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1. 개요
동그라미 / 圓 / circle기하학에 등장하는 도형으로, 유클리드 평면 위에서 한 점으로부터 거리가 같은 점의 집합이다. 형식적으로 말해, [math(\mathbb{R}^2)] 위에서 점 [math(\bf a)]로부터 거리가 [math(r)]인 점 [math(\bf x)]의 집합을 [math(C=\{ {\bf x} : \| {\bf x} - {\bf a}\| = r \})]이라고 하면, [math(C)]를 원(혹은 원둘레), 점 [math(\bf a)]를 원의 중심, 실수 [math(r)]을 원의 반지름이라 한다.
| |
| 중심이 [math(\bf O)]이고, 반지름의 길이가 [math(\boldsymbol r)]인 원 |
작도 시에도 굉장히 중요한 역할을 하는 도형으로, 원의 중심과 원 위의 한 점 사이의 거리가 일정하다는 사실을 이용하여, 일정한 길이의 선분을 옮길 때 사용한다.
1.1. 관련 개념
위 그림은 원 관련 개념들을 나타낸 것이다. 원의 중심을 [math(\rm O)]라 놓고, 원 위의 점 [math({\rm A} \sim {\rm F})]에 대하여 다음과 같은 개념들이 있다.
- 호: 원 위의 두 점을 양끝으로 하는 곡선. 위 그림에서 호의 예로, 양끝점이 [math(\rm A)], [math(\rm B)]로 하는 호가 있는데, 이를 호 [math(\rm AB)]라 하고, 기호로는 [math(
\:\overset{\Large\mathclap\frown}{\phantom{\scriptsize;\!}}\clap{AB}\:)]로 나타낸다. 짧은 쪽을 열호(劣弧), 긴 쪽을 우호(優弧)라고 하는데, 특별한 언급이 없는 한 호의 기호는 열호를 나타낸다. 혹은 호 위에 점 [math(\rm P)]가 있다면, [math(\;\;\overset{\huge\mathclap\frown}{\phantom{\scriptsize{;}\!}}\clap{APB}\;\;)]로 명확하게 표기하기도 한다.
- 할선: 원 위의 두 점을 지나는 직선이며, 위 그림에서는 [math(\rm\overleftrightarrow{EF})]에 해당한다.
- 현: 원 위의 두 점을 잇는 선분이며, 위 그림에서는 [math(\rm\overline{EF})] 등이 있다. 현의 길이는 [math(\rm\operatorname{crd}(\angle EOF))] 등으로 나타내며 [math(\rm crd)]는 현 함수이다.
- 지름: 원 위에서 가장 먼 두 점의 거리를 가리키는 말이며, 위 그림에서는 [math(\overline{\rm AD})]에 대응한다. 길이가 가장 긴 할선, 길이가 가장 긴 현이기도 하다. 논증기하에서, 가장 먼 두 점을 잇는 선분을 의미하기도 한다.
- 반지름: 원의 정의 참고. 논증기하에서, 원의 중심과 그 둘레의 한 점을 잇는 선분을 의미하기도 한다.
- 부채꼴: 위 그림에서 두 반지름 [math(\rm\overline{OB})], [math(\rm\overline{OC})]와 [math(
\:\overset{\Large\mathclap\frown}{\phantom{\scriptsize;\!}}\clap{BC}\:)]로 이루어진 것과 같이 두 반지름과 한 호로 둘러싸인 도형.(위 그림에서 청색 영역) 이때, 두 반지름이 이루는 각을 [math(\theta\,(0{\rm\,rad}<\theta<2\pi{\rm\,rad}))]라 할 때, 이 각을 부채꼴의 중심각이라 한다.
