| 차원 Dimension | ||||||
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1. 개요
次元 / dimension공간의 성질을 나타내는 수로, 보통의 경우에는 공간에서 독립적으로 움직일 수 있는 방향의 개수를 의미한다. 쉽게 생각하면 0차원은 점으로, 1차원은 선, 2차원은 면, 3차원은 입체로 간주할 수 있다.[1] 시각적으로 표현하면 직교좌표계에 몇 개의 좌표나 축이 필요한지로도 나타낼 수 있다.
일반적으로 유클리드 공간을 비롯한 벡터 공간에서 차원은 그 공간의 기저(basis) 크기, 즉 원소의 개수를 말한다.[2] 어찌보면 벡터 공간 자체가 더 높은 차원의 공간을 추상적으로 생각하기 위해 만들어진 것이다. 6차원, 7차원 이런 공간도 단순히 좌표 6개, 7개의 순서쌍으로 나타나지는 공간일 뿐으로 생각할 수 있다. 물론 선형대수학을 어느 정도 공부해야 확실히 이해할 수 있는 내용이긴 하다.[3] 곡선과 곡면 등의 더욱 일반적 도형, 즉 다양체의 경우에는, 점 부분에서 움직일 수 있는 방향 또는 필요한 좌표의 개수로 생각할 수 있다. 구면이나 클라인의 병 등의 곡면이 3차원이나 4차원에 놓여 있다고 할지라도 2차원 도형으로 간주되는 이유이다.
대개 일상생활에서는 이 정도로 충분하지만, 수학자들이 여기에 해당되지 않는 다른 종류의 공간을 생각할 때는 통상적인 차원의 정의를 제각기 다른 방식으로 일반화시킨 차원을 들고 오기도 한다. 위상수학자들의 르베그 차원, 대수기하학자들의 초월 차수(transcendence degree)나 크럴 차원(Krull dimension), 측도론에서 보는 하우스도르프 차원 등등 쓰임새에 따라 다양한 종류의 차원이 있다. 이 중 하우스도르프 차원은 정수가 아니라 0.63 이런 식으로 양의 실수값을 가질 수 있는 가장 이질적인 녀석인데, 그 정의와 쓰임새는 프랙탈 이론 항목에 소개되어 있다.
기하학적 공간의 차원이 하나 늘어날 때마다 많은 개념들이 생겨나며, 특정 차원에서만 정의되는 개념도 존재한다. 차원이 늘어날 때마다 개념도 많이 생기므로, 수학이나 물리학 문제 풀이에 도움이 되는 경우가 많다.
2. 종류
- 0차원
- 1차원
- 수로 정의되는 위치와 거리의 개념이 최초로 나타난다.
- 하나로 이어진 1차원 도형은 선분, 반직선, 직선이 전부이며, 이 중 모든 직선과 반직선은 합동이며, 유한한 크기를 갖는 선분은 모두 길이만 다를 뿐 닮음이다.
- 2차원
- 넓이와 각도의 개념이 생기며, 이에 따라 회전 개념과 이면군 대칭 개념이 생긴다.
- 이면군 대칭에 따라 무수히 많은 정다각형이 나타난다.
- 크기만 다를 뿐 모두 합동인 점, 선분, 반직선, 직선이 전부였던 도형 체계에 무수히 많은 평면도형이 나타난다.
- 스핀 통계 정리는 3차원(+ 시간 1차원) 이상에서만 적용되므로, 애니온[4]은 공간 2차원 + 시간 1차원인 세계에만 존재한다.
- 입방체의 절반의 꼭지점을 이어 만든 반초입방체는 2차원에서 유일하게 1차원인 선분으로 축퇴된다. (정사각형 → 선분)
- 3차원
- 이면군 대칭 개념에서 벗어난 7개의 점군(T, Td, Th, O, Oh, I, Ih)이 나타난다.
- 이 7개의 점군 중, Td, Oh, Ih 대칭에 따라 5개의 볼록한 정다면체가 나타난다.
- 어떤 점입자가 움직이며 도형을 관통할 때, 도형을 자르지 않고 지나갈 수 있게 된다.[5] 이 때문에 구멍[6]이라는 개념이 존재할 수 없는 이차원과 달리, 삼차원 도형부터는 토러스의 구멍과 같은 위상수학적 개념의 구멍이 존재할 수 있다.
- 외적과 벡터의 회전(curl)은 특수한 경우를 제외하면 3차원에서만 존재한다.
- 4차원
- 단체, 초입방체, 정축체가 아닌 볼록한 정다포체가 존재하는 마지막 차원으로, 볼록한 4차원 정다포체의 수는 6개다.
- 점군 [math(F_4)]로 분류되는 유일한 정다포체인 정이십사포체가 존재하는 차원이다. 정이십사포체는 매우 특이한 성질을 지니며, 대응되는 다른 차원의 초입체가 없는 정다포체는 4차원의 정이십사포체가 유일하다.[7]
- 회전이 1종류 뿐이었던 2차원, 3차원 이하와 달리, 4차원부터 회전은 single rotation과 double rotation으로 나뉘며, 차원이 증가하면 증가할수록 회전의 양상이 더욱 복잡해진다.
- 5차원 이상
위 사진은 1차원에서 6차원 초입방체를 그려놓은 사진이다.
3. 역사
우리가 중,고등 학교 수학 시간에 배우는 기하학을 만든 기원전 3세기 사람인 유클리드는 0, 1, 2, 3차원에 대해 이렇게 정의했다.입체의 단면은 면이다. 면의 단면은 선이다. 선의 단면은 점이다.
