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1. 개요
三角比 / trigonometric ratios직각삼각형의 세 변의 길이 중 두 변의 길이간의 비례 관계를 나타내는 값이다. 일반적으로 비례 관계는 분수로 나타낸다. 또한 사인과 코사인은 반비례한다.
2. 기호와 그 기원
삼각비는 인도에서 처음으로 비롯되었고 이슬람세계에서 이를 발전시켰다. 많은 예상과는 달리 유럽이 이를 뒤늦게 받아들였다. [1]. 기호 [math(\sin)], [math(\cos)], [math(\tan)]도 인도에서 비롯되었으며, 각 기호를 '사인(sine)', '코사인(cosine)', '탄젠트(tangent)'라고 부르며, 이 표기는 이들을 세 개의 철자로 축약한 것이다.2.1. 사인
인도 천문학에서 나온 개념으로, 본래 어원은 산스크리트어 ज्या(jyā; 활시위)를 음차한 아랍어 جِيبَ(jība[2])이다. 하지만 아랍어는 모음을 일반적으로 표기하지 않아 사인을 جيب(jyb)로 표기했는데, 12세기의 유럽 번역가들이 라틴어로 번역하는 과정에서 모음을 잘못 추측한 탓에 단어를 جَيْب(jayb[3]; 옷깃, 유방)로 오인했고 그것을 라틴어 sinus(토가의 가슴 쪽 주름, 유방)로 번역 차용하게 된 것이다.2.2. 코사인
sine의 상보적인(complementary)이라는 뜻에서 cosine이 되었다.[4] 직각 삼각형에서 직각이 아닌 두 각을 더하면 반드시 [math(90\degree)]가 되므로[5] 사인을 정의하기 위한 각 [math(\theta)]에 대해 [math(\sin(90\degree - \theta))]를 단순히 [math(\theta)]만으로 나타내기 위한 삼각비를 코사인으로 정의한 것이다. 오늘날 사인과 코사인을 삼각비로 정의한 다음에 [math(\cos\theta=\sin(90\degree - \theta))]라는 관계가 있다는 식으로 표현을 많이 하지만, 역사적으론 사인이 먼저 정의가 되고 직각 삼각형에서 직각이 아닌 두 각의 합이 [math(90\degree)]로 일정하다는 관계로부터 코사인이 정의가 되었다.2.3. 탄젠트
접한다(touching)는 뜻의 라틴어 tangens에서 유래하였다. 탄젠트는 영어로 접선이라는 뜻을 갖는데, 반지름이 1인 단위원으로 삼각비를 정의할 때 접선의 길이를 이용하여 정의된다는 데에서 이름이 유래했다.2.4. 이들의 역수
사인, 코사인, 탄젠트의 역수는 각각 코시컨트([math(\csc)], [math(\cosec)][6]), 시컨트([math(\sec)])[7], 코탄젠트([math(\cot)])라고 한다. 한자어로는 사인을 정현(正弦), 코사인을 여현(餘弦), 탄젠트를 정접(正接, 正切(중국어)), 시컨트는 정할(正割), 코시컨트를 여할(餘割), 코탄젠트를 여접(餘接, 餘切(중국어))이라 한다.3. 상세
삼각비와 그들의 역수는 아래와 같이 정의된다.| |
위 나열된 분수식으로 기억하면 더 헷갈린다.[8] 삼각비는 구어적으로 이해하는 것이 중요하다. 항상 빗변의 길이를 나눠야 될 물리량으로 생각하면 직관적으로 적용할 수 있다. 밑변의 길이에서 나누면 코사인, 높이에서 나누면 사인이라고 한다. 일반인은 여기까지만 알면 된다.
좀 더 쉽게 이해하는 방법은 우선 직각이 쳐다보는 변[9]을 살펴 빗변을 먼저 확인[10]하고, 사인은 삼각비를 구하기 원하는 각이 쳐다보는 변의 길이를 빗변의 길이로 나누며, 코사인은 각에 걸쳐진 두 변 중 빗변이 아닌 각, 즉 해당 각의 밑에 있는 변의 길이를 빗변의 길이로 나눈다. 탄젠트는 각을 기준으로 밑에 있는 변의 길이를 분모에 쳐다보는 변의 길이를 분자에 넣어 구한다.
