| 정수론 Number Theory | |||
| {{{#!wiki style="margin: 0 -10px -5px; min-height: calc(1.5em + 5px)" {{{#!folding [ 펼치기 · 접기 ] {{{#!wiki style="margin: -5px -1px -11px" | 공리 | ||
| 페아노 공리계 · 정렬 원리 · 수학적 귀납법 · 아르키메데스 성질 | |||
| 산술 | |||
| 나눗셈 | 약수·배수 | 배수 · 약수(소인수) · 소인수분해(목록 · 알고리즘) · 공배수 · 공약수 · 최소공배수 · 최대공약수 | |
| 약수들의 합에 따른 수의 분류 | 완전수 · 부족수 · 과잉수 · 친화수 · 사교수 · 혼약수 · 반완전수 · 불가촉 수 · 괴짜수 | ||
| 정리 | 베주 항등식 · 산술의 기본정리 · 나눗셈 정리 | ||
| 기타 | 유클리드 호제법 · 서로소 | ||
| 디오판토스 방정식 | 페르마의 마지막 정리 · 피타고라스 세 쌍 · 버치-스위너턴다이어 추측(미해결) | ||
| 모듈러 연산 | |||
| 잉여역수 · 2차 잉여 · 기약잉여계 · 완전잉여계 · 중국인의 나머지 정리 · 합동식 · 페르마의 소정리 · 오일러 정리 · 윌슨의 정리 | |||
| 소수론 | |||
| 수의 분류 | 소수 · 합성수 · 메르센 소수 · 쌍둥이 소수(사촌 소수 · 섹시 소수) · 페르마 소수 · 레퓨닛 수 | ||
| 분야 | 대수적 정수론(국소체) · 해석적 정수론 | ||
| 산술함수 | 뫼비우스 함수 · 소수 계량 함수 · 소인수 계량 함수 · 약수 함수 · 오일러 파이 함수 · 폰 망골트 함수 · 체비쇼프 함수 · 소수생성다항식 | ||
| 정리 | 그린 타오 정리 · 페르마의 두 제곱수 정리 · 디리클레 정리 · 소피 제르맹의 정리 · 리만 가설(미해결) · 골드바흐 추측(미해결)(천의 정리) · 폴리냑 추측(미해결) · 소수 정리 | ||
| 기타 | 에라토스테네스의 체 · 윌런스의 공식 | ||
| 특수함수 Special Functions | ||
| {{{#!wiki style="margin: 0 -10px -5px; min-height: calc(1.5em + 5px)" {{{#!folding [ 펼치기 · 접기 ] {{{#!wiki style="margin: -5px -1px -11px; word-break: keep-all" | <colbgcolor=#383B3D><colcolor=#fff> 적분 | 오차함수(error function)(가우스 함수 · 가우스 적분 함수) · 베타 함수(불완전 베타 함수) · 감마 함수(불완전 감마 함수 · 로그 감마 함수) · 타원 적분 · 야코비 타원 함수 · 지수 적분 함수 · 로그 적분 함수 · 삼각 적분 함수 · 쌍곡선 적분 함수 · 프레넬 적분 함수 · 구데르만 함수 |
| 미분방정식 | 르장드르 함수[math(^\ast)] (구면 조화 함수) · 베셀 함수 · 에르미트 함수 · 라게르 함수 · 에어리 함수 | |
| 역함수 | 브링 근호 · 람베르트 W 함수 · 역삼각함수 | |
| 급수 | 제타 함수 · 후르비츠 제타 함수 · 세타 함수 · 초기하함수 · 폴리로그함수 · 폴리감마 함수 · 바이어슈트라스 타원 함수 | |
| 정수론 | 소수 계량 함수 · 소인수 계량 함수 · 뫼비우스 함수 · 최대공약수 · 최소공배수 · 약수 함수 · 오일러 피 함수 · 폰 망골트 함수 · 체비쇼프 함수 · 바쁜 비버 함수 | |
| 기타 | 헤비사이드 계단함수 · 부호 함수 · 테트레이션(무한 지수 탑 함수) · 지시함수 · 바닥함수 / 천장함수 · 허수지수함수 · 혹 함수 | |