- 활꼴: 위 그림에서 [math(
\:\overset{\Large\mathclap\frown}{\phantom{\scriptsize;\!}}\clap{FE}\:)]와 현 [math(\overline{\mathrm{EF}})]로 이루어진 것과 같이 한 호와 한 현으로 둘러싸인 도형.(위 그림에서 적색 영역)
1.2. 원판
원의 정의가 유클리드 평면상에서 주어진 한 점에서 거리가 같은 점들의 집합이라면 원판(disk)의 정의는 주어진 한 점에서 거리가 주어진 값 이하 혹은 미만인 점들의 집합이다. 이는 다시 전자가 폐원판(closed disk), 후자가 개원판(open disk)로 구분된다. 흔히 말하는 원의 넓이라는 개념은 사실 엄밀히는 원판의 넓이라고 기술하는 것이 옳다.
좌표평면 상에서 원, 폐원판, 개원판을 나타내는 것은 방정식이나 부등식을 이용하면 된다. 중심이 [math((a,\,b))]인 경우에 대하여 반지름 [math(r)]인 것을 고려한다면,
- 원: [math((x-a)^2+(y-b)^2=r^2)]
- 개원판: [math((x-a)^2+(y-b)^2<r^2)]
- 폐원판: [math((x-a)^2+(y-b)^2 \le r^2)]
이 원판의 마주보는 점을 모두 접어서 사영평면(projective plane)을 만들 수 있다.
2. 방정식
3. 원의 둘레와 원판의 넓이
3.1. 둘레
원의 지름의 길이에 대한 원의 둘레의 길이의 비를 [math(\pi)]라 정의한다.[1] 이때 반지름의 길이가 [math(r)]인 원의 둘레는 다음과 같다.| [math(l=2\pi r)] |
| [math(x^2+y^2=r^2)] |
| [math(y=\sqrt{r^2-x^2})] |
| [math(\dfrac{{\rm d}y}{{\rm d}x} = -\dfrac x{\sqrt{r^2-x^2}})] |
| [math(\begin{aligned} l &= 2 \int^r_{-r} \sqrt{1+{\left(\frac{{\rm d}y}{{\rm d}x}\right)}^2}\,{\rm d}x \\ &= 2 \int^r_{-r} \frac r{\sqrt{r^2-x^2}}\,{\rm d}x \\ &= 2r\int^1_{-1} \frac1{\sqrt{1-t^2}}\,{\rm d}t \quad {\left(t =\frac xr\right)} \end{aligned})] |
| [math(\displaystyle \pi = \int^1_{-1} \frac1{\sqrt{1-t^2}}\,{\rm d}t)] |
이로써 원주율의 값을 표현하는 정적분을 구했다. 정적분의 구체적인 계산 방법은 원주율 문서 참고.
3.2. 넓이
상반원판(upper-half disk)의 넓이를 [math(-r\le x\le r)] 범위에서 적분하여 2배를 해줌으로써 원판의 넓이 [math(A)]를 구할 수 있다.| [math(\displaystyle A = 2\int_{-r}^ry\,{\rm d}x)] |
| [math(\begin{cases} x=r\cos\underline\theta \\ y=r\sin\underline\theta \end{cases} \qquad (0 \le \underline\theta \le 2\pi))] |
| [math(\begin{aligned}{\rm d}A &=y\,{\rm d}x \\ &= -r^2\sin^2\underline\theta\,{\rm d}\underline\theta\end{aligned} )] |
| [math(\begin{aligned}A &= 2\int_{-r}^ry\,{\rm d}x \\ &= 2\int_\pi^0(-r^2 \sin^2\underline\theta)\,{\rm d}\underline\theta \\ &=\pi r^2\end{aligned})] |
여담으로, 초등학교 과정에서는 아래와 같이 원을 무수히 많고, 같은 등분으로 쪼갰을 때, 해당 등분들을 아래와 같이 붙였을 때, 만드는 도형은 가로가 원주의 반, 세로가 반지름의 길이와 같은 직사각형이 만들어진다는 것을 이용하여 원판의 넓이를 증명한다. 물론 수학적으로 봤을 땐 엄밀하진 못하지만 직관적이어서 초등학교 과정에 이용된다.
아래는 이 과정을 영상으로 나타낸 것이다.
