서 가장 쓸모 있고 실용적인 것이라고 하지만, 통계를 배운 사람들은 알겠지만(어느 쪽에 중점을 두는 학교에서 배웠느냐가 문제가 되겠지만) 수학이 포함되지 않는 부분들이 많다. 통계 중에서도 수학과 관련된 부분은 수리통계학(Mathematical statistics)라 하여 통계학과 수학의 공통된 학문으로 구분한다.[16] 통계학은 귀납적인 부분이 매우 많은 학문으로, 연역논증의 대표주자인 수학과는 별개로 보는 경우가 많다. 통계학에서 수학은 처음에 기초 부분을 배울 때는 어느 정도 필요하지만 그 이후에는 관련 분야를 선택하는 사람들만 수학적으로 더 파고 들어가 배우는 것이 일반적이다.

5.2.3. 응용확률론

확률론은 통계학와 하나의 교과서에서 주로 다뤄지나 내용은 해석학에 가깝다. 학부 때는 확률과 통계로 묶어서 가르치기도 하나 대학원에서는 확률론으로 별도로 연구될 만큼 깊은 분야이다. 이는 확률론이 기본적으로 측도론을 기반으로 하고 있기 때문. 특히 기하학적 확률을 다루면서 이런 특성이 두드러지게 나타난다. 이론적으로 더 연구할 경우 측도론, 응용분야로 가게 될 경우 산업공학과 컴퓨터과학 및 통신이론에서 많이 사용되는 대기행렬이론과 마르코프 체인을 배운다.

대기행렬이론과 마르코프 체인

5.2.4. 암호학

암호와 정수론, 선형대수학은 떼려야 뗄 수 없는 관계가 되어 버렸다.

RSA 암호화, 타원곡선암호, DES, AES 등등 수많은 현대적 암호화 알고리즘 중 수학적 기반 없이 설계된 것은 하나도 없다.
최근에 들어서 중요하게 연구되고 있는 데이터를 암호화한 채로 연산할 수 있는 암호화 기법인 동형암호, 양자 컴퓨터에도 안전할 것으로 생각되는 다변수 기반, 코드 기반, 아이소제니 기반, 해쉬 기반, 격자기반의 양자내성암호(Post-Quantum Cryptography)에도 많은 수학들이 적용이 된다. #

5.2.5. 제어이론

제어공학에서 해결하고자하는 문제들은, 사실 그 출처와 뿌리는 순수수학에서 관심을 갖는 문제들과는 전혀 상관이 없는 지극히 현실적이며 완전히 공학적인 여러 영역들[17]부터 비롯된 것들이다.

그러나, 시간이 흐르며 이러한 문제들이 해결되는 과정에서 엄밀한 순수수학의 지식들의 위력이 이 분야에서 굉장히 크다는것이 점차 증명되었고, 이에 따라 제어공학에서 수학의 비중은 점점 더 커져갔다. 그래서 제어공학의 발전에 많은 영향을 준 인물들 중에는 안드레이 콜모고로프, 노버트 위너, 루돌프 칼만과 같이 공학자라고 부르기는 힘든, 순수 수학자에 더 가까운 인물들도 많다.

이러한 과정을 거쳐 현재는 결국 제어공학에서 다루는 문제들 중 많은 것들은 그 형태가 대다수의 공학들과는 달리, 마치 정보이론처럼, 수학에서 다루는 문제들과 유사하게 되어버렸다. 즉, 문제 해결에 필요한 현대 수학의 지식의 범위가 다른 필드에 비해 많다는 점도 특징적이지만 그와는 별개로, 해결해야되는 문제의 형태 자체가 어떤 수학적인 정리와 결과를 적용하여 연산을 통해 유의미한 해결책을 찾아내는 것이 아니라, 모델링을 통해 뽑아낸 어떤 수학적인 객체에 대해 수학적으로 연구를 하고, 그 과정에서 필요하다면 이전에 없던 새로운 수학적 개념도 정의하고, 성질을 찾아내기 위해 수학적으로 엄밀하게 증명을 해야하는 것이 문제 그 자체가 된 경우가 많아진 것이다. 이러한 연유로 이제는 아예 제어이론이라는 학문은 공학의 하위 분야가 아닌 응용수학의 범주에 포함된다는 관점으로 다뤄지기도 한다.

그렇기 때문에 현재는 학계에서 제어를 전공하여 연구한다라고 하면 일반적으로 두 가지 경우로 나뉜다. 첫 번째는 위에서 서술한 것과 같이 응용수학으로써의, 이론적인 학문인 제어이론에 대한 연구이고, 두 번째는 그러한 이론적인 학문인 제어이론을 통해 나온 결과들을 특정 분야의 실제 산업[18]에 적용하고, 구현하는 것에 대해 연구하는, 제어공학에 대한 연구이다.[사실]

첫 번째 유형의 랩실의 경우 회로, 동역학, 기계 지식 등 공학적 배경이 거의 없는 순수수학, 응용수학 출신의 졸업생들도 많이 지원을 한다.[20] 두 번째 유형의 경우는 연구에서 수학이 차지하는 비중이 더 적으며, 문제에서 다루는 시스템 그 자체(전기회로나 동역학계, 전력 시스템 등등)에 대한 지식들과, 구현에 필요한 지식(MCU 코딩 등등)과 같은 공학적인 지식들이 더 중요하다.

읽다보면 느낌이 왔을 수도 있겠지만 현재 학계에서 연구하는 응용수학으로써의 제어이론은 현실의 산업에서 실제로 쓰이는 제어 기법들과 괴리가 꽤 커진 상태다.

5.2.6. 최적화 이론

주어진 성능 지수 함수를 고려하는 집합 안에서 제약조건들을 만족시키며 최소화(또는 최대화)하는 해를 찾는 이론이다.

최적화 이론

6. 다른 학문과의 관계

아무리 추상적이어도 수학이라면 언젠가는 현실 세계에서 벌어지는 현상에 응용되게 마련이다.

- 니콜라이 로바체프스키

수학은 그 자체가 확립된 하나의 학문이기도 하지만, 다른 학문을 배우고 연구하는데 필요한 도구로서 사용되거나 각종 정의나 원리, 법칙 등을 서술하는 언어로서 사용되기도 한다.

특히 자연과학이나 공학에서 다루는 각종 원리나 법칙들은 일상 언어를 가지고는 설명하고 이해하기가 대단히 어렵거나, 아예 불가능한 것들이 많기 때문에 이러한 대상들을 엄밀하게 정의된 수식을 이용해 수학적으로 표현하고 다루게 된다.

6.1. 자연과학

수학을 모르는 사람은 자연의 진정한 아름다움을 알 수 없다.

- 리처드 파인만

6.1.1. 물리학

물리학-수학 관계

수학과 물리학과의 관계는 매우 각별하다. 물리에 필요한 수학들은 보통 수리물리학을 통해서 공부하지만 수학과 수업을 듣거나 복수전공해버리는 학생도 있다.

6.1.2. 화학

물리화학, 무기화학, 계산화학, 분석화학 분야에서 수학을 많이 쓴다.

수학과 화학에 관한 예시로 준결정이 있다. 로저 펜로즈 등의 수학자들은 펜로즈 타일처럼 평면을 채울 수 있지만 그 패턴이 불규칙적인 타일이 있다는 것을 발견해냈고 이것을 비주기적 타일링이라고한다. 그러나 많은 화학자가 현실에서 그런 결정구조는 존재하지 않는다고 생각했다.

위대한 화학자 라이너스 폴링 역시 "준결정은 없고 준과학자만 있다"며 준결정을 비난했는데 1982년 단 셰흐트만이 준결정 구조를 발견한 공로를 인정받아 2011년 노벨 화학상을 수상하였다.

결정(Crystal)과 격자(Lattice)의 공간적 대칭성과 구조에 대해 연구하는 결정학은 수학에서 대칭성을 다룰 때 쓰이는 군론이 쓰인다 점군(point group)과 공간군(space group)이 그 예시이며 자세한건 군론(화학)을 참고바람

이외에도 수리화학에서 화학적 현상을 모델링하는데 수학의 그래프 이론이 쓰이는데 화학적 그래프 이론(Chemical graph theory)이라고 부른다 화학적 그래프 이론에서는 위상 지표(topological index)라는 그래프 이론의 도구가 있는데 호소야 지표(Hosoya index), 위너 지표(Wiener index) 등이 그 예시이다.

그래프 이론이 화학에 쓰이는 또다른 예시로 겔화의 무작위 그래프 이론(Random graph theory of gelation)은 플로리-스톡메이어 이론(Flory–Stockmayer theory)을 일반화하는데 쓰인다.

6.1.3. 생물학

[math(\displaystyle \begin{cases} \begin{aligned}
\dfrac{{\rm d}x}{{\rm d}t} &= x(\alpha-\beta y) \\
\dfrac{{\rm d}y}{{\rm d}t} &= - y(\gamma-\delta x)
\end{aligned} \end{cases} )]

▲ 두 종류의 생물 간의 관계를 선형화하여 나타낸 로트카-볼테라 방정식. 생물학에서의 대표적인 미분방정식이다.

수학을 통해 생물학을 연구하는 분야를 수리생물학이라고 부르며 수학을 통해서 생명현상을 연구한 몇가지 사례들이 있다.

기본적인 수준에서의 수학의 예로는 고등학교에서 생명과학2를 공부하면 등장하는 하디-바인베르크 법칙이 있다. (참고로 하디-바인베르크 법칙의 하디는 생물학자가 아닌 수학자이며, 라마누잔의 스승이다. 바인베르크는 생물학자.)

진화생물학 관한 수학적 설명으로 20세기 최고의 진화이론학자 중 한 명인 윌리엄 D. 해밀턴은 포괄 적합도라는 개념을 통해 친족선택의 수학적 증명을 제시했다.