| [math(^\ast)] 특수함수가 아니라 특정 조건을 만족시키는 다항함수이지만, 편의상 이곳에 기술했다. | ||
| 수학 | 교과 내용 요소 | ||
| {{{#!wiki style="margin: -0px -10px -5px; min-height: 26px" {{{#!folding [ 펼치기 · 접기 ] {{{#!wiki style="margin:-6px -2px -12px" | [참고] 이 틀은 중학교 수학 내용 요소만을 담고 있습니다. | |
| <colbgcolor=#2667a9><colcolor=white> ㄱ | <colbgcolor=#fff,#191919> 가감법 · 각도 · 규칙 · 각기둥 · 곱셈 공식 · 공약수 · 그래프 · 각뿔대 · 겉넓이 · 거듭제곱 | |
| ㄴ | 내각 · 내접 · 농도 | |
| ㄷ | 다각형 · 도형 · 등식 · 다항식 (단항식) · 도수분포표 · 대입법 · 대푯값 · 동위각 · 도수분포다각형 ·등변사다리꼴 | |
| ㅁ | 막대그래프 · 무리수 · 미지수 · 면 · 맞꼭지각 · 마름모 | |
| ㅂ | 부채꼴 · 부피 | |
| ㅅ | 소수 · 사각형 · 삼각형 · 삼각비 · 실수 · 소인수분해 · 순환소수 · 사분면 · 선 · 수선 · 선분 · 상대도수 · 산포도 · 산점도 · 수직이등분선 | |
| ㅇ | 원 · 원기둥 · 일차방정식 · 이차방정식 · 유리수 · 유한소수 · 일차함수 · 연립방정식 · 이차함수 · 완전제곱식 · 외각 · 엇각 · 외심 · 이등변삼각형 · 원주각 · 원주율 | |
| ㅈ | 자연수 · 좌표평면 · 제곱근 · 정수 · 점 · 작도 · 전개도 · 중선 · 중근 · 지수 · 직사각형 | |
| ㅊ | 최소공배수 · 최대공약수 | |
| ㅍ | 피타고라스 정리 · 평행선 · 평행사변형 | |
| ㅎ | 함수 · 합동 · 히스토그램 · 합성수 · 회전체 · 현 · 확률 | |
1. 개요
最小公倍數 · least common multiple, LCM초등학교 5학년 때 약수(divisor or factor)와 배수(multiple)를 배운 뒤에 최대공약수(greatest common divisor or greatest common factor) 와 함께 배우게 되는 내용. 공배수(common multiple)란, 이름에서 알 수 있듯이 두 수, 혹은 그 이상의 수들의 공통인 배수라는 뜻이다. 최소공배수(least common multiple)는 당연히 공배수 중에서 가장 작은 것. 두 수 [math(a,b)]의 최소공배수를 기호로 [math(\text{lcm}\left(a,b\right))] 혹은 [math(\text{LCM}\left(a,b\right))]로 표기하며,[1] 더욱 줄이면 [math(\left[a,\,b\right])]로 표기하기도 한다.[2]
간혹 최대공배수로 잘못 부르는 경우가 있는데, 최대공배수는 존재하지 않는다. 공배수는 한없이 커지므로, 가장 큰 숫자를 정의할 수 없기 때문이다. 마찬가지로 최소공약수 또한 어떤 수 집합이든 무조건 1이므로 의미가 없다.
2. 찾는 법
예시로 두 수 10, 12의 공배수를 찾고 싶다고 하자. 먼저 두 수의 배수를 쭉 나열한다.10: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, ...
12: 12, 24, 36, 48, 60, 72, ...
여기서 위아랫줄 동시에 나타나는 수가 바로 공배수이다. 최소공배수는 앞서 설명했듯이 공배수 중 가장 작은 것. 이 예시의 경우에는 60이 최소공배수가 된다. 같은 방법으로 세 수 이상의 최소공배수도 구할 수 있다.12: 12, 24, 36, 48, 60, 72, ...