3.2.1. 엄밀한 증명
[math(\pi)]의 값을 표현하는 정적분을 이용하여 아래와 같이 증명하자.[math(\pi)]의 정의에 의하여,
| [math(\displaystyle \pi = \int^1_{-1} \frac1{\sqrt{1-t^2}}\,{\rm d}t)] |
| [math(\displaystyle \frac\pi2 = \int^1_0 \frac1{\sqrt{1-t^2}}\,{\rm d}t)] |
| [math(\begin{aligned} A &= 4\int^r_0y\,{\rm d}x \\ &= 4\int_0^r\sqrt{r^2-x^2}\,{\rm d}x \end{aligned})] |
| [math(\begin{aligned} \frac A4 &= \int_0^r\sqrt{r^2-x^2}\,{\rm d}x \\ &= \biggl[x\sqrt{r^2-x^2}\biggr]_0^r + \int_0^r\frac{x^2}{\sqrt{r^2-x^2}}\,{\rm d}x \\ &= \int_0^r\frac{r^2-(r^2-x^2)}{\sqrt{r^2-x^2}}\,{\rm d}x \\ &= \int_0^r{\left(\frac{r^2}{\sqrt{r^2-x^2}}-\sqrt{r^2-x^2}\right)}\,{\rm d}x\end{aligned})] |
| [math(\begin{aligned} \frac A4 &= \int_0^r{\left(\frac{r^2}{\sqrt{r^2-x^2}}-\sqrt{r^2-x^2}\right)}\,{\rm d}x \\ &= \int_0^r\frac{r^2}{\sqrt{r^2-x^2}}\,{\rm d}x - \int_0^r\sqrt{r^2-x^2}\,{\rm d}x \\ &= \int_0^r\frac{r^2}{\sqrt{r^2-x^2}}\,{\rm d}x - \frac A4\end{aligned})] |
| [math(\displaystyle \frac A2 = \int_0^r\frac{r^2}{\sqrt{r^2-x^2}}\,{\rm d}x)] |
| [math(\begin{aligned} \frac A2 &= \int^r_0 \frac{r^2}{\sqrt{r^2-x^2}}\,{\rm d}x \\ &= r^2\int^1_0 \frac r{\sqrt{r^2-(rt)^2}}\,{\rm d}t \\ &= r^2\int^1_0 \frac1{\sqrt{1-t^2}}\,{\rm d}t \\ &= \frac\pi2r^2\end{aligned})] |
이렇게 함으로써 원주율 정적분을 계산하지 않고도 원판의 넓이와 원주의 관계를 증명할 수 있다.
3.3. 원둘레와 원의 넓이의 관계
원의 둘레는 원의 넓이의 도함수이며, 원의 넓이는 원의 둘레의 역도함수에 대응된다. 이는 모든 초구에 해당하는 성질이다.4. 원과 접선
4.1. 성질
- 원의 반지름과 접선은 항상 수직으로 만난다.
- 원 외부의 한 점에서 그은 두 접선의 길이는 같다.
