등식

수학과 학습 내용
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1. 개요2. 도입3. 종류

3.1. 항등식3.2. 방정식3.3. 기타

4. 성질5. 하위 문서6. 관련 문서

1. 개요

equation · 等式

등호가 있는 모든 식.

2. 도입

등식의 중간에는 등호가 들어간다.

다음의 등식을 고려해보자.

[math(\displaystyle ax+b=c)]

위 식은 등호로 연결돼있는 수식이므로 등식이다. 이때, 등호를 기준으로 좌측에 있는 것을 좌변이라 하고, 우측에 있는 것을 우변이라 한다. 이 둘을 합쳐서 양변이라 한다.

3. 종류

3.1. 항등식

변수의 값에 관계 없이 항상 성립하는 등식.

부정이라고도 한다.

예를 들어 삼각함수 항등식

[math(\displaystyle \sin^{2}{x}+\cos^{2}{x}=1)]

은 항등식이다. 좌변의 [math(x)]값에 관계 없이 항상 성립하기 때문이다.

3.2. 방정식

변수의 값에 따라 참, 거짓이 달라지는 등식.

예를 들어 변수 [math(x)]에 대하여 등식

[math(\displaystyle 2x+1=3)]

의 경우 [math(x=1)]인 경우에만 등식이 성립하고, [math(x\neq 1)]인 경우에는 등식이 성립하지 않는다.

3.3. 기타

언제나 성립하지 않는 거짓의 등식도 있다.

[math(1=2)]도 등식은 맞다. 단지 거짓인 등식일 뿐.
거짓인 등식 중 미지수가 포함되어 있는 경우 불능이라고도 한다.

함수를 표현하는 [math(y=f(x))]도 엄연한 등식이다.

4. 성질

반사 법칙

[math(a=a)]

대칭 법칙

[math(a=b)]이면, [math(b+a)]

추이 법칙

[math(a=b)]이고, [math(b=c)]이면, [math(c=a)]

등식의 양변에 같은 연산을 하여도 등식은 성립한다.

양변에 같은 수를 더해도 등식은 성립한다.

[math(a=b)]이면, [math(a+c=b+c)]

양변에 같은 수를 빼도 등식은 성립한다.

[math(a=b)]이면, [math(a-c=b-c)]

양변에 같은 수를 곱해도 등식은 성립한다.

[math(a=b)]이면, [math(ac=bc)]

위의 두 성질은 그 역도 참이지만, 이 경우는 0이라는 훌륭한 반례 덕에 이 명제의 역은 거짓이다. 그래서 같지 않다 기호 역시 0이 아닌 수를 곱해야만 같지 않다 기호가 유지된다.

양변에 0이 아닌 같은 수로 나누어도 등식은 성립한다.

[math(a=b)]이면, [math(\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{c})] (단, [math(c\neq 0)])

양변에 거듭제곱을 해도 등식은 성립한다.

[math(a=b)]이면, [math(a^c=b^c)] (단, [math(c)]는 정수)

이전까지의 설명은 "이 명제의 역은 거짓이다"인데, 양변에 [math(n)]제곱을 취하는 것의 역은 [math(n)]제곱근을 취하는 것인데, 이를 달리 말하면 [math(\boldsymbol n)]의 역수 제곱을 취하는 것과 동일하다. 이때 [math(n)]이 정수이면 [math(n)]이 0 또는 1이 아닌 한 [math(n)]의 역수는 반드시 정수가 아니게 되며, [math(n)]이 1일 경우 원래 수가 그대로 나오게 되어 역수 제곱을 취해도 역시 참이 되며, [math(n)]이 0일 경우 역 명제 자체가 존재하지 않는다. 따라서 [math(n)]이 정수일 때에만 성립한다고 말하면 자연스럽게 그 역은 거짓이 된다고 말할 수밖에 없다.

양변에 로그를 취하여도 등식은 성립한다.

[math(a=b)]이면, [math(\log_{c}{a}=\log_{c}{b})] (단, [math(c > 0)], [math(c \neq 1)])
[math(a=b)]이면, [math(\ln{a}=\ln{b})]

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