| 정수론 Number Theory | |||
| {{{#!wiki style="margin: 0 -10px -5px; min-height: calc(1.5em + 5px)" {{{#!folding [ 펼치기 · 접기 ] {{{#!wiki style="margin: -5px -1px -11px" | 공리 | ||
| 페아노 공리계 · 정렬 원리 · 수학적 귀납법 · 아르키메데스 성질 | |||
| 산술 | |||
| 나눗셈 | 약수·배수 | 배수 · 약수(소인수) · 소인수분해(목록 · 알고리즘) · 공배수 · 공약수 · 최소공배수 · 최대공약수 | |
| 약수들의 합에 따른 수의 분류 | 완전수 · 부족수 · 과잉수 · 친화수 · 사교수 · 혼약수 · 반완전수 · 불가촉 수 · 괴짜수 | ||
| 정리 | 베주 항등식 · 산술의 기본정리 · 나눗셈 정리 | ||
| 기타 | 유클리드 호제법 · 서로소 | ||
| 디오판토스 방정식 | 페르마의 마지막 정리 · 피타고라스 세 쌍 · 버치-스위너턴다이어 추측(미해결) | ||
| 모듈러 연산 | |||
| 잉여역수 · 2차 잉여 · 기약잉여계 · 완전잉여계 · 중국인의 나머지 정리 · 합동식 · 페르마의 소정리 · 오일러 정리 · 윌슨의 정리 | |||
| 소수론 | |||
| 수의 분류 | 소수 · 합성수 · 메르센 소수 · 쌍둥이 소수(사촌 소수 · 섹시 소수) · 페르마 소수 · 레퓨닛 수 | ||
| 분야 | 대수적 정수론(대수적 정수론/심화) · 해석적 정수론 | ||
| 산술함수 | 뫼비우스 함수 · 소수 계량 함수 · 소인수 계량 함수 · 약수 함수 · 오일러 파이 함수 · 폰 망골트 함수 · 체비쇼프 함수 · 소수생성다항식 | ||
| 정리 | 그린 타오 정리 · 페르마의 두 제곱수 정리 · 디리클레 정리 · 소피 제르맹의 정리 · 리만 가설(미해결) · 골드바흐 추측(미해결)(천의 정리) · 폴리냑 추측(미해결) · 소수 정리 | ||
| 기타 | 에라토스테네스의 체 · 윌런스의 공식 | ||
Wilson's Theorem.
1. 개요
대부분의 정수론 교재에 등장하는 정리. 수학자 존 윌슨의 이름을 땄다. 1770년에 수학자 에드워드 웨어링(Edward Waring)이 이 정리를 발표했으나, 자기 자신이나 제자 윌슨도 증명을 하지 못했다. 일단 공식적인 첫 증명은 1771년에 라그랑주에 의해 발표되었다. 자세한 정리는 아래와 같다.[math(p)]가 2 이상의 자연수일 때, [math(p)]가 소수일 필요충분조건은 [math(\left(p-1\right)!\equiv-1\left(\text{mod}\,p\right))]이다.
이 방법은 소수 판정법에 이용할 수 있으나 팩토리얼을 구하는 시간에 1부터 제곱근까지 하나씩 나눠보는 게 빠르다.2. 증명
증명에 앞서 합동식에 관한 내용과 잉여계, 잉여역수에 관한 내용을 꼭 알아야 한다. 먼저 도움정리부터 증명하자.2.1. 도움정리
[math(p)]가 소수이고, [math(k)]는 [math(0<k<p)]인 정수라고 할 때, [math(k^2\equiv1\left(\text{mod}\,p\right))]이면 [math(k=1)] 또는 [math(k=p-1)]이다. 그 역도 성립한다.
증명| [math(k=1)]이면 [math(k^2\equiv1\left(\text{mod}\,p\right))]이다. 또한, [math(k=p-1)]이면, [math(k^2=p^2-2p+1\equiv1\left(\text{mod}\,p\right))]이다. 역으로, [math(k^2\equiv1\left(\text{mod}\,p\right))]라고 가정하자. 그러면 [math(p\mid\left(k^2-1\right)=\left(k-1\right)\left(k+1\right))]이다. [math(p)]가 소수이므로, [math(p\mid\left(k-1\right))]또는 [math(p\mid\left(k+1\right))]이다. [math(p\mid\left(k-1\right))]를 만족하는 [math(p)]이하의 양의 정수 [math(k)]는 오직 1뿐이고, [math(p\mid\left(k+1\right))]을 만족하는 [math(p)]이하의 양의 정수 [math(k)]는 오직 [math(p-1)]뿐이다. |
2.2. 증명
[math(p)]가 소수라고 가정하자. 그럼 임의의 [math(k\in\left\{1,2,\cdots,p-1\right\})]에 대하여 [math(k)]와 [math(p)]는 서로소이다. 그러므로 적당한 정수 [math(a,b)]에 대해 [math(ak+bp=1)]이 성립하고,[1] 곧 [math(ak\equiv1\left(\text{mod}\,p\right))]이다. 법 [math(p)]에 대하여 [math(a\in\left\{1,2,\cdots,p-1\right\})]이므로 [math(\left\{1,2,\cdots,p-1\right\})]의 모든 원소의 법 [math(p)]에 대한 잉여역수는 같은 집합의 원소이다. 특히, 도움정리에 의해 [math(1)]과 [math(p-1)]은 자기 자신이 잉여역수이다. 나머지 [math(2,3,\cdots,p-2)]는 두 원소씩 쌍으로 법 [math(p)]에 대해 잉여역수 관계이고, 따라서 [math(\left(p-1\right)!\equiv1\cdot2\cdots\left(p-2\right)\cdot\left(p-1\right)\equiv1\cdot1\cdot\left(p-1\right)\equiv p-1\equiv -1\left(\text{mod}\,p\right))]이다.역으로 [math(\left(p-1\right)!\equiv-1\left(\text{mod}\,p\right))]라고 가정하자. 그러면 [math(\left(p-1\right)!+1=kp)]를 만족하는 정수 [math(k)]가 존재한다. [math(p=ab,\,\left(1\leq a,b\leq p\right))]라 가정하자. 만약 [math(a=p)]이면 [math(b=1)]이고 이는 곧 [math(p)]가 소수임을 의미한다. [math(a<p)]라고 가정하면, [math(a\in\left\{1,2,\cdots,p-1\right\})]이므로 [math(a\mid\left(p-1\right)!)]이다. 그리고 [math(a\mid p)]이고, [math(\left(p-1\right)!+1=kp)]이므로 [math(a\mid1)]이다. 이를 모두 만족하는 값은 [math(a=1)]밖에 없고, 따라서 [math(b=p)]이다. 곧 [math(p)]는 소수이다.