즉, 위 그림의 원 외부의 한 점 [math(\rm P)]에서 그은 두 접선 [math(\rm\overrightarrow{PA})], [math(\rm\overrightarrow{PB})]에 대하여, 그 접선의 길이 [math(\overline{\rm PA}=\overline{\rm PB})]가 성립한다.[2]
4.1.1. 사각형의 내접원
위 그림과 같이 원이 사각형 [math(\rm ABCD)]에 내접하는 상황을 고려해보자. 이때, 사각형의 각변은 원의 접선이되고, 이때 원 위에 생성되는 접점을 [math({\rm P} \sim {\rm S})]이라 하자. 원 밖의 한 점에서 접선을 그었을 때, 접선의 길이는 같으므로 [math(\overline{\rm AP}=\overline{\rm AS})], [math(\overline{\rm BP}=\overline{\rm BQ})], [math(\overline{\rm CQ}=\overline{\rm CR})], [math(\overline{\rm DR}=\overline{\rm DS})]이 성립한다. 이 성질을 이용하면, 다음의 결과
| [math(\overline{\rm AB}+ \overline{\rm CD}=\overline{\rm AD}+ \overline{\rm BC})] |
4.2. 접선의 방정식
4.2.1. 원 위의 한 점에서 접선의 방정식
중심이 원점이고, 반지름의 길이가 [math(r)]인 원 위의 점 [math((x,\,y))] 위에서 접선의 기울기는 음함수의 미분으로 구할 수 있다.| [math(2x+2y\dfrac{{\rm d}y}{{\rm d}x}=0 \quad \Leftrightarrow \quad \dfrac{{\rm d}y}{{\rm d}x}=-\dfrac xy)] |
| [math(\dfrac{{\rm d}y}{{\rm d}x}=-\dfrac{x_1}{y_1})] |
| [math(y-y_1 = -\dfrac{x_1}{y_1}(x-x_1))] |
| [math(x_1x+y_1y={x_1}^2+{y_1}^2)] |
| [math(x_1x+y_1y=r^2)] |
만약, 원의 중심이 원점에서 [math((a,\,b))]로 이동했을 때, 그 원 위의 점 [math((x_2,\,y_2))] 위의 접선의 방정식을 구한다면, [math(x \to x-a)], [math(y \to y-b)]이므로
| [math((x_2-a)(x-a)+(y_2-b)(y-b)=r^2)] |
다른 방법도 있다. 중심이 [math((a,\,b))]이고, 반지름의 길이가 [math(r)]인 원 위의 점 [math((x_2,\,y_2))] 위에서의 접선은 중심이 [math((a,\,b))]이고, 반지름의 길이가 [math(r)]인 원과 중심이 [math((x_2,\,y_2))]이고, 반지름의 길이가 [math(0)]인 점원의 공통현으로 생각할 수 있기 때문에 [math((x-a)^2+(y-b)^2=r^2)], [math((x-x_2)^2+(y-y_2)^2=0)] 두 방정식을 뺀 후 [math((a-x_2)^2+(b-y_2)^2=r^2)]이라는 관계식을 대입하면
| [math((x_2-a)(x-a)+(y_2-b)(y-b)=r^2)] |
4.2.2. 특정한 기울기의 접선의 방정식
이번 문단에서는 특정한 기울기의 접선의 방정식을 찾고자 한다. 만약 우리가 중심이 원점이고, 반지름의 길이가 [math(r)]인 원 위에 대해 기울기가 [math(m)]인 접선을 찾는다면, 해당 직선은| [math(y-mx+n=0)] |
| [math(\dfrac{|n|}{\sqrt{m^2+1}}=r \quad \Leftrightarrow \quad n=\pm r\sqrt{m^2+1})] |
| [math(y=mx\pm r\sqrt{m^2+1})] |
| [math(y=m(x-a)\pm r\sqrt{m^2+1}+b)] |
5. 두 원의 위치 관계
반지름의 길이가 각각 [math(r)], [math(r')](단, [math(r \ge r')])이고, 원의 중심이 각각 [math(\rm O)], [math(\rm O')]인 원을 고려하자. 이 두 원의 위치 관계는 아래와 같이 총 6개 존재한다. 이때, [math(d)]는 두 원의 중심 사이의 거리 [math(\rm\overline{OO'})]이다.- 만나지 않는 경우
- 외부에서 만나지 않음
- [math(r+r'<d)]인 경우
- 내부에 포함
- [math(r-r'>d)]인 경우
- 동심원[3]
- [math(d=0)]인 경우
- 접하는 경우(한 점에서만 만나는 경우)
- 외접
- [math(r+r'=d)]인 경우
- 내접
- [math(r-r'=d)]인 경우
- 두 점에서 만나는 경우
- [math(r-r'<d<r+r')]인 경우
5.1. 두 원의 교점을 지나는 원의 방정식
좌표평면 위에서 두 원 [math(x^2+y^2+Ax+By+C=0)]과 [math(x^2+y^2+A'x+B'y+C'=0)]을 고려해보자. 이 두 원의 교점을 [math((\alpha,\,\beta))]라 놓으면, 교점에서| [math(\begin{aligned} \alpha^2+\beta^2+A\alpha+B\beta+C &= 0 \\ \alpha^2+\beta^2+A'\alpha+B'\beta+C' &= 0 \end{aligned})] |
| [math((x^2+y^2+Ax+By+C)+k(x^2+y^2+A'x+B'y+C')=0 )] (단, [math(k \ne -1)]) |
| [math((\alpha^2+\beta^2+A\alpha+B\beta+C)+k(\alpha^2+\beta^2+A'\alpha+B'\beta+C')=0)] |
참고적으로 [math(k=-1)]일 때는 이차항이 상쇄되기 때문에 위 도형은 직선이 되므로 이를 제외해야 한다.(이는 바로 밑에서 서술할 공통현의 방정식이 된다.)