영국의 생물학자 다르시 웬트워스 톰슨은 성장과 형태에 관하여(On Growth and Form)라는 1116쪽에 이르는 방대한 분량의 책에서는 수학을 이용하여 생물이 가지는 기관의 형태 형성을 설명한다. 특히나 마지막 17장 ("변형의 이론, 또는 관련된 형태의 비교에 대하여")에서 톰슨은 생물의 형태에 좌표의 개념을 도입한 뒤 좌표의 변형을 통해 관련된 다른 종의 형태가 나타날 수 있음을 많은 실례를 통해 보여줬다.[21]

생명체의 형태에 관한 또다른 수학적 설명으로는 앨런 튜링이 1952년 런던왕립학회가 발행하는 생물학 학술지에 '형태발생의 화학적 기초(The chemical basis of morphogenesis)’라는 제목의 논문이 있다 이 논문은 반응-확산 모형에서 2가지 이상의 서로 다른 종류의 분자가 서로 반응하고 확산하면서 주위로 퍼져나가면 자연의 많은 동물들이 가지는 줄무늬나 점무늬 같은 기하학적인 형태의 패턴을 만든다는 것을 미분방정식을 통해 수학적으로 설명했고 이러한 패턴을 튜링패턴이라고 한다.

생태학에서 등장하는 미국의 수학자 앨프리드 제임스 로트카와 이탈리아의 생물학자인 비토 볼테라가 발표한 로트카-볼테라 방정식은 생태계의 성장이나 물질순환, 화학반응 등 광범위한 생명현상을 수리적으로 분석하는 일에 이용된다. 러시아의 생태학자 가우제, 코스츠킨 그리고 수학자 콜모고르프는 볼테라의 성과를 확장하여 포식자와 피식자 간의 생태학적 경쟁에 대하여 4가지의 경우로 정리하기도 했다.

위에서 나온 유전학, 진화 생물학, 형태학, 생태학 말고도 생물체의 패턴을 분석해 질병의 원인을 추론하기 위해 수학을 사용한다. 현대 의료보건 및 생물학 연구에서 통계학자뿐만 아니라 수학자를 채용하는 것은 드문 일이 아니다. 한 사람의 유전자 데이터만 해도 50Gb(기가 베이스, 염기쌍 개수가 오천만 개)에 달해 여러 사람의 유전자를 분석하는 일은 매우 어렵다. 그래서 고도의 수학 기법을 써서 데이터를 줄여야 한다. 이 분야에서 가장 유명한 것은 인간 게놈 프로젝트를 이끌었던 에릭 랜더인데, 이 사람은 의료보건 분야 출신이 아니라 수리과학 출신이다.

분자생물학에서 DNA가 염색체에 감기고 복제를 위해 풀리는 구조를 이해하기 위해서 위상수학의 하위분야인 매듭이론을 DNA의 위상 변화를 관찰하여 효소의 작용 메커니즘을 알아내는데 이용한다. 일종의 부산물처럼, DNA 매듭의 교차점 수의 변화로 생물학자들은 효소의 반응속도, 곧 주어진 농도의 효소가 1분당 얼마나 많은 교차점에 영향을 미치는지 측정할 수 있다.[22][23][24]

6.1.4. 지구과학

인류가 바다를 정복하며 발전시킨 측량기법, 농사의 체계화 과정에서 발전한 날씨/날짜 체계, 전쟁을 통해 발전시킨 지형 분석 등 수많은 지구과학의 성과들은 수학에 빚을 지고 있다. 현대적으론 인공위성을 통한 지형, 중력장, 자기장 변화와 기상 예측 인공지능, 강우량 분석, 지진 예측, 대기, 해양과 지하수의 움직임 측정 (또는 모델링)등의 연구에서 수학을 사용한다.

6.2. 공학

공학은 수학이라는 언어를 통해서 인공물을 설계해낸다. 분야에 따라 필요한 수학의 범위나 깊이가 다르긴 하지만, (해석학/미분방정식/선형대수학/최적화 이론)등 을 사용한다. 그리고 컴퓨터과학분야에선 이산수학도 깊게 공부해야 한다.

공학에서 응용되는 수학은 날이 갈수록 복잡해지고 있다. 공대의 학부 과정만 졸업한 학생들은 "공대의 수학은 수학과의 수학에 비해 덜 복잡하다"고 착각하는데, 학부과정 이상으로 올라가면 자신이 공학을 전공하는 것인지 수학을 전공하는 것인지 착각할 정도로 복잡한 수학을 사용하게 된다. 특히 인공신경망, 빅데이터, 날씨 예측, 재난 예측 등 복잡한 현상을 공학적으로 연구할 경우 수학의 복잡도도 그만큼 커진다.

6.3. 의학, 약학, 수의학

의료계에서도 수학을 사용한다. 다만 의사가 일일이 계산하는 것이 아니라, 의료기기가 자동으로 계산하는 것이다.

먼저 CT(컴퓨터단층촬영)의 경우, 연립방정식을 사용한다. CT는 여러 각도에서 방사선을 투과하는데, 이때 복잡한 수학계산을 통해 인체의 각 부분에서 어느정도 흡수됐는지 측정값을 구해 인체를 단면 영상으로 재구성한다. 뼈와 근육 등 각 인체 부위의 밀도와 두께에 따라 방사선 투과량이 달라지기 때문이다. CT 촬영시 한 방향에서 방사선을 투과시킬 때마다 신체 각 부분을 미지수로 하는 방정식을 얻을 수 있고, 여러 방향에서 방사선을 투과시켜 연립방정식을 얻게 된다. 이후 컴퓨터가 복잡한 계산과정을 거쳐 연립방정식을 풀고, 이를 통해 인체 각 부위별 방사선 흡수치를 구함으로써 신체의 단면 영상을 얻는 게 CT 촬영의 원리다. 미분방정식은 감염병 발생시 확산 경로를 예측하는 데 활용된다. 동맥이나 정맥 등 혈관을 지나는 혈류 속도와 혈류량을 구하는 데도 미분방정식이 적용된다.

수학 모델을 동원하여 전염병의 확산경로를 추정하기도 한다. 유동인구, 가축, 도심 속 곤충 등 전염병의 매개체를 추정하고, 이들의 이동경로와 이동속도를 모델링하여 전염병의 확산을 대략적으로 시뮬레이션할 수 있다.

아동의 뇌를 영상으로 분석하여 ADHD을 진단하는데 위상수학과 기하학을 기반으로한 위상 데이터분석이 활용되기도 한다.[25]

6.4. 심리과학

6.4.1. 신경과학

수학, 컴퓨터과학을 사용하는 신경과학 분야를 계산신경과학(computational neuroscience)이라 부른다. 쉽게 말해 뇌의 신경지도를 만드는 분야다. 그래프와 네트워크 이론을 통해 뇌신경의 연결 구조를 파악하고, 신경전달물질과 호르몬을 수학적으로 모델링하여, 어떤 화학물질이 얼마나 들어갔을 때 뇌의 어떤 부위에 어떤 변화를 일으키는지 시뮬레이션하는 것이 계산신경과학의 목표다.

인공신경망(artificial neural network)과 이를 기반으로 한 각종 파생 기계학습 알고리즘(딥 러닝deep learning과 같은…) 역시 계산신경과학의 한 영역이다.[26]

6.4.2. 인지과학

인지과학은 컴퓨터의 소프트웨어가 하드웨어와 별도로 존재하는 현상에서 영감을 받아 탄생한 과학 분야다. 주로 표상의 형식, 인지과정의 계산이론, 인지 과정의 형식이론 등이 연구된다.

6.4.3. 심리학

수학을 사용하는 심리학 분야를 수리심리학(Mathematical psychology)이라 한다. 인지 모형을 만들어 의사결정을 모델링하거나, 심리 현상을 측정할 도구를 만들기도 한다.

6.5. 사회과학

6.5.1. 경제학

사회과학에서 수학을 가장 많이 쓰는 분야는 단연코 경제학이다. 학부 과정에선 경제수학과 경제통계학을 배워야 하고, 석사로 올라가면 선형대수학, 해석개론, 미분방정식, 실변수함수론, 수리통계 등을 이수하는 것이 일반적으로, 특히 정말 깊게 공부하고 싶다면 어느 분야든지 당연하게도 확률론은 피해갈 수 없다. 극단적인 경우는 모델링을 한답시고 물리학과 수업까지 듣는 경우도 있다. 주로 통계역학 과목을 듣는 편이다. 그래서 수학과를 복수전공하는 경제학과 학생들도 종종 보인다.

경제지리학도 마찬가지로, 경제적인 공간(상권)을 분석하기위해 기하학과 위상수학이 중요하다.

게임이론 [27]

6.5.2. 정치학

정치학 역시 경제학의 방법론을 보며 그 영향을 받아 적극적으로 수학적 방법론을 받아들였다. 이러한 정치학 연구 관점을 행태주의 정치학이라고 한다. 다른 사회과학 학문들처럼 미적분학, 통계학, 게임이론 등 많은 수학적 지식이 정치학 연구를 위해서 사용되고 있다.

6.5.3. 사회학

사회학도 이미 수학을 사용한 방법론을 사용하는 분야가 있다. 합리적 선택이론(rational choice theory) 내지는 일반화 이론(formal theory), 계량적 방법론(quant), 연결망 이론(network theory) 등을 활용하는 수리사회학이라는 영역이 존재한다. 중급 선형대수학과 통계학, 미분방정식 이상을 사용하는 모델링이다.

6.5.4. 인류학

인류학에서도 하위 분야인 체질인류학에서 통계 분석을 위해 수학을 동원하는 등 수학과 관련된 분야가 존재한다.[28] 좀 더 응용에 가까운 예를 들자면 데이터의 분석을 위해 통계학을 동원하는 사례가 사회과학 전반에 매우 많다. 통계적 방법 문서 참고.