각 삼각비의 진로를 각각 s, c, t의 필기체처럼 그려놓고 외우는 암기법이 가장 성행하며, 교과서에도 실려있다.# 하지만 이러한 암기법은 직각이 반드시 오른쪽 하단에 위치해야만 쉽게 적용할 수 있고 그렇지 않은 경우에는 오히려 혼란스러운 방법이 될 수 있기 때문에 최초 정의에 충실하여 이해하는 것이 보다 일반화가 가능한 접근법이다.#
3.1. 단위원을 통한 해석
삼각비의 크기를 한 번에 시각화하여 다룰 수 있는 방법은 아래의 그림과 같이 좌표평면 1사분면 위에서 그린 단위원을 이용하는 방법이다.위 그림과 같이 중심이 원점인 단위원을 그리고, 원 위의 점 [math(\rm P)]를 잡자. 반지름 [math(\overline{\rm OP})]는 [math(x)]축과 양의 방향으로 [math(\angle {\rm POS}= A)]의 각을 이룬다. [math(\rm P)] 위에서 접선을 긋고, 이것이 [math(x)]축, [math(y)]축과 만나는 점을 각각 [math(\rm S)], [math(\rm K)]라 하자. 또, 이때 점 [math(\rm P)]에서 [math(x)]축, [math(y)]축에 내린 수선의 발을 각각 [math(\rm H)], [math(\rm I)]라 하자. 각각 닮은 삼각형과 엇각의 이유로
[math(\displaystyle \angle {\rm OKS}=\angle {\rm IPO}=A )]
임을 얻는다. 이때, 각 선분의 길이는 위 그림과 같은 결과를 지닌다. 예를 들어 코탄젠트의 경우 직각 삼각형 [math(\rm KPO)]에서
[math(\displaystyle \tan{A}=\frac{1}{\overline{\rm KP}} \quad \to \quad \overline{\rm KP}=\frac{1}{\tan{A}}=\cot{A} )]
임을 얻는다.
여기서 몇가지 유용한 공식을 얻는다. 피타고라스 정리를 적용함으로써
[math(\displaystyle \begin{aligned} \sin^{2}{A}+\cos^{2}{A}&=1 \\ 1+\tan^{2}{A}&=\sec^{2}{A} \\ 1+\cot^{2}{A}&=\csc^{2}{A} \end{aligned})]
또, 삼각형 [math(\rm OPS)]에서
[math(\displaystyle \begin{aligned} 1 \cdot \tan{A}=\sec{A}\sin{A} \quad \to \quad \tan{A}=\frac{\sin{A}}{\cos{A}} \end{aligned})]
마찬가지 방법으로 삼각형 [math(\rm OPK)]로부터 다음을 얻는다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \cot{A}=\frac{\cos{A}}{\sin{A}} \end{aligned})]
4. 여담
4.1. 삼각함수와의 차이점
기호가 동일하여 삼각함수와 관련이 있어보이지만 수학자들 사이에서는 매우 상이한 정의 방법으로 인식된다.삼각비는 직각 삼각형으로 정의하는 논증 기하학식 방법을 보이지만, 삼각함수는 평면좌표 상의 원으로 정의하는 해석 기하학식 방법을 쓴다.
다음 그림을 보면 알겠지만, [math(90\degree \left( \dfrac\pi2 \,{\rm rad} \right))] 단위마다 직각 삼각형은 그저 하나의 선분에 지나지 않게 된다. 그래서 삼각비에서는 정의역이 [math(0\degree < A < 90\degree)]로 제한되는 것이다.
어찌 보면, 삼각함수가 삼각비의 해석적 연속(analytic continuation)이기 때문에 생기는 혼동으로 보인다.
4.1.1. 함수로 정의할 경우
삼각비는 '비례 관계'이며, 함수로 출발하려는 관점은 교육학에서도, 수학에서도 찾아보기 드물다. 그러나 함수로서도 정의가 가능하다.삼각함수의 정의를 따르되 정의역이
[math(0\,{\rm rad} < A < \dfrac\pi2\,{\rm rad})]
인 실수로 제한된다는 필요 조건이 붙는다. 따라서 유클리드 공간에서 한 각이 둔각인 직각 삼각형은 존재하지 않으므로 둔각에 대한 삼각함수의 정의가 이상하게 보일 수 있다.[11]
구간 내의 값이 일대일 대응이므로 역함수가 존재한다. 다만 공역이
[math(0 < f(x) < \dfrac{\pi}2)]
로 제한된다.
[math(\begin{aligned}
\arcsin \biggl( \dfrac ah \biggr) &= A \\
\arccos \biggl( \dfrac bh \biggr) &= A \\
\arctan \biggl( \dfrac ab \biggr) &= A \\
\operatorname{arcsec} \biggl( \dfrac hb \biggr) &= A \\
\operatorname{arccsc} \biggl( \dfrac ha \biggr) &= A \\
\operatorname{arccot} \biggl( \dfrac ba \biggr) &= A
\end{aligned})]
단, 저 정의를 이용해서 중등교육 수준에서는 임의의 삼각비로 각도를 구할 수는 없는데, 피타고라스 세 쌍 등 유리수 삼각비에서는 해당 각도가 환원 불능(casus irreducibilis)[12]이 되기 때문이다.