5.2. 공통현의 방정식
공통현이란 두 원의 두 교점을 지나는 직선이다. 이는| [math((x^2+y^2+Ax+By+C)+k(x^2+y^2+A'x+B'y+C')=0)] |
| [math((x^2+y^2+Ax+By+C)-(x^2+y^2+A'x+B'y+C')=0)] |
| [math((A-A')x+(B-B')y+C-C'=0)] |
6. 기타 성질
6.1. 원과 직선의 관계
우리는 임의의 직선| [math(y-mx-n=0)] |
| [math((x-a)^2+(y-b)^2=r^2)] |
|
3의 과정에서 판별식의 부호에 따라 다음을 얻는다:
- 판별식의 부호가 양이다 : 원과 직선은 두 점에서 만난다.
- 판별식이 0이다 : 원과 직선은 접한다.(즉, 원과 직선은 한 점에서 만난다.)
- 판별식의 부호가 음이다 : 원과 직선은 만나지 않는다.
6.2. 현의 수직이등분선
위의 그림과 같이 현 [math(\rm AB)]를 고려하고, 원의 중심 [math(\rm C)]에서 현에 내린 수선의 발을 [math(\rm H)]라 하자. 우리는 현과 원이 만나는 두 점에 반지름을 긋자 그렇다면, 삼각형 [math(\rm CAH)]와 삼각형 [math(\rm CHB)]의 직각 삼각형이 나타난다.
이때, 선분 [math(\rm CH)]는 공통이고, 선분 [math(\rm CA)], 선분 [math(\rm CB)]는 반지름이므로 그 길이는 같다. 따라서 삼각형 [math(\rm CAH)]와 삼각형 [math(\rm CHB)]는 [math(\rm RHS)]합동이므로 다음이 성립한다.
| [math(\overline{\rm AH}=\overline{\rm HB})] |
원의 중심에서 현에 내린 수선의 발은 현을 수직이등분한다.
위의 결과로 부터 현의 길이를 구하는 공식을 유도할 수 있는데, 반지름의 길이를 [math(r)]라 하면, | [math(\overline{\rm AH}=r\sin{\biggl(\dfrac{\angle\rm ACB}2 \biggr)})] |
| [math(2r\sin{\biggl(\dfrac{\angle\rm ACB}2 \biggr)})] |
| [math(2r\sin\dfrac{\underline\alpha}2 = r\operatorname{crd}\underline\alpha)] |
6.3. 삼각형과 원
6.4. 사각형과 원
- 원이 사각형에 내접할 경우, 사각형의 마주보고 있는 두 변의 길이의 합은 일정하다.[역]
- 원에 내접하는 사각형의 마주보는 두 내각의 크기의 합은 [math(\pi)]가 된다.[A][역]
- 원에 내접하는 사각형의 한 외각의 크기와 대내각의 크기는 같다.[A][역]
- 톨레미 정리
6.5. 원주각
6.6. 사인 법칙
6.7. 등주 곡선
- 원판은 길이가 같은 폐곡선들 중 가장 큰 넓이를 갖는다. 반대로 넓이가 같은 폐곡선들 중 가장 짧은 둘레를 갖는다. 고대로부터 존재해 온 명제였지만 불완전하게 해결되었다가 19세기에 와서야 완전히 해결되었다.