이 정의는 3->2->1->0차원으로 내려가는 차원의 정의를 사용하고 있다. 킬리키아의 심플리키우스에 따르면 2세기 수학자 프톨레마이오스는 차원에 관하여(Περὶ διαστάσεως)라는 책을 저술했다고 한다. 다만 이 책은 오늘날에는 전해지지 않는다. 이 책에서 프톨레마이오스는 세개보다 많은 수직선을 긋는 것이 불가능하다는 이유로 3차원 너머는 존재하지 않는다고 주장했다.#
근세를 거쳐 수학이 실존하지 않는 가상의 개념까지 다루기 시작하며, 19세기에 이르러서는 더 확장된 차원의 개념이 다뤄지기 시작한다. 수학자 아우구스트 뫼비우스는 1827년에 4차원 회전을 통해 거울상 이성질체를 변환하는 문제에 대해서 연구했다.[8] 19세기의 수학자 케일리와 리만도 다차원 공간의 성질에 대해서 연구하였다.
유클리드의 정의를 역이용해 프랑스의 수학자 앙리 푸앵카레[9]는 차원의 정의를 새롭게 만들었다.
단면이 0차원(점)이 되는 것을 1차원(선)이라 부른다. 단면이 1차원이 되는 것을 2차원(면)이라 부른다. 단면이 2차원이 되는 것을 3차원(입체)이라 부른다. 단면이 3차원이 되는 것을 4차원(초입체)이라 부른다.
즉 0차원의 도형(점)을 1차원의 방향(선)으로 움직이면 선이 생기고 선을 2차원의 방향으로 움직이면 도형이 생기고, 면을 3차원의 방법으로 움직이면 입체가 생긴다. 따라서 3차원의 입체를 4차원의 방향으로 움직이면 4차원의 물체가 생기지 않을까?라고 생각한 것.[10] 이 방법을 사용하면 4차원 이상의 차원을 생각할 수 있고, 기하학에서 사용할 수 있다.
이에 따라서 시공간을 4차원으로 생각하기도 한다. 과거와 미래라는 방향은 상하좌우전후의 축에 정확히 수직으로 교차하는 시간축이며, 즉, 현재라고 하는 것은 시공간의 3차원 단면이 되기도 하며 3차원 시공간의 단면(공간 2차원+시간 1차원)이 되기도 한다. 그리고 4차원 공간은 [math((i\mathbb{R})^4)]이지만 4차원 시공간은 [math((i\mathbb{R})^3\times\mathbb{R})]이라는 점이 차이점도 있다.
여기서 더 나아가서 경우의 수(평행세계)를 시공간에 수직하는 5번째 차원으로 정의하기도 한다. 단위시간당 경우의 수는 여러개로 분화하는데, 이를 처음에는 같은게 무수히 있다가 각각 다르게 무수히 분화하는 것으로 정의된다.
4. 물리학에서의 차원
물리학에서 질량, 거리, 시간 등의 물리량의 기초적인 구조에 대한 설명은 차원(물리량)을 참고.초끈 이론을 설명한 과학잡지 뉴턴의 네이버 포스트 참고. 베스트 댓글도 함께 보자. 원 안의 동전을 빼는 법을 예시로 들고 있는데 제법 쉽게 설명되어 있다.
이론 물리학에서는 차원이란 단어를 허구한 날 쓰기에 수학에서 말하는 차원에 익숙해져있다가, 6차원 7차원 [math(n)]차원등의 단어를 들으면 정신이 해당 차원으로 날아가 버린다.
5. 관련 문서
[1] 간혹 점조차도 없는 무(無)의 공간을 -1차원으로 간주하는 경우도 있다. 또한 -1차원 도형은 Null Polytope 라고 불린다.[2] 한 벡터 공간의 모든 기저들은 크기가 동일하다는 것이 증명될 수 있다.[3] 예를 들어서 [math(\left(x, y\right))]라는 순서쌍을 고려하면 이는 [math(x\left(1, 0\right)+y\left(0, 1\right))]로 나뉘어 2개의 기저 단위벡터로 만들 수 있으므로 2차원이라고 볼 수 있다. 하지만, [math(\left(x, x\right))]는 [math(\sqrt{2}x\left(\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}}\right))]라는 하나의 기저 단위벡터로 만들 수 있으므로 1차원이 된다. 특히 [math(n)]개의 [math(n)]차원 벡터를 모아놨을 때, 이것이 실제로 이루는 벡터공간이 [math(n)]차원인지, 아니면 그보다 낮은 차원인지를 따지는 것은 선형대수학에서 매우 중요하게 여기는 요소다.[4] Anyon, 페르미온도, 보손도 아닌 입자[5] 예를 들어, 이차원 평면에서 도형을 뚫고 지나가는 경로로 움직이는 어떤 입자가 이차원 공간에 놓인 도형을 관통해 지나가면, 입자가 지나간 경로는 도형을 양분한다. 그러나 삼차원에서는 입자가 도형을 관통해 지나가도 도형을 양분하지 않는다.[6] 내부의 빈 공간인 공동을 의미하는 것이 아니다. 토러스의 구멍과 같이, 외부와 외부를 잇는 기다란 관과 같은 개념을 의미한다.[7] 정이십사포체는 단체, 초입방체, 반초입방체, 정축체, 초정십이면체/초정이십면체 등 어디에도 속하지 않는 유일한 정다포체다. 또한, 3차원 이상에서 단체가 아니면서 자기쌍대인 유일한 정다포체이다.[8] August Ferdinand Möbius, Der barycentrische Calcul(1827)[9] 푸앵카레 추측의 원안자[10] 따라서 4차원의 물체를 3차원의 공간으로 자르면 단면이 3차원의 물체가 된다.