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Polignac's conjecture
1. 개요
임의의 짝수 [math(2k)]에 대하여 [math((p, p+2k))]인 소수 순서쌍은 무수히 많다는 추측. [math(k=1)]이면 쌍둥이 소수, [math(k=2)]이면 사촌 소수, [math(k=3)]이면 섹시 소수에 관련된 문제가 되는 식이다.2. 진행 상황
폴리냑의 추측은커녕 [math(k=1)]인 경우(쌍둥이 소수 추측)조차도 증명되지 않았다(...).[1]그런 와중에 더 일반화된 추측들이 있는데, 위의 [math(p+2k)] 꼴을 [math(ap+b)] 꼴의 선형식으로 발전시킨 딕슨 추측(Dickson's conjecture), 여기서 한 발 더 나아가 임의의 정수 위에서 정의되며 최고차항의 계수가 양수이고 다른 다항식에 의해 나누어지지 않는(irreducible) 다항식들을 모았을 때 그 방정식들이 임의의 수 [math(n)]에 대해 모두 소수를 나타내기 위한 조건을 나타내는 신첼의 가설 H(Schinzel's hypothesis H)가 있다. H는 오타가 아니라 정말 추측 이름이다. 다만 논문에서는 H는 주로 생략한다.
신첼의 가설은 다음의 두 명제가 각각 성립가능하며 상호 모순임을 증명하는 것이다. 이 가설이 성립함은 어떤 자연수 [math(N)]도 두 소수 [math(p, q)]에 대해 [math(N=\frac{p+1}{q+1})] 꼴로 나타낼 수 있음에 동치이며, 이는 Conroy(2001)에서 [math(N=10^9)]까지는 증명되어 있다.
양의 정수 [math(n)]과 최고차항의 계수가 양수이고 나누어지지 않는 다항식 꼴의 일변수 함수 [math(f_1, f_2, \cdot\cdot\cdot, f_k:\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z})]에 대해
1.[math(f_1(n), f_2(n), \cdot\cdot\cdot, f_k(n))]이 모두 소수가 되는 [math(n)]이 무수히 많다.
2.주어진 다항식 [math(f_1, f_2, \cdot \cdot \cdot, f_k)]에 종속하는 적절한 상수 [math(m>1)]이 존재해 모든 [math(n)]에 대해 [math(f_1(n)f_2(n)\cdot\cdot\cdot f_k(n))]이 [math(m)]으로 나누어 떨어진다.
1.[math(f_1(n), f_2(n), \cdot\cdot\cdot, f_k(n))]이 모두 소수가 되는 [math(n)]이 무수히 많다.
2.주어진 다항식 [math(f_1, f_2, \cdot \cdot \cdot, f_k)]에 종속하는 적절한 상수 [math(m>1)]이 존재해 모든 [math(n)]에 대해 [math(f_1(n)f_2(n)\cdot\cdot\cdot f_k(n))]이 [math(m)]으로 나누어 떨어진다.
예시를 들기에도 정말 증명된 부분이 없기 때문에 '반칙'을 사용한 예시를 사용한다. [math(f(x)=3x-6)]이라 하자.(반칙인 이유는 [math(3(x-2))]로 인수분해가 가능한 식이므로 조건에 완전히 부합하지 못 한다.) 1.조건을 성립시키는 수는 [math(x=3)] 뿐이다. 그렇다면 2.조건을 만족해야 하는데 3이 항상 이 식을 나누므로 참이다. 반칙을 사용하지 않는다면 [math(g(x)=x^2-x+2)] 같은 예시를 쓸 수 있다. [math(g(x)=x(x-1)+2)]는 항상 짝수이고 [math(g(x))]가 소수인 [math(x)]는 0,1밖에 없음이 자명하므로 2.가 성립하고 1.이 성립하지 않는다.
위에서 든 예시처럼 [math(k=1)], 즉 유일한 함수를 제시했을 때 1.과 2.는 상호모순임을 알 수 있다. 그러나 이것이 임의의 [math(n)]에 대해 소수를 생성하느냐를 증명하거나 반례를 제시해야 성립하기 때문에 성립가능에 관해선 아직도 증명된 것이 턱없이 부족하다.
위에서 언급되었듯 쌍둥이 추측조차 완전히 증명이 되지 않아 소개할 수 있는 부분이 많지 않으므로(...)[2]신첼의 가설 H의 일반화(임의의 일변수 체에서 환으로 보내는 사상)가 거짓임을 증명하는 반례를 소개하는 것으로 갈음한다. 1962년 스완에 의해 제기된 반례로 환 [math(F_2[u])][3]에 대해 [math(f(x)=x^8+u^3)]은 식 그 자체로는 인수분해가 불가능하지만 어떤 [math(x\in F_2[u])]에 대해서도 더 낮은 차수의 [math(F_2[u])]의 원소로 인수분해가 가능한 식임이 증명되어 있다. 하지만 [math(f(0)=u^3, f(1)=u^3+1)]은 서로소이다. 즉 1.이 성립하지 않지만 2.가 성립함을 보증할 수 없다.[4]
[1] 장이탕 교수의 증명과 수학자들의 추가 연구로 최근에는 123보다 작은 적어도 하나의 k에 대하여 참임이 증명되었다.[2] 골때리게도 [math(x^2+1)]이 무수히 많은 소수를 가지는가조차도 아직 증명을 못 했다. 이와니엑이 일반화해 임의의 [math(f(0))]이 홀수인 이차식 [math(f)]가 2개 이하의 소인수의 곱으로 나타낼 수 있는 경우가 무수히 많음을 증명한 것이 현재까지 제일 근접한 성과이다. 푸앵카레 추측 마냥 고차원이 더 증명하기 쉽다면 다행이겠지만 복소차원으로는 리만 가설이 있고 일차식으로는 이 항목에 소개된 것들로 빈틈이 없는 것이 소수 문제다.[3] 즉 모든 원소가 [math(u)]에 대한 다항식으로 그 계수가 모두 0 또는 1인 환[4] 2.조건은 [math(m)]의 어떤 소인수 [math(p)]가 함숫값 [math(f_1(n), f_2(n), \cdot\cdot\cdot, f_k(n))] 중 적어도 하나를 나누어야 함과 동치이다. 이 성질은 UFD(Unique Factorization Domain)에서 확장되어 여기에 속하는 소수가 임의의 두 원소의 곱을 나눈다면 소수는 두 원소 중 어느 하나를 나누어야 한다. [math(F_2[u])]는 특정한 성질을 가지지 않는 임의의 변수 [math(u)]에 대한 [math(\Z_2)]위에서 계수들의 연산이 정의되는 다항식의 집합이므로 UFD이다.