여담으로 구조주의 철학자이자 문화인류학자인 클로드 레비스트로스는 카리에라족의 혼인제도의 독특한 규칙을 설명하기 위해서 초기 니콜라 부르바키의 리더였던 수학자 앙드레 베유에게 도움을 받았는데 여기서 카리에라족의 결혼제도가 클라인 4원군을 따른다는 것을 알아냈다.

6.6. 인문학

6.6.1. 철학, 논리학

자세한 내용은 수학-철학 관계 문서 참고하십시오.

6.6.2. 언어학

언어학은 문학과 달리 상당히 과학적인 방법론을 동원하는 분야로[29], 역시 경우에 따라서 어느 정도의 수학적 지식이 쓰일 수 있다. 물론, 그 분야는 음운론, 형태론, 통사론 등에 따라 적용 양상이 다르겠지만, 대체로 비(非)이공계 학문의 수학이 그렇듯, 통계학적인 내용을 쓰는 때가 대부분이다. 한 가지 예를 들자면, 음운론에서 음절의 이론상 가능한 가짓수를 따질 때, 순열 또는 조합을 응용할 수 있다. 음절 구조(CVC, CCVCC 등)에서 각 자리별로 가능한 자음의 종류 및 가짓수 등이 언어별로 다른데, 이를 따질 때 일일이 모든 음절을 따져서 하는 것은 매우 비효율적이므로 조합을 활용하고 이후 다른 영역을 적용하면 된다. 또한 추상대수학과 오토마타 이론도 연구에 유용하게 쓰인다.

6.6.3. 역사학

방법론 단계에서 수학을 도입하는 경우가 많다. 경제사, 정치사 등을 연구할 때 각종 통계 수치를 분석하기 위해 수학을 동원하고 있으며, 전쟁 등 역사적 사건의 빈도를 수학적으로 계산해 일반화시키는 시도까지 존재하고 있다. #

6.7. 예술

6.7.1. 미술과 사진

미술에 도입된 수학의 대표적인 예는 바로 원근법이다. 15세기 이탈리아의 수학자이자 예술가인 피에로 델라 프란체스카가 원근법론(회화의 관점, De Prospectiva Pingendi)을 편찬하였고, 프랑스의 수학자 가스파르 몽주는 화법기하학을 통해 원근법에 영향을 주었다.

6.7.2. 음악

음악 역시 수학이 매우 많이 사용되는 분야다. 화음 구성의 기초가 되는 순정률부터가 피타고라스 학파에 의해 발견됐다. 그렇기 때문에 화성학의 기본 개념들은 거의 대부분 수학적으로 환원할 수 있다.

음향과의 경우 3차원 공간 개념을 위해 좌표공간을 배우는 것은 물론 샘플링 이론의 이해를 위해 푸리에 급수부터 시작하는 해석학을 가볍게나마 배우게 되며, 학과 특성상 전자공학도 같이 배우는 경우가 간혹 있는데 이 경우엔 맥스웰 방정식을 위시한 전자기학까지 배워야 한다. 물론 이는 흔치 않은 사례이나 고대부터 현대까지 음악 또한 수학과 밀접한 관계를 맺고 있었던 것은 사실이다

현대에 작곡가 중에서 이안니스 크세나키스의 작품 확률론《Pithoprakta》에 쓰인 맥스웰-볼츠만 기체 동역학 이론,《Diamorphoses》에 쓰인 aleatory distribution of points on a plane, 《Achorripsis》에 쓰인 minimal constants, 《ST/10》과 《Atrèes》에 쓰인 정규분포 함수, 《Analogiques》에 쓰인 마르코프 체인, 게임 이론(《Duel》과 《Stratégie》), 군론(《Nomos Alpha》), 불 대수(《Herma》와 《Eonta》) 등의 수학적 개념을 자신에 작품에 녹아냈다. 크세나키스 이외에도 밀턴 배빗은 음악 이론가이자 수학자였으며 1946년에는 〈12조 체계에서 집합 구조의 기능〉이라는 수학과 음악을 접목한 매우 난해한 논문을 박사 학위 논문으로 제출했다.[30]

음악과 수학이 만나는 몇 가지 사례를 소개하자면 미분방정식에서 벡터와 텐서를 다룰 때 조표를 이용해 나타내는 음악동형이 있다. 리처드 보스와 존 클라크는 파워 스펙트럼(노이즈) 중에서 주파수 변화량 f에 따라 1/f 특성을 가진 핑크 노이즈가 규칙적이면서도 불규칙적인 자연현상과 유사한 형태를 가짐을 발견했다. 그래서 1/f 패턴을 갖는 음악을 프랙탈 음악이라고 부른다 그리고 음악적 집합론(Musical set theory)[31]이라는 분야도 있는데 이름은 음악적 집합론이지만 오히려 군론, 조합론과 더 밀접한 관계를 가지고 있다.

7. 대학 교과 과정

자세한 내용은 수학과 문서 참고하십시오.

7.1. 대학·대학원에서의 수학

<nopad>

대학·대학원에서 사용되는 수학 교재들[설명]

대학에 들어가면 학과에 따라 크게 두 가지 측면을 요구하는데 하나는 수학의 '근원'을 찾는 것이고 또 하나는 수학을 '도구'로써 익히는 것이다. 전자는 수학과, 수학교육과에서 취하는 자세이고 후자는 물리학과를 비롯한 자연과학계열, 공학계열, 상경계열 등이 취하는 자세이다.

근원을 찾는다는 것에 대해서 조금 부연하자면, 사실 이는 비전공자들에게 설명하기에 적합한 방식으로 묘사한 것이다. 현대수학의 연구는, 사실상 어딘가에 존재하는 '근원'이나 '비밀'을 찾는다기보다는 수학의 영역을 확장하고 추상화하고 일반화해나가는 것에 가깝다. 비밀을 찾아 구불거리는 미로에서 헤매다보면 자신이 출발한 지점에서 어쩌다 이 곳으로 왔는지, 무엇을 찾아 이 곳으로 왔는지조차 까먹을 지경이 되지만, 헤매다보면 흥미로운 연구주제와 대상이 자꾸 눈에 띄고, 급기야 모든 것을 아우르는 아름다운 구조를 창조하여 구도심 골목길을 갈아엎고 수학적 신도시를 만들 수도 있다. 이 경지에 이르기까지 무한반복하는 것이 바로 정의, 정리, 증명, 정의, 정리, 증명, 따름정리, 증명, 정의, 정리, 연습문제(...)이다. ~~증명이 여러분의 몫으로 남겨질 수도 있는 것이다!~~ 물론, 이미 선배 수학자들이 닦아 놓은 길이 수두룩하기 때문에 본격적으로 자기주도적 연구를 하기 위해 익혀야 하는 것이 터무니없이 많다는 게 장점이자 단점이다.

특히 어렵다는 평을 자주 듣는 과목으로 현대대수학, 위상수학 [33], 미분 기하학 [34], 편미분방정식 등이 있다. 편미분방정식이나 미분 기하학같은 경우에는 앞의 두과목에 비하면 직관적이긴 하나 계산량이 엄청나서(...) 그렇고, 위상수학이나 현대대수학같은 경우에는 뒤의 두 과목에 비하면 계산량이 그렇게 많지는 않지만 너무 추상적이여서 이해하지 못하고 암기하는 경우가 태반이다. 특히 현대대수학의 경우 서지 랭이 쓴 현대대수학 교재(위 사진 중 왼쪽 구석에 있는 노란색 책)가 악명이 높아 대수학 강의실에 돌을 던지는 사람은 저 책으로 공부하는 사람이라는 유머가 있을 정도.

7.2. 학부 과목

이 아래에 나열된 과목들은 수학과&수학교육과에서 모두 배운다.

수학과, 수학교육과 교양 과목

미적분학

수학과, 수학교육과 전공 과목

수학과 이외 수학 교과목

미적분학(자연과학대학, 공과대학 등)
공업수학(공과대학 등)
수리물리학(물리학과, 화학과 등)
수치해석(공과대학 등)
군론(물리학과, 화학과 등)
이산수학(컴퓨터공학과 등)
경제수학(경제학과, 경영학과 등)
통계학(공과대학 등)[35]
통계학개론/경영경제통계(경제, 경영학과 등)[36]
확률과정론(공과대학 등)[37]
경영과학/OR/계량경영학(산업공학과, 경영학과 등)

7.3. 대학원 과목

고급 대수학

고급 정수론

고급 기하학

고급 해석학

실해석학
복소해석학
함수해석학

작용소 대수

조화해석학
에르고딕 이론

조합론

그래프이론
대수적 조합론

8. 관련 문서

8.1. 수학회

8.2. 수험 과목으로서의 수학

대학수학능력시험 : 수학 영역
사관학교 입학시험 : 수학 영역
경찰대학 입학시험 : 수학 영역
자연계 논술 수학
검정고시 수학
공무원 시험

5급, 7급 PSAT 상황판단의 수리퍼즐형 문제: 이산수학
초등교원임용경쟁시험 교육과정 중 수학
중등교원임용경쟁시험 수학

Advanced Placement

국제 과학 올림피아드: 국제수학올림피아드, 아시아태평양수학올림피아드, 한국수학올림피아드
한국수학경시대회
일부 영국 대학 입학시험 : STEP(시험)
독학사 1단계 일반수학, 2단계 컴퓨터공학과 이산수학
법학적성시험 추리논증의 수리추리형 문제: 이산수학
보험계리사 : 1차 보험수학, 2차 보험수리학
대학생 수학경시대회(대수경), 공업수학 경시대회
편입학 대학수학, 공학수학(자연계 학과 한정)
실용수학 자격시험: 국가 공인 수학 자격 시험이다.