4.1.2. 0°와 90°의 삼각비와 삼각함수
직각 삼각형을 이용하여 삼각비를 정의할 때, 삼각비에서는 [math(0 \degree )]와 [math(90 \degree )]의 삼각비 값을 정의할 수 없다. 직각 삼각형을 그릴 수 없기 때문이다. 직각 삼각형을 이용하여 삼각비를 정의할 때 삼각비의 정의역은[math(\{x\degree|\,\,0\degree< x\degree< 90\degree\})]
가 되며, [math(0 \degree )]와 [math(90 \degree )]의 삼각비 값을 논할 수 없다.
많은 사람들이 삼각함수와 삼각비를 같은 것으로 오해하는데, 정의역이 다르다. 함수로서의 관점에서 봤을 때 삼각함수에는 [math(0 \degree )]와 [math(90 \degree )]를 변수로 논할 수 있지만, 삼각형으로 정의되는 삼각비에서는 사잇각이 [math(0 \degree )]가 되면 유클리드 기하학 하에서 삼각형 자체의 성립 조건이 붕괴되므로 [math(0 \degree )]를 정의할 수 없다. 또한 사잇각이 [math(90 \degree )]가 되면 그 빗변은 더 이상 빗변이 아닌 높이에 불과하므로 초기 삼각형에서 정해둔 빗변과 높이의 개념이 바뀌어 정의가 불가능하다. 이럴 경우에는 극한값은 갖지만 함숫값은 가질 수 없으므로 '극한'과 '연속' 개념을 알아야만 한다.
정확한 표기는 다음과 같다.
- '삼각비[a] [math(\sin{(0 \degree)} )]는 정의되지 않는다.' 또는 '삼각비에 관한 우극한 [math(\lim\limits_{A \to 0\degree+} \sin{A} = 0)]이 성립한다.'
- '삼각비[a] [math(\cos{(0 \degree)} )]는 정의되지 않는다.' 또는 '삼각비에 관한 우극한 [math(\lim\limits_{A \to 0\degree +} \cos A = 1)]이 성립한다.'
- '삼각비[a] [math(\tan{(0 \degree)} )]는 정의되지 않는다.' 또는 '삼각비에 관한 우극한 [math(\lim\limits_{A \to 0\degree +} \tan A = 0)]이 성립한다'
- '삼각비[a] [math(\sin{(90 \degree)} )]는 정의되지 않는다.' 또는 '삼각비에 관한 좌극한 [math(\lim\limits_{A \to 90\degree -} \sin A = 1)]이 성립한다.'
- '삼각비[a] [math(\cos{(90 \degree)} )]는 정의되지 않는다.' 또는 '삼각비에 관한 좌극한 [math(\lim\limits_{A \to 90\degree -} \cos A = 0)]이 성립한다.'
그러나 이는 직각 삼각형을 이용하여 삼각비를 정의하였을 때에만 그러한 것이며, 수학에서 필요에 따라 정의를 변경하거나 확장할 수 있다. 가장 흔한 예로 대한민국의 중학교 교육과정에서는 직각 삼각형을 이용하여 삼각비를 소개한 후, 단위원을 이용하여 삼각비의 정의를 확장한다. 이에 대해서는 아래 '교과상에서의 삼각비' 문단 참고.
한편 삼각비 [math(\tan{(90 \degree)} )]의 경우 상황이 조금 다르다. 좌극한값이 존재하지 않고 무한대로 발산하기 때문이다. 그렇기 때문에 삼각비뿐 아니라 삼각함수에서도, [math(\tan{(90 \degree)} )]을 정의할 수 없다.
- '삼각비 [math(\tan{(90 \degree)} )]는 정의되지 않는다.' 또는 '삼각비에 관한 좌극한 [math(\lim\limits_{A \to 90\degree -} \tan A = \infty)]가 성립한다.'
4.2. 교과상에서의 삼각비
전통적으로 중학교 수학 3학년 때 배워서 그런지, 아주 기본적인 것들을 다루기 때문에 개념을 잘 잡는다면 중3 삼각비는 아주 쉽게 돌파가 가능하다. 삼각함수는 고등학교 1학년 공통이었다가 2학년 과정이었다가 아예 자연계 전용으로 이동된 적이 있을 정도로 이동이 빈번한 편인데 반해, 삼각비는 교육과정 60여 년 역사상 중학교 3학년 과정을 벗어난 적이 없다.직각 삼각형을 이용한 정의에서는 삼각비 [math(\sin{(0 \degree)})]를 논의할 수 없으나, 중학교 교육과정에서는 단위원[18]을 이용하여 이를 0으로 정의한다. [math(\cos{(0 \degree)})], [math(\tan{(0 \degree)})], [math(\sin{(90 \degree)})], [math(\cos{(90 \degree)})] 역시 마찬가지이며, [math(\tan{(90 \degree)})]의 값은 정할 수 없다고 명시하고 있다.