하지만 숫자를 나열하는 방법으로 최소공배수를 찾는게 힘들다면? 이 때는 소인수분해를 이용해서 최소공배수를 찾는다. 10과 12를 각각 소인수분해하면,
[math(10=2\cdot5)]
[math(12=2^2\cdot3)]
이제 중복되는 소인수는 차수가 큰 횟수만큼, 그리고 나머지 소인수를 모두 곱해주면 그 값이 최소공배수이다. 위 예시에서는 2를 두 번,[3] 3을 한 번, 그리고 5를 한 번 곱한 값, 즉 60이 최소공배수가 된다. 특히, 숫자가 서로소이면, 그냥 아무런 생각도 하지않고 두 수를 곱해주기만 하면 그 값이 최소공배수가 됨을 알 수 있다.[math(12=2^2\cdot3)]
위에서 봤듯이 최소공배수는 대수학적으로는 그 성질을 다루기가 매우 까다롭기 때문에 특수함수에 속한다.
최대공약수 [math(\gcd)]를 이용하는 방법도 있다. 최대공약수와 다음과 같은 관계가 성립한다:
[math(\mathrm{lcm}(a,\,b) = \dfrac{|ab|}{\gcd(a,\,b)})]
단, 최대공약수도 최소공배수도 모를 경우 순환논법이 될 수 있음을 주의해야 한다.
세 수 이상의 최소공배수를 구하려면 다음과 같이 함수를 계속 취해주면 된다.
세 수 [math(a,\,b,\,c)]에 대해서
[math(\mathrm{lcm}(a,\, b,\, c) = \mathrm{lcm}(\mathrm{lcm}(a,\, b),\, c) \equiv \dfrac{| abc |}{\gcd\left( \frac{| ab |}{\gcd(a,\,b)},\, c \right)})]
이 성립한다.
[math(\mathrm{lcm}(a,\, b,\, c) = \mathrm{lcm}(\mathrm{lcm}(a,\, b),\, c) \equiv \dfrac{| abc |}{\gcd\left( \frac{| ab |}{\gcd(a,\,b)},\, c \right)})]
이 성립한다.
3. 성질
두 정수 [math(a,b)]에 대하여,- [math(\text{lcm}\left(a,b\right)\mid ab)]
{{{#!folding [증명]
[math(\gcd\left(a,b\right)=G)]라 하자. 그럼 적당한 정수 [math(m)], [math(n)]에 대해 [math(a=Gm,b=Gn)], ([math(m,n)]은 서로소)가 성립한다. 이때, [math(\text{lcm}\left(a,b\right)=Gmn)]이다. 따라서, [math(\text{lcm}\left(a,b\right)=Gmn\mid G^2mn=ab)]
}}} - [math(\text{lcm}\left(a,b\right)\gcd\left(a,b\right)=ab)]
{{{#!folding [증명]
[math(\gcd\left(a,b\right)=G)]라 하자. 그럼 적당한 정수 [math(m,n)]에 대해 [math(a=Gm)], [math(b=Gn)], ([math(m,n)]은 서로소)가 성립한다. 이때, [math(\text{lcm}\left(a,b\right)=Gmn)]이다. 따라서, [math(\text{lcm}\left(a,b\right)\gcd\left(a,b\right)=G^{2}mn=ab)]
}}} - [math(a\mid \text{lcm}\left(a,b\right))]
- [math(b\mid \text{lcm}\left(a,b\right))]
4. n 이하의 모든 자연수의 최소공배수
| <colbgcolor=#CEF,#335566> n | <colbgcolor=#EEE,#2d2d2d> n 이하의 모든 자연수의 최소공배수 |
| 3 | 6 |
| 4 | 12 |
| 5, 6 | 60 |
| 7 | 420 |
| 8 | 840 |
| 9, 10 | 2,520 |
| 11, 12 | 27,720 |
| 13~15 | 360,360 |
| 16 | 720,720 |
| 17, 18 | 12,252,240 |
| 19~22 | 232,792,560 |
| 23, 24 | 5,354,228,880 |
| 25, 26 | 26,771,144,400 |
| 27, 28 | 80,313,433,200 |
| 29, 30 | 2,329,089,562,800 |
| 31 | 72,201,776,446,800 |
| 32~36 | 144,403,552,893,600 |
| 37~40 | 5,342,931,457,063,200 |