8.3. 미분류

8.4. 둘러보기 틀

수학기초론 Foundations of Mathematics
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[[대수학\|대수학 Algebra ]]
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선형대수학 Linear Algebra
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해석학·미적분학 Analysis · Calculus
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정수론 Number Theory
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이산수학 Discrete Mathematics
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통계학 Statistics
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8.4.1. 수 관련 틀

수와 연산 Numbers and Operations
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기타	수에 관련된 사항 (0과 1 사이의 수 · 음수 · 작은 수 · 큰 수) · 혼합 계산 (48÷2(9+3) · 111+1×2=224 · 2+2×2) · 0으로 나누기(바퀴 이론) · 0의 0제곱		}}}}}}}}}

수 체계
{{{#!wiki style="margin:0 -10px -5px" {{{#!folding [ 펼치기 · 접기 ] {{{#!wiki style="margin:-6px -1px -11px"	사원수 [math(mathbb H)]
↑ 확장 ↑
복소수 [math(mathbb C)]
↑ 대수적 폐포, 행렬 표현, 순서쌍 구성 등 ↑					[[허수\|허수 [math(\mathbb{C}]]
실수 [math(mathbb R)]
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유리수 [math(mathbb Q)]
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[math(0)]
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수학상수 Mathematical Constants
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십진수
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일(一/壹) (10⁰)	십(十/拾) (10¹)	백(百/伯/陌) (10²)	천(千/仟/阡) (10³)	<colbgcolor=#d3d3d3,#500> 푼/분(分) (10^-1)	<colbgcolor=#d3d3d3,#500> 리(厘) (10^-2)	<colbgcolor=#d3d3d3,#500> 모(毛)/호(毫) (10^-3)	<colbgcolor=#d3d3d3,#500> 사(絲) (10^-4)
만(萬) (10⁴)	십만(十萬) (10⁵)	백만(百萬) (10⁶)	천만(千萬) (10⁷)	홀(忽) (10^-5)	미(微) (10^-6)	섬(纖) (10^-7)	사(沙) (10^-8)
억(億) (10⁸)	십억(十億) (10⁹)	백억(百億) (10¹⁰)	천억(千億) (10¹¹)	진(塵) (10^-9)	애(埃) (10^-10)	묘(渺) (10^-11)	막(漠) (10^-12)
조(兆) (10¹²)	경(京) (10¹⁶)	해(垓) (10²⁰)	자(秭) (10²⁴)	모호 (10^-13)	준순 (10^-14)	수유 (10^-15)	순식 (10^-16)
양(壤/穰) (10²⁸)	구(溝) (10³²)	간(澗) (10³⁶)	정(正) (10⁴⁰)	탄지 (10^-17)	찰나 (10^-18)	육덕 (10^-19)	허공 (10^-20)
재(載) (10⁴⁴)	극(極) (10⁴⁸)	항하사 (10⁵²)	아승기 (10⁵⁶)	청정 (10^-21)	아라야 (10^-22)
나유타 (10⁶⁰)	불가사의 (10⁶⁴)	무량대수 (10⁶⁸)	...
구골 (10¹⁰⁰)	구골플렉스 (10^구골)	구골플렉시안 (10^{구골플렉스})	...

}}}}}}}}} ||

절대부등식 Inequalities
{{{#!wiki style="margin: 0 -10px -5px; min-height: calc(1.5em + 5px)" {{{#!folding [ 펼치기 · 접기 ] {{{#!wiki style="letter-spacing: -1px" {{{#!wiki style="margin: -5px -1px -11px; word-break: keep-all"	코시-슈바르츠 부등식	산술·기하 평균 부등식
[math(\left({a_n})({b_n}\right)\ge\left({a_n}{b_n}\right))]	[math(\frac{a_n+b_n}{n}\ge\sqrt[n]{{a_n}{b_n}})]
젠센 부등식	영 부등식
[math(\lambda_n f\left(x_n\right)\ge f\left({\lambda_n}{x_n}\right))]	[math(ab \leq \frac{a^p}{p}+\frac{b^q}{q})]
횔더 부등식	민코프스키 부등식
[math(\\|fg\\|_1\le\\|f\\|_p\\|g\\|_q)]	[math(\\|f+g\\|_p\le\\|f\\|_p+\\|g\\|_p)]
마르코프 부등식	체비쇼프 부등식
[math(\frac{E(X)}k\ge{\rm P}(X\ge k))]	[math(P(\|X-\mu\|<k\sigma)\geq1-\frac1{k^2})]
슈르 부등식
[math(a\left(x-y\right)\left(x-z\right)+b\left(y-z\right)\left(y-x\right)+c\left(z-x\right)\left(z-y\right)\geq0)]
합 기호는 아인슈타인 합 규약을 일부 사용해 단축하였다.		}}}}}}}}}}}}

약수의 합에 따른 자연수의 분류
자기 자신과의 비교	과잉수	완전수	부족수

일부의 합 사슬	주기 1	주기 2	주기 3 이상
진약수의 합	완전수	<colbgcolor=#fff,#1c1d1f> 친화수	<colbgcolor=#ddd,#333> 사교수
비자명 진약수의 합	<colbgcolor=#000> 준완전수	혼약수	준사교수
진약수의 합의 약수	초완전수	?	?

기타	반완전수	괴짜수	불가촉 수

8.4.2. 함수 관련 틀

초등함수 Elementary Functions
{{{#!wiki style="margin: 0 -10px -5px; min-height: calc(1.5em + 5px)" {{{#!folding [ 펼치기 · 접기 ] {{{#!wiki style="margin: -5px -1px -11px; word-break: keep-all"	<colbgcolor=#567843> 대수함수	다항함수 (상수 · 1차 · 2차 · 3차 · 4차 · 추론 · 공식 ( 길이 · 넓이 ) · 소수생성) · 유리함수 · 무리함수
초월함수	지수함수( 확률밀도함수 · 허수지수함수 ) · 로그함수 ( 복소로그함수 ) · 삼각함수 · 역삼각함수 · 쌍곡선 함수 · 역쌍곡선 함수	}}}}}}}}}

특수함수 Special Functions
{{{#!wiki style="margin: 0 -10px -5px; min-height: calc(1.5em + 5px)" {{{#!folding [ 펼치기 · 접기 ] {{{#!wiki style="letter-spacing: -1px" {{{#!wiki style="margin: -5px -1px -11px; word-break: keep-all"	[math(^\ast)] 특수함수가 아니라 특정 조건을 만족시키는 다항함수이지만, 편의상 이곳에 기술했다.
<colbgcolor=#383B3D> 적분	오차함수(error function)^{(가우스 함수 · 가우스 적분 함수)} · 베타 함수^{(불완전 베타 함수)} · 감마 함수^{(불완전 감마 함수 · 로그 감마 함수)} · 타원 적분 · 야코비 타원 함수 · 지수 적분 함수 · 로그 적분 함수 · 삼각 적분 함수 · 쌍곡선 적분 함수 · 프레넬 적분 함수 · 구데르만 함수
미분방정식	르장드르 함수[math(^\ast)] (구면 조화 함수) · 베셀 함수 · 에르미트 함수 · 라게르 함수 · 에어리 함수
역함수	브링 근호 · 람베르트 W 함수 · 역삼각함수
급수	제타 함수 · 후르비츠 제타 함수 · 세타 함수 · 초기하함수 · 폴리로그함수 · 폴리감마 함수 · 바이어슈트라스 타원 함수
정수론	소수 계량 함수 · 소인수 계량 함수 · 뫼비우스 함수 · 최대공약수 · 최소공배수 · 약수 함수 · 오일러 피 함수 · 폰 망골트 함수 · 체비쇼프 함수 · 바쁜 비버 함수
기타	헤비사이드 계단 함수 · 부호 함수 · 테트레이션(무한 지수 탑 함수) · 지시함수 · 바닥함수 / 천장함수 · 허수지수함수 · 혹 함수

}}}}}}}}}}}} ||

삼각함수 · 쌍곡선함수 Trigonometric Functions · Hyperbolic Functions
{{{#!wiki style="margin: 0 -10px -5px; min-height: calc(1.5em + 5px)" {{{#!folding [ 펼치기 · 접기 ] {{{#!wiki style="margin: -5px -1px -11px"	<colbgcolor=#f080b0> 기본 개념	기하학{평면기하학(삼각형 · 삼각비 · 원 · 쌍곡선)} · 해석학{좌표계 · 복소평면 · 함수(초월함수 · 특수함수)}
삼각함수	사인곡선(위상수학자의 사인곡선) · 역함수 · 도함수 · 역도함수 · 관련 함수 · 삼각함수의 덧셈정리 · 바이어슈트라스 분해 정리 · 미타그레플레르 정리 · 오일러 공식 · 푸리에 해석(푸리에 변환) · 삼각 적분 함수 · 구데르만 함수 · 프레넬 적분 함수 · 디리클레 함수 · 바이어슈트라스 함수 · 볼테라 함수 · 에어리 함수 · 야코비 타원 함수
쌍곡선함수	현수선 · 쌍곡선 적분 함수 · 구데르만 함수	}}}}}}}}}