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4.3. 타문화권에서의 삼각비
영미권 학생들은 사인, 코사인, 탄젠트를 각각 SOH[19], CAH[20], TOA[21], 이렇게 외운다. 한국어의 '(분모) 분의 (분자)'와 영어의 '(분자) over (분모)' 어순이 달라서 그렇다.[22]일본에서는 고1 의 수학Ⅰ 과정에서 삼각비를 배운다.
5. 관련 문서
[1] 시기의 차이는 있지만 이외에도 이집트나 동아시아 등 대부분의 농경문화권에서는 나름대로의 형태로 삼각비를 정리하고 응용했던 기록이 남아있다. 애초에 복잡한 측량이나 건축을 하다보면 자연스럽게 삼각비를 어느정도는 터득하고 활용할 수밖에 없게된다.[2] 'j-i-y-∅-b-a'로 구성되어 iy가 장모음으로 실현되었다.[3] 'j-a-y-∅-b-∅'로 구성되어 있다.[4] complement를 의미하는 접두사 co-는 한자어로 '여(餘)-'로 번역된 경우가 많은데 '여집합', '여인수' 등의 예처럼 cosine의 역어는 '여현(餘弦)'이다.[5] 이러한 관계에 있는 각을 서로에 대해 '여각(餘角, complementary angle)'이라고 한다.[6] 세계적으로는 [math(\csc)]으로 쓴다.[7] 탄젠트와 마찬가지로 단위원을 이용해 시컨트를 정의할 때 원의 할선(secant)의 길이를 이용해 정의되는 데서 이름이 유래했다[8] r 분의 y~ 사인함수...[9] '쳐다본다'라는 개념은 삼각비를 처음 배우는 중학생을 위해 마련하였다. 정확한 의미는 각에 대한 대변을 의미하며 위 예에서 [math(\angle A)]가 쳐다보는 변, 즉 대변의 길이는 [math(a)]가 된다.[10] 위 그림 처럼 삼각형이 나와 빗변을 쉽게 확인할 수 있는 경우도 있지만 회전하여 쉽게 찾을 수 없는 경우도 있다. 이때 학생들이 빗변의 길이를 잘못 인지할 경우도 생기기에 먼저 빗변을 확인하라는 것이다.[11] 구면삼각형이라면 한 각이 둔각인 직각 삼각형이 존재하며, 더 나아가 직각을 끼고 있는 오목삼각형까지 성립된다.[12] 실수임이 분명하지만 허수단위 없이는 표기할 수 없는 실수[a] 정의역이 모든 실수인 삼각함수에서는 참이 되지만, 직각 삼각형으로 정의되는 '삼각비'에서는 아님에 유의하자.[a] [a] [a] [a] [18] 정확히는 제1 사분면 위의 단위원을 4등분한 부채꼴[19] opposite over hypotenuse[20] adjacent over hypotenuse[21] opposite over adjacent[22] 아닌 게 아니라 이 별것 아닌 것 같지만 도저히 적응 안 되는 어순 때문에 한국인들은 칸 아카데미나 OCW 같은데서 영미권 수학강의를 처음 들으면 본인의 영어나 수학 실력에 관계없이 뭐라 표현할 수 없는 아스트랄함을 느끼게 된다. 눈높이 구몬 할 때부터 분모 먼저 쓰고 분자 쓰라고 배웠건만 양놈들은 왜 분자 먼저 쓰고 분모를 쓴단 말인가!(미분은 분수 형태 [math({\rm d}x/{\rm d}t)] 꼴로 나타낼 수 있지만 윗글자를 먼저 쓴다) 단순히 분수 읽고 쓰는 것을 넘어 미분적분, 물리 용어 같은 데서 나비효과가 벌어지는데, 언어가 사소한 사고방식에도 영향을 끼치는 사례라 할 수 있다. 이런 현상은 의외로 대학 고학년생들도 겪는 문제로, 한국에서 아무리 영어 원서를 독파해도 이런저런 식을 '영어로' 어떻게 읽는지는 유학을 가거나 외국인 교수에게 배우지 않고는 모르는 경우도 빈번하다. 한국에서 중고등학교 교육을 받는 상당수가 이공계에 진학하거나 기타 대학수학 이후의 공부를 해야한다는 점에서 고등학교 영어 교과에서 적어도 분수 읽는 법과 수학적 표현을 영어로 하는 법을 가르치는 것이 실용적으로 보인다.