7. 확장
원과 구의 정의를 확장해서, [math(n)]차원 공간에서 한 점으로부터 특정 거리만큼 떨어진 점들의 집합 [math(S^{n-1}\coloneqq{\left\{x\in\mathbb R^n : \|x\|=1\right\}})]을 [math(n)]차원 원 또는 [math(n)]차원 초구라고 부른다. 간단한 예시를 들자면 구(Sphere)는 3차원 원으로 [math(S^2)]이고, 1차원 원은 특정한 점으로부터 특정 거리만큼 떨어진 두 개의 점으로 정의된다. 4차원 이상인 경우 [math(n)]차원 원을 그냥 '원'이라고 불러도 보통은 문맥상 의미가 통하지만, 3차원 공간인 경우 반드시 '구'라고 불러야 3차원 원을 지칭한다.2차원 원 [math(S^1)]은 흔히 생각하는 그 원으로, [math(\mathbb C)]의 부분집합으로 생각할 수 있다([math(S^1)]의 원소 [math((x,\,y))]를 [math(\mathbb C)]의 [math(x+yi)]에 대응시키면 된다. 복소평면을 생각하면 아주 당연한 대응이다). 이렇게 생각하면, [math(S^1)] 자체는 하나의 가환군이된다.
대수적 위상수학에서 기본군을 계산하는 가장 간단한 예가, [math(S^1)]으로 [math(\pi_1(S^1)=\mathbb Z)]이다.
8. 기타
- 원을 잘 그리면 변태라는 우스갯소리가 있다.
- 옛날 어른들은 동그라미를 동글뱅이나 동글방이라 불렀다.
- 원은 타원의 특수한 경우로 간주할 수 있다. 타원의 정의는 '평면 상의 두 정점으로부터 거리의 합이 일정한 점들의 집합'인데, 이 때 기준이 되는 두 정점의 위치가 동일한 경우 원이 된다. 이를 3차원으로 확장한 것이 구와 타원면의 관계이다.
- 고대부터 원은 가장 완벽한 형태로 여겨졌고, 고대 이란에서는 도시를 세울 때에 원형을 고집하였다. 이란 문화의 영향을 짙게 받은 압바스 왕조 역시 수도 바그다드를 원형 도시로 건설하였다. 다만 지중해 및 동아시아 문화권 등 나머지 세계에서는 주로 사각꼴 도시를 세웠다. 아래의 그림은 이란 파르스 지역 피루자바드의 사산 제국기 도시 유적이다.
9. 관련 문서
- 수학 관련 정보
- 기하학
- 도형
- 구(도형): 원의 2차원 확장
- 초구: 원의 [math(n)]차원 확장
- 푸앵카레 원반: 원에 쌍곡 공간을 사영한 것
- 사영평면: 원주를 서로 마주보게 접어 만드는 도형
- 원그리기
- 공 모양
육만오천오백삼십칠각형
[1] 경험적으로 고대부터 원의 지름과 원주의 비는 일정함을 알고 있었다.[2] 두 삼각형 [math(\rm\triangle POA)], [math(\rm\triangle POB)]로 부터 [math(\angle{\rm OAP}=\angle{\rm OBP}=\cfrac\pi2{\rm\,rad})], [math(\rm\overline{PO})]는 공통, [math(\overline{\rm OA}=\overline{\rm OB})](반지름)이므로 [math(\triangle{\rm POA} \equiv \triangle {\rm POB})] ([math(\rm RHS)] 합동)임을 이용하면 쉽게 증명할 수 있다.[3] 두 원의 중심이 같은 원[역] 역 성립[A] 원주각 문서 참조.[역] [A] [역]