8.4.3. 도형 관련 틀

평면기하학 Plane Geometry
{{{#!wiki style="margin: 0 -10px -5px; min-height: calc(1.5em + 5px)" {{{#!folding [ 펼치기 · 접기 ] {{{#!wiki style="margin: -5px -1px -11px"	<colbgcolor=#765432> 공통	도형 · 직선 (반직선 · 선분 · 평행) · 각 (맞꼭지각 · 동위각 · 엇각 · 삼각비) · 길이 · 넓이 · 다각형 (정다각형 · 대각선) · 작도 · 합동 · 닮음 · 등적변형 · 삼각함수 (덧셈정리) · 접선 · 벡터
삼각형	종류	정삼각형 · 이등변삼각형 · 부등변삼각형 · 예각삼각형 · 직각삼각형 · 둔각삼각형
	성질	오심 (관련 정리 · 구점원) · 피타고라스 정리 · 사인 법칙 · 코사인 법칙 · 헤론의 공식 · 신발끈 공식 · 스튜어트 정리 · 우산 정리 · 오일러 삼각형 정리 · 데자르그 정리 · 메넬라오스 정리 · 나폴레옹의 정리 · 체바 정리 · 사영 정리 · 판아우벌 정리
	기타	세모 모양 · 평범한 삼각형 · 젤곤 삼각형 · 랭글리 삼각형 · 페르마 점
사각형	정사각형 · 직사각형 · 마름모 · 평행사변형 · 사다리꼴 · 등변 사다리꼴 · 연꼴 · 네모 모양
그 외 다각형	오각형 · 육각형 · 칠각형 · 팔각형 (정팔각형) · 구각형 · 십각형 · 십일각형 · 십이각형 · 백각형
원	단위원 · 원주율 · 호 · 부채꼴 · 할선 · 활꼴 · 방정식 · 원주각 · 방멱 정리 · 톨레미 정리
원뿔곡선	포물선 · 타원 · 쌍곡선 · 파스칼 정리
기타	유클리드 · 보조선 · 테셀레이션(펜로즈 타일) · 제곱근의 앵무조개 · 픽의 정리 · 논증 기하학 · 해석 기하학 · 3대 작도 불능 문제		}}}}}}}}}

다면체 Polyhedron
{{{#!wiki style="margin:0 -10px -5px; min-height:calc(1.5em + 5px)" {{{#!folding [ 펼치기 · 접기 ] {{{#!wiki style="margin:-5px -1px -11px"	고른 다면체	정다면체	볼록 정다면체(플라톤 다면체)	정사면체 · 정육면체 · 정팔면체 · 정십이면체 · 정이십면체
오목 정다면체(케플러-푸앵소 다면체)			작은 별모양 십이면체 · 큰 별모양 십이면체 · 큰 십이면체 · 큰 이십면체
준정다면체		오목 준정다면체
		아르키메데스 다면체	볼록 준정다면체	육팔면체 · 십이이십면체
반정다면체			깎은 정다면체	깎은 정사면체 · 깎은 정육면체 · 깎은 정팔면체 · 깎은 정십이면체 · 깎은 정이십면체
			부풀린 정다면체	마름모육팔면체 · 마름모십이이십면체
			다듬은 정다면체	다듬은 육팔면체 · 다듬은 십이이십면체
			깎은 준정다면체	깎은 육팔면체 · 깎은 십이이십면체
		각기둥
		엇각기둥
		오목 반정다면체
고르지 않은 다면체	각면이 정다각형인 경우	존슨 다면체
		각뿔	삼각뿔 · 사각뿔
		쌍각뿔
	각면이 정다각형이 아닌 경우
		카탈랑 다면체
		엇쌍각뿔
		지오데식 돔
		골드버그 다면체			}}}}}}}}}

정다면체 Regular Polyhedron
플라톤 다면체 (볼록 정다면체)	정사면체 · 정육면체 · 정팔면체 정십이면체 · 정이십면체
케플러-푸앵소 다면체 (오목 정다면체)	작은 별모양 십이면체 · 큰 별모양 십이면체 큰 십이면체 · 큰 이십면체

4차원 볼록 정다포체
정오포체	정팔포체	정십육포체	정이십사포체	정백이십포체	정육백포체

<colbgcolor=#871243,#871243> 원뿔곡선 Conic Sections
사영	이차곡선
아핀	타원			포물선		쌍곡선
유클리드	원	타원	점^*	포물선	평행한 두 직선^*	쌍곡선	교차하는 두 직선^*
* 퇴화 이차곡선

8.4.4. 차원 관련 틀

차원 Dimension
<colbgcolor=#efefef,#2d2f34> 구분	0차원	1차원	2차원	3차원	[math(\boldsymbol{n})]차원(4차원 · 5차원)
위상	점	선	면	입체	초입체
측도	셈 측도	길이	넓이	부피	초부피
유클리드 공간		민코프스키 시공간		측도론

9. 관련 내용

9.1. 수학자

자세한 내용은 수학자 문서 참고하십시오.

9.2. 수학 분야의 상

필즈상 - 필즈상(Fields Medal) 또는 필즈 메달은 국제 수학 연맹(IMU)이 4년마다 개최하는 세계 수학자 대회(ICM)에서 수상 당시 40세 미만의 수학자들에게 수여하는 상이다. 2명 이상 4명 이하에게 수여되며 필즈상 수상은 수학자들에게 가장 큰 영예로 여겨진다.

가우스상(Carl Friedrich Gauss Prize) - 4년마다 개최하는 세계 수학자 대회(ICM)에서 공학·비즈니스 등 응용수학 부문에 업적을 남긴 수학자에게 주는 상.

천메달(Chern Medal) - 중국의 수학자 '천싱선'을 기려 만든 상으로, 4년마다 개최하는 세계 수학자 대회(ICM)에서 평생의 업적을 고려하여 수여된다.[38]

네반리나상(Rolf Nevanlinna Prize) - 4년마다 개최하는 세계 수학자 대회(ICM)에서 수리정보과학 분야에 업적이 있는 수학자에게 수여되는 상.

릴라바티상(Leelavati Prize) - 4년마다 개최하는 세계 수학자 대회(ICM)에서 수학의 대중화에 공헌한 수학자에게 수여된다.

아벨상 - 노르웨이의 수학자 닐스 헨리크 아벨의 이름을 딴 상으로, 노르웨이 왕실에서 수여하는 상이다. 2003년부터 수상이 시작되었다. 수학자가 일생 동안 쌓아온 업적을 바탕으로 상을 주기 때문에 거의 대부분 수상자들의 나이가 많다.

울프상(울프상 수학부문) - 이스라엘의 노벨상이라는 별명이 있으며 독일계 발명가이자 이스라엘의 주(駐) 쿠바 대사를 지낸 바 있는 리카르도 울프 박사가 설립한 이스라엘의 울프 재단에서 시상한다. 상은 모두 6개 부문으로 나뉘어 있다. 농학, 화학, 수학, 의학, 물리학, 그리고 예술 부문 상은 건축, 음악, 미술, 조각 분야에서 순환하여 매년 시상한다. 각 상은 상장과 미화 10만 달러의 상금이다.

물리학과 화학 부문에서 울프상은 노벨상 다음으로, 이 분야에서의 가장 명성이 있는 상으로 평가받고 있다. 의학 분야는 노벨상과 래스커상 다음으로, 즉 3번째로 평가되는 상이다. 수학 분야에서는 노벨상이 없으므로, 필즈상, 아벨상 다음으로 유명하다.
브레이크스루 상(Breakthrough Prize in Mathematics)[39] - 브레이크스루 상은 실리콘밸리의 노벨상이라는 별명을 가진 상으로 실리콘밸리 투자자인 유리 밀너, 페이스북 설립자 마크 저커버그 부부, 구글 공동설립자 세르게이 브린 등이 설립한 상으로 300만 달러라는 노벨상보다 많은 상금으로 유명하며 시상 분야는 수학, 기초 물리학, 생명과학이다.

쇼상(Shaw Prize)[40] - 동양의 노벨상이라는 별명을 가진 상으로 천문학상, 생명과학 및 의학상, 수학상 3개의 부문으로 나눠지며 상금은 120만 달러이다.
볼프스켈상 - 페르마의 마지막 정리를 해결한 사람에게 주는 상이며, 앤드루 와일스가 수상하였다.

오즈월드 베블런 기하학상(Oswald Veblen Prize in Geometry)[41] - 기하학 또는 위상수학에 공헌한 수학자에게 3년마다 미국 수학회가 수여하는 상이다.

프랭크 넬슨 콜상(Frank Nelson Cole Prize)[42] - 대수학상과 정수론상 두 분야로 나눠져 있으며 3년마다 미국 수학회에서 상을 수여하는 상이다.

보처 기념상(Bôcher Memorial Prize)[43] - 해석학 분야에서 주목할만한 연구에 대해서 3년마다 미국 수학회에서 수여하는 상이다.

델버트 레이 폴커슨상(Delbert Ray Fulkerson Prize)[44] - 이산수학 분야에서 뛰어난 논문에 대해 3년마다 미국 수학회, 수리최적화 학회에서 공동으로 수여하는 상이다.
살렘 상(Salem Prize)[45] - 라파엘 살렘을 기억하기 위해서 만들어진 상으로 해석학 분야에 공헌을 한 젊은 수학자에게 수여하는 상이다.

루에브 상(Loève Prize)[46] - 2년마다 45세 이하의 확률론에 관한 뛰어난 공헌을 한 연구자에게 수여하는 상이다.

롤로 데이비슨 상(Rollo Davidson Prize)[47] - 매년 확률론에 관해서 초기 경력을 가진 젊은 수학자들에게 수여하는 상이다.

카프 상(Karp Prize)[48] - 5년마다 기호 논리학 분야의 뛰어난 논문이나 책에 대해 기호 논리 협회(Association for Symbolic Logic)가 수여하는 상이다.

하우스도르프 메달(Hausdorff Medal)[49] - 격년으로 유럽 집합론 학회가 지난 5년 동안 발표된 모든 논문 중에서 집합론에 가장 큰 영향을 미친 것으로 간주되는 작업 대해서 수여하는 상이다.

페르마상(Fermat prize)[50] - 매년 2년마다 피에르 드 페르마가 공헌했던 분야와 밀접한 수학 연구에서 업적을 남긴 수학자에게 수여하는 상이다. 대표적으로 변분 원리의 진술, 해석기하학과 확률론의 기초, 정수론 등이다. 1989년에 창설되었으며, 2년마다 툴루즈의 툴루즈 수학 연구소에서 시상한다. 상금은 2만 유로이다.

오스트로프스키 상(Ostrowski Prize)[51] - 바젤 대학, 예루살렘 대학, 워털루 대학 그리고 덴마크와 네덜란드 아카데미의 국제 심사위원이 심사하는 뛰어난 수학적 성과에 대해 홀수년마다 수여하는 수학상이다.

클레이 연구상(Clay Research Award)[52] - 100만 달러의 상금이 걸려 있는 밀레니엄 문제를 제안한 것으로 유명한 클레이 수학연구소에서 수학의 연구에 있어서 중요한 돌파구를 만들어낸 수학자에게 수여하는 상이다.
유럽 수학회 상(European Mathematical Society Prize)[53] - 유럽수학회의(European Congress of Mathematics)는 4년마다 유럽 수학회의 주최로 개최되며, '35세 이하의 유럽의 젊은 연구자들의 수학에서 뛰어난 업적을 인정'하는 유럽 수학회 상 10개가 수여된다.

튜링상 - ACM(Association for Computing Machinery)에서 컴퓨터 과학 분야에 업적을 남긴 사람에게 매년 시상하는 상. ACM 연례 회의에서 시상식을 하는데 여기서 수상자가 기념 강연을 하는 것이 관례이다. 앨런 튜링의 이름을 따서, 1966년 제정되었고 컴퓨터 과학 분야의 노벨상으로 불리며 컴퓨터 과학 분야 인사에게 최대의 영광으로 인식된다.

컴퓨터 과학의 역사는 많은 수학자의 연구를 바탕으로 만들어진 학문으로 블레즈 파스칼 [54], 고트프리트 빌헬름 라이프니츠 [55], 찰스 배비지 [56], 폰 노이만, 알론조 처치, 앨런 튜링, 클로드 섀넌 같은 선구자들 연구를 기반으로 발전했으며 수학자 중에서 튜링상을 받은 사람들도 있는데 1968년에 자동 코딩 시스템, 오류 검출 부호 및 오류 정정 부호에 대한 업적으로 받은 리처드 해밍, 1970년 수치 해석, 선형 대수, 후방 오류 분석에 대한 업적으로 받은 제임스 하디 월킨슨, 1976년 비결정 기계에 대한 업적으로 받은 데이나 스콧, 1982년 계산 복잡도 이론에 대한 업적으로 받은 스티븐 쿡[57]가 있으며 수학의 주요 응용분야 중 하나인 암호학에 관해서도 2002년 RSA 암호, 2015년 디피-헬먼 키 교환, 2012년 영지식 증명과 골드바서-미칼리 암호체계에 대한 업적으로 암호학자들이 튜링상을 받았다

국제통계학상(International Prize in Statistics)[58]- 국제통계학상은 "과학, 기술, 인간의 복지를 증진시키기 위해 통계학을 이용한 주요 업적에 대해" 개인 또는 팀에 2년마다 수여된다. 국제통계학상은 COPSS Presidents' Award[59]와 함께 통계학 분야에서 가장 높은 두 가지 영예이다. 이 상은 노벨상, 아벨상, 필즈상, 튜링상을 본뜬 것으로 8만 달러의 상금이 수여된다. 시상식은 세계 통계학 대회(World Statistics Congress) 기간 동안 열린다.

노벨상 - 노벨상 자체에는 수학 분야가 따로 있진 않다. 다만 아래의 경우처럼 관련 연구를 하다 보면 수상할 가능성도 있다.

노벨경제학상 - 자원 배분 최적화의 이론에 대한 기여를 인정받아 1975년 상을 받은 레오니트 칸토로비치, 1994년 '내쉬 균형'이라는 게임 이론의 초안을 다진 공로로 존 내시 교수가 수상했고 2012년에는 게일-섀플리 알고리즘과 같은 매칭 알고리즘과 게임이론에 대한 업적으로 상을 받은 "로이드 섀플리"가 있다.
노벨물리학상 - 2020년 노벨물리학상을 받은 로저 펜로즈는 펜로즈 특이점 정리[60]를 통해 블랙홀 형성이 일반 상대성 이론의 확실한 예측이라는 것을 보인 업적으로 노벨상을 수상하였다. 밀레니엄 문제인 양-밀스 질량 간극 가설이나 나비에-스톡스 방정식을 해결한다면 충분히 수상 가능성이 있다. 이렇게 이론물리학에서는 연구에 쓰일 수학조차 완성되지 않은 분야가 있기에 이런 현상이 가능하며, 이와 반대되는 사례도 나왔다.
노벨화학상 - 1985년 제롬 칼과 함께 노벨화학상을 수상한 허버트 하우프트먼은 수학자로 결정학에서 직접법(Direct methods)을 고안한 업적으로 상을 받았으며 1998년 컴퓨터를 사용한 분자반응 연구방법 고안에 관한 업적으로 월터 콘과 함께 노벨상을 받은 존 포플은 영국 케임브리지 대학교에서 수학을 전공하여 박사학위를 받은바 있다.
~~노벨문학상 [61]~~ - 러셀의 역설로도 유명한 영국의 수학자이자 철학자인 버트런드 러셀은 1950년 노벨문학상을 받았다.

9.3. 관련 어록

All is number
모든 것은 수다.

- 피타고라스

논리학은 수학의 청년 시대이고, 수학은 논리학의 장년 시대이다. 출처1 출처2

- 버트런드 러셀

The fact that all Mathematics is Symbolic Logic is one of the greatest discoveries of our age.
모든 수학이 기호논리학이라는 사실은 가장 위대한 발견들 중 하나다.

- 버트런드 러셀

The mathematician's patterns, like the painter's or the poet's, must be beautiful; the ideas, like the colors or the words, must fit together in a harmonious way. Beauty is the first test; there is no permanent place in the world for ugly mathematics.
수학자의 패턴은 화가나 시인들의 작품처럼 아름다워야한다. 색체와 단어처럼 수학자의 아이디어도 조화로운 방식으로 어울려야 한다. 수학에서 가장 먼저 살펴봐야 할 것은 아름다움이다. 왜냐하면 이 세상에 추한 모습의 수학이 영원히 자리잡을 곳이란 존재하지 않는다.

- G. H. 하디

Das Wesen der Mathematik liegt in ihrer Freiheit.
수학의 본질은 그 자유로움에 있다.

- 게오르크 칸토어

수학에는 왕도[62]가 없다.[63]

- 유클리드

수학은 실로 굉장한 학문이네. 그리고 여러모로 우리에게 유용하네. 다만 장사꾼의 심정으로서가 아니라 철학자의 정신으로 숭상하게 되면 말이네.

- 소크라테스[64]

먼저 수학을 철저히 공부하지 않고는 아무도 하느님과 인간의 일들을 인식할 수 없습니다.

- 히포의 아우구스티누스

기하학(수학)을 모르는 자는 나의 아카데미아에 들어올 생각하지마시오.

- 플라톤

수학 없이 할 수 있는 것이 아무것도 없습니다. 여러분 주변에 모든 것이 수학입니다. 주변에 모든 것이 숫자입니다.

- 샤쿤탈라 데비[65]

수학은 언어이다. 내게 큰 영향을 줬던 고등학교 때 철학 선생님이 수로 세계를 설명할 수 있다 하셨는데, ‘너무 강한 표현이 아닐까’하고 생각했지만 연구를 거듭할수록 점점 더 그게 사실인 것 같다. 예를 들어, 물리나 화학은 수학 없인 설명이 불가능하다. 생물과 생명공학은 조금 덜하고. 어쩌면 감성적인 음악 말고는 수로 다 설명할 수 있을…까? 잘 모르겠다. 하지만 수학은 다른 과학자들이나 일반인들에게 완벽한 진실을 줄 수 있는 유일한 학문이다. 다른 과학은 진실을 대충 묘사할 뿐, 진짜 진실을 주지는 않는다. 수학은 진리, 진실을 추구하는 게임이다. O 아니면 X, 맞거나 틀리거나, 둘 중 하나이다. 수학이란 게임에는 ‘오직 진실만을 말하라(What you do should be true)’는 단 하나의 법칙만 있다. 완벽하고 영원한 진실 말이다.

- 장피에르 세르

수학은 인문학이라고 생각합니다. 천문학, 물리학 등은 자연이 만든 대상을 연구하는데 수학은 사람이 만들어 낸 걸 연구해요. 그런 면에서 철학, 문학과 오히려 결이 비슷하죠.

- 허준이

수학은 무모순이 용납하는 어떤 정의도 허락합니다. 수학자들 주요 업무가 그중 무엇을 쓸지 선택하는 것인데, 언어를 어떻게 사용할 것인가에 대한 가능한 여러 가지 약속 중 무엇이 가장 아름다운 구조를 끌어내는지가 그 가치의 잣대가 됩니다.

- 허준이

가우스는 수학은 과학의 여왕이고 정수론은 수학의 여왕이라 칭한 바 있다. 그러나 여기서 과학이란 독일어 단어 Wissenschaft를 번역한 것인데 Wissenschaft는 이공계열만이 아닌 학문 전반을 통칭한다. 즉, “수학은 학문의 여왕, 정수론은 수학의 여왕”이란 문장이다.

세종대왕은 과학이나 역법을 연구하기 위해 수학을 직접 공부하기도 했는데 수학을 공부하면서 “수학은 왕이 배울 학문이 아닐지도 모르나 이 또한 성인이 지정한 것이므로 알고자 한다”라는 말을 남겼다고 한다.

칸토어는 “수학의 본질은 자유다”라는 아주 유명한 말을 남겼다. 수학을 연구하는 방향은 어느 방향으로 연구해도 수학이 될 수 있다는 뜻 정도다.[66]

한편 수학의 황제 힐베르트는 자신의 연설에서 “제가 살아있는 동안 리만 가설은 증명될 것이며 페르마의 마지막 정리는 여기 앉아계신 관중들의 아이들이 죽기 전에 증명될 것이고

2^{\sqrt{2}}

이 초월수인지 아닌지는 우리의 몇 세대가 지나더라도 증명이 되긴 어려울 것입니다”라는 말을 남겼다. 그러나 이 예상은 ‘정반대로’ 진행됐는데 마지막 문제는 힐베르트가 죽기 전인 1930년에 증명되었고[67], 페르마의 마지막 정리는 1995년에 증명되었다.[68] 그리고 끝판왕 리만 가설은 아직 증명되지 않았다.

천재 수학자이면서 다양한 학문에 기여한 존 폰 노이만은 말년에 수학에 대해 얼마나 아는 것 같냐는 질문에 신중히 고민하다가 "28%"라고 대답한 일화가 있다. 언뜻 보면 천재 수학자가 수학에 대해 겨우 28%밖에 모른다고 대답한 게 겸손해 보이기도 하고 의아해 보이기도 하지만 이 대답의 진짜 의미는 "나는 현재 수학의 100%가 어느 정도인지 윤곽을 파악하고 있다."라는 의미다.

9.4. 관련 캐릭터

천재적인 면이나 괴짜적인 면을 부각시키려는 의도 정도로 픽션상에서는 캐릭터의 취미라기보다는 달고 사는 것 정도로 종종 나오는 경우도 있다. 아래는 그 예시. 수학교사 캐릭터에 관해서는 수학교사 문서 참조.

그녀는 천재다 - 이유리
눈의 여왕 - 한태웅
3번항목 로망 - 현자
마블 코믹스 - 아마데우스 조
멋진 이 세계 - 미나미모토 쇼
바이오쇼크 2 - 찰스 밀턴 포터 그리고 스포일러
방과후 레시피 - 윤호진 [69]
뷰티풀 마인드(영화) - 러셀 크로우
블루 아카이브 - 하야세 유우카
뿌요뿌요7, 뿌요뿌요!!, 뿌요뿌요 테트리스 - 안도 링고
사립 저스티스 학원 - 카가미 쿄스케
사이퍼즈 - 잉게 나이오비 [70]
세계를 멸망시키려는 천재소녀 때문에 내가 멘탈붕괴 - 엘르 화이트
세미와 매직큐브에 나오는 캐릭터 대부분
셜록 홈즈 시리즈 - 제임스 모리어티 [71]
수학 걸 - 주인공, 미르카, 테트라, 유리, 나라비쿠라 리사, 무라키 선생님 [72]
수학 잘하는 법
썸머 워즈 - 코이소 켄지 [73]
아이돌 마스터 신데렐라 걸즈 - 후타바 안즈
용의자 X의 헌신 - 이시가미 데츠야
월하의 동사무소 - 동장
이나즈마 일레븐 GO 갤럭시 - 마나베 진이치로 [74]
이상한 나라의 수학자 - 최민식
이야기 시리즈 - 오이쿠라 소다치
트랜스포머: Shattered Glass - 메가트론 수학 교수 출신이다.
특수전대 데카레인저 - 시라토리 스완
청춘 블라썸 - 김재현, 윤보미 [75]
칠흑의 샤르노스 - 교수, 안젤리카 덜레스
파운데이션 시리즈 - 해리 셀던
판타지 수학대전 - 미지수, 수학 그 외 작중 등장인물 대다수
퍼시픽 림 - 허먼 가틀립 [76]
포켓몬스터 Pt 기라티나 - 수철
포켓몬스터 블랙·화이트 - N [77]
피니와 퍼브 - 발지트 티진더
EBS MATH - 닥터 Y
EBS MATH - 세미
NUMB3RS - 찰리 앱스
Q.E.D. 증명종료 - 토마 소, 시드 그린

9.5. 수포자

자세한 내용은 수포자 문서 참고하십시오.

[1] maths(영), math(미)라고도 한다.[2] 예를 들어 덧셈과 뺄셈을 할 줄 알아야 곱셈과 나눗셈이 가능해지고 곱셈과 나눗셈을 할 줄 알아야 복소수, 벡터 등의 보다 고차원적인 셈을 할 수 있다. 미분과 적분은 중학교 및 고등학교 수학의 선행 단원을 모두 떼어야 도전할 수 있다.[3] 그도 그럴 게, 중학 수학 수준인데도 생소한 그리스 문자와 영어 알파벳이 나오는 수준이다! 당장 방정식부터 나오는 단어인 x, y, z축만 봐도 초등학생이나, 갓 배우기 시작하는 중학교 1학년 학생들은 '이게 뭐지?'라는 말 밖에 안 나올 정도로 복잡한 원리가 숨겨져 있다.[4] 흔히들 귀납논증을 개별적인 것의 공통요소를 파악하여 일반적인 것으로 나아가는 것, 연역논증을 절대적인 진리에 의해 도출되는 자명한 결론을 추구하는 것으로 보곤 하지만, 수학은 연역논증의 학문이면서도 확장적 사고를 진행한다는 점에서 특이하다. 수학은 근본적으론 주장에 대한 검증을 직관에 의존치 않는 엄밀하고 무모순한 논리적 증명으로 완수하는 연역논증의 학문이지만, 수학자들이 어떤 추측을 내놓고 어떤 방식으로 증명하여 이 아이디어에 근거한 다른 추측과 학문적 성과를 추구하는 행동양상만 바라보면 평범한 일반인들의 그것과 다를 바 없다. 유의미한 성과를 낸 논문과 그 연구를 진행하는 학자들의 다른 논문이 막연히 암시하는 바를 보고, 듣고, 만지고, 더듬어나가는 귀납적 삽질의 연속인 것이다. '이쯤 했으면 괜찮겠지' 따위의 자의적인 기준 따윈 전혀 없이 삽질 한번마다 반례 하나 용납치 않는 잔인무도한 무모순성 검증을 반복하느라 초보 학습자와 전문가들을 괴롭히며 수포자를 양산한다는게 문제일 따름이다.[5] 황당하게도, 허준이 박사를 매료시킨 학부 수준 위상수학을 공부하기 위해 반드시 필요한 선수과목은 실질적으로 집합론 하나 뿐이다. 독학이 아닌 교육과 강의에 있어서는 해석학입문 등 여러 과목이 추가될 수 있으나, 사실 수학과생들을 애먹이는 해석학의 백미 엡실론-델타 논법조차도 위상수학 수업에서는 실수공간에서의 현상에만 익숙한 해석학입문 수업의 그것에 비하면 훨씬 일반화한 형태로 가르친다. 오히려, 현실의 모델링에 적합한 유클리드 공간 같은 예외적이고 특수한 사례에 국한하여 전개하는 선수과목의 경험과 지식이 사고의 확장을 가로막는 편견과 장벽 노릇을 할 수도 있다. 단지 이런 유연하고 확장적인 사고방식을 아직 미성숙한 저학년생들에게 강요하다가는 수포자 만들기 십상이기 때문에 웬만큼 논리적 훈련을 반복하며 이골이 난 고학년생들에게 가르치는 것이다. 학문적으로 엄밀한 수학적 사고를 어린이들에게 강요하면 어떤 결과가 나는지는 제3차 교육과정이나 니콜라 부르바키, 스푸트니크 쇼크 문서의 새수학운동(현대수학운동) 관련 서술을 참조하라.[6] 그러나 대항해시대 보험회사들과 중증 도박꾼들의 야바위놀음에 불과했던 확률론을 엄밀하게 잘 정의된 공리적 확률론으로 바로세운 소련 수학자 안드레이 콜모고로프 등 이러한 주장에 반대되는 사례도 많다. 수학이라는 학문을 어떻게 바라보는지에 대한 차이는 지역적, 문화적 차이라기보다는 그냥 그 수학자의 성향인 것이다.[7] 실제로 해석학, 위상수학, 수리논리학 같은 걸 보면 '이게 숫자랑 무슨 관련이 있지?' 하고 혼란을 겪을 수 있다. 그나마 해석학은 숫자를 은근히 보는 것에 비해, 위상수학과 수리논리학은 숫자는 거의 볼 수 없고 오히려 국어과, 그중에서 작문 과목과 비슷하다는 느낌이 강하다.[8] 물론 이 정의도 심화과정에서는 들어맞지 않는다. 공리적 집합론이나 범주론, 모형론처럼 고도로 추상화된 분야까지 들어가면 숫자는 장식이다.[9] 서양 일반인들 사이에서는 '산수'와 '수학' 간의 영역 구분(상하위)이 명확하다. 산수(산술)는 Arithmetic이라는 이름으로 불리며, 이 명칭은 전공자들에겐 가장 원초적인 수학분야로 꼽히는 정수론을 가리키는 의미로 쓰이기도 한다. 반면에 동양 일반인들 사이에서는 '수학=산수'로 동일시하는 경향이 있다. 산수는 수학의 수많은 영역 중 하나일 뿐이라는 걸 알아둘 필요가 있다. 수능수학만 생각해봐도 산수가 차지하는 비중은 거의 없다. 대부분은 교과서의 수학적 개념을 떠올리고 계산은 답을 도출하기 위해 ‘어쩔수 없이’ 하는 것일 뿐이다. 오히려 수학자들은 계산을 매우 귀찮아(?)하다못해 계산을 해봤자 소용이 없는지, 하면 유한시간 내에 끝장을 볼 수 있는지, 끝을 못 봐도 얼마나 컴퓨터를 돌려야 얼마나 정확한 결과를 얻을 수 있는지 따위를 연구하는 학문도 있다.[예] 수리하다(고치다), 수리수문학(물과 강둑에 대해서 다루는 학문)[11] 니콜라 부르바키는 메타수학 대신 실용(...)적인 수학을 하는 자신 같은 수학자들을 working mathematician으로 칭하기도 했다.[12] 그나마 icm 최초의 동양인 수리논리학분야 초청강연자인 연세대학교 수학과 김병한 교수의 귀국과 한국수리논리학회의 발전 등으로 인해 조금 숨통이 트여가고 있긴 하다.[13] curve(곡선), surface(곡면), polynomial equation(다항방정식으로 나타낼 수 있는 곡선, 곡면 등) 등 비교적 구체적인 대상에 속한다.[14] 시각화는 오히려 인간의 사고에 있어 오개념이나 퍼뜨리는 장애물 노릇을 할 수도 있다는 취지에서 그림을 전혀 쓰지 않는 교과서도 있다.[15] 역은 성립하지 않는다. 칸토어 집합은 셀 수 없는 무한집합이지만 측도가 0이다.[16] 비슷한 예로 심리학도 이러한 논란이 많은 학문인데 한국에서는 문과로 분류하지만 뇌의학 같은 분야와의 관계를 많이 집어넣어 이과로 분류하는 국가/대학도 많다. 사실 한국에서도 국립중앙도서관에서는 심리학 도서가 자연과학 서가에 꽂혀있다. 통계학과가 문과로 편제된 고려대학교의 도서관에서도 통계학 서적을 자연과학 서적으로 분류한다.[17] 제임스 와트의 원심 조속기, Harold Black의 OP amp에 네거티브 피드백을 가한 시도, 항공공학, 기타 등등.[18] 로봇, 항공공학, 전력 스마트 그리드 등[사실] 제어공학과 제어이론은 이 두 단어의 의미와 차이가 엄밀하고 표준적으로 잘 정의된 단어는 아니다. 그래도 일반적인 용례를 확인하고 싶다면 위키피디아의 Control Engineering과 Control Theory 항목을 참고하도록 하자.[20] 사실 이쯤되면 이러한 연구에서 다루는 시스템들은 실제 세상에서 접하기 어려운 가상의 것들에 가까워지는 경우가 많다.[21] https://www.lgsl.kr/sto/stories/76/IQEX2011010009[22] http://www.tiem.utk.edu/~gross/bioed/webmodules/DNAknot.html[23] https://en.wikipedia.org/wiki/Topoisomerase[24] https://en.wikipedia.org/wiki/DNA_supercoil[25] #[26] 단, 인공신경망의 경우 네트워크를 학습시키는 알고리즘이 과연 실제 뇌에서 일어나는 학습 방식과 유사한가에 대한 논란이 끊임없이 제기되어 왔다. 대표적인 논의 거리가 고전적인 인공신경망 모델인 다층 퍼셉트론(multi-layer perceptron)을 학습시키는 역전파(back-propagation) 알고리즘. 공학 관점에서 인공신경망에 접근하는 이들에게는 그리 큰 문제가 아니지만, 수리심리학/계산신경과학의 관점에서 이를 연구하는 경우는 꽤 복잡한 문제가 된다.[27] 게임이론은 공학에서도 많이 쓰인다.[28] 사실 체질인류학은 말이 사회과학이지, 인족 집단의 분류와 분화 과정을 생물학적으로 분석하는 학문으로, 사실상 자연과학에 더 가까운 분야다.[29] 문학은 예술이고 언어학은 과학이다.[30] 당시 프린스턴 대학은 이것을 인정하지 않아 그는 결국 수학계를 떠나지만, 1992년 지루한 소송 끝에 드디어 수학 박사 학위를 받을 수 있었다.[31] https://en.wikipedia.org/wiki/Set_theory_(music)[설명] 위: 대수학, 선형대수학, 대수적 정수론, 대수 기하학, 확률론, 이산수학, 암호학
아래: 해석학, 복소해석학, 해석적 정수론, 미분 기하학, 위상수학, 매듭이론, 수리 논리학[33] 또모르지라는 별명이 있다.[34] 기하 주제에(?) 선형대수학, 미적분학 등 다른 과목 책과 같이 보면서 공부해야 하는데다 그놈의 계산량 때문에 미친기하라는 이름으로 곧잘 불린다.[35] 공대 교육과정으로 경제, 경영 등 문과에서 배우는 통계학과 다르며, 수리통계학의 응용 버전에 가깝다.[36] 수리통계학이나 공대의 통계학과 다르게 미분적분학을 배우지 않았다는 가정 하에 통계학의 기초와 활용에 대해 다룬다.[37] 전기전자공학과 계열에서 흔히 확률과 랜덤 프로세스라는 과목으로 불리기도 한다. 산업공학과 등에서는 OR 확률 등으로 부르기도 한다.[38] 참고로 중국 내에서만 수상하는 Chern Prize 라는 상도 있다.[39] https://en.wikipedia.org/wiki/Breakthrough_Prize_in_Mathematics[40] https://en.wikipedia.org/wiki/Shaw_Prize[41] https://en.wikipedia.org/wiki/Oswald_Veblen_Prize_in_Geometry[42] https://en.wikipedia.org/wiki/Cole_Prize[43] https://en.wikipedia.org/wiki/B%C3%B4cher_Memorial_Prize[44] https://en.wikipedia.org/wiki/Fulkerson_Prize[45] https://en.wikipedia.org/wiki/Salem_Prize[46] https://en.wikipedia.org/wiki/Lo%C3%A8ve_Prize[47] https://en.wikipedia.org/wiki/Rollo_Davidson_Prize[48] https://en.wikipedia.org/wiki/Association_for_Symbolic_Logic[49] https://en.wikipedia.org/wiki/Hausdorff_Medal[50] https://en.wikipedia.org/wiki/Fermat_Prize[51] https://en.wikipedia.org/wiki/Ostrowski_Prize[52] https://en.wikipedia.org/wiki/Clay_Research_Award[53] https://en.wikipedia.org/wiki/European_Mathematical_Society[54] 최초의 기계식 계산기로 여겨지는 파스칼 계산기를 발명했다. 파스칼 계산기는 덧셈과 뺄셈이 가능하며, 뺄셈은 보수법을 사용해 계산한다.[55] 이진법을 발명하였고, 덧셈과 뺄셈만 가능한 파스칼의 계산기에서 더 나아가서 곱셈과 나눗셈도 가능한 라이프니츠 계산기를 발명하였다.[56] 차분기관과 해석기관[57] P-NP 문제를 제안한 것으로도 유명하다.[58] https://en.wikipedia.org/wiki/International_Prize_in_Statistics[59] https://en.wikipedia.org/wiki/COPSS_Presidents%27_Award[60] https://dl.dongascience.com/magazine/view/S202011N020[61] 당연히 수학을 연구한다고 노벨문학상을 받지는 않는다. 자연과학이나 경제학과는 달리 문학과 수학은 연결점을 찾기 어려운 분야이기 때문에 그런 의미에서는 양쪽 분야에서 뛰어난 업적을 남긴 버트런드 러셀이 수학자이면서 노벨문학상을 받은건 정말 특이한 케이스이다. 물론 버트런드 러셀 이외에 문학적 능력을 가진 수학자가 없는건 아니다 예를들면 오마르 하이얌, 루이스 캐럴, 루디 러커 등이 있다.[62] 어떤 일을 쉽게 해결하기 위한 방도. 쉽게말해 꼼수.[63] 본래는 "기하학에 왕도가 없다"이다. 메나이크모스 또는 아리스토텔레스가 했다는 이야기도 있다.[64] 플라톤의 <국가론>에서 소크라테스가 한 말이므로 플라톤의 생각으로 봐도 무방하다.[65] Shakuntala Devi 1929~2013. 인도의 저술가.[66] 아이러니한 사실은 어떠한 수학을 시작하기 위해서는 먼저 공리가 필요한데 이는 ‘제한’ 이 필요하다는 사실과 비슷하다. 즉 수학의 분야를 추가시키려면 제한을 추가해야 한다는 소리. 더욱 아이러니한 건 이 제한들을 조금만 바꿔도 또 다른 수학이 될 수 있으므로 제한을 가하는 방식 자체의 자유도 존재한다. 즉, 여기서도 칸토어의 명언이 적용된다. 규범 하에서의 자유라고 이해할 수 있다. 현실에서도 꼴리는 대로만 살면 자유가 아니라 방종이라고들 하잖는가. 규범 아래에서 논리성만 보장되면 무엇이든 가능한데 규범부터가 근본적으로 마음대로 정할 수 있는 것이다.[67] 더 일반적인 경우인 Gelfond–Schneider theorem은 1934년에 증명됨.[68] 갓난아이 관중이 있었다면 흰머리 훌훌 날리는 할머니, 할아버지가 되었을 때 증명 소식을 들었을 수도 있다.[69] 수학을 잘한다고 나와있다.[70] 일단 직업은 수학자지만 별 관련은 없다.[71] 수학에 관한 천재라고 소개되며 대외적인 직업은 수학 교수였다.[72] 소설 형태의 수학 교양서인 만큼 등장인물 대다수가 상당한 수준의 수학 실력을 보유하고 있다.[73] 수학 영재라고 소개되고 작중에서도 수학적으로 대단한 활약을 하지만... 실제로는 말이 안 된다. 문서 참조.[74] 일본 계산콘테스트 우승자, 공 각도계산부터 선수가 멈출 수 있는 위치까지 계산한다.[75] 둘다 수학을 가르칠 정도로 수학을 잘하는 것로 추정된다.[76] 수학은 신의 언어라며 칭송한다. 실제로 작중에 잠깐 지나가는 장면을 보면 정말 상당한 실력을 보유한듯.[77] N의 초기 설정에 따르면 수학의 마술사라 불릴 정도로 수학에 뛰어난 천재다.