최근 수정 시각 : 2023-10-26 18:11:23

정다포체

차원
Dimension
<colbgcolor=#efefef,#2d2f34> 구분 0차원 1차원 2차원 3차원 [math(\boldsymbol{n})]차원(4차원 이상)
위상 점 선 면 입체 초입체
측도 셈 측도 길이 넓이 부피 초부피
유클리드 공간 · 민코프스키 시공간 · 측도론

정다면체
Regular Polyhedron
플라톤 다면체
(볼록 정다면체) 		정사면체 · 정육면체 · 정팔면체
정십이면체 · 정이십면체
케플러-푸앵소 다면체
(오목 정다면체) 		작은 별모양 십이면체 · 큰 별모양 십이면체
큰 십이면체 · 큰 이십면체

4차원 볼록 정다포체
정오포체정팔포체정십육포체정이십사포체정백이십포체정육백포체

정다포체
반초입방체단체초입방체정축체


1. 개요2. 유클리드 다포체
2.1. 볼록 정다포체
2.1.1. 대칭
2.2. 오목 정다포체
3. 관련 문서

1. 개요

정다포체(正多胞體)는 군의 작용에 대해 추이적인 다포체이다. 유클리드 군 [math(\mathbb{E}\left(n\right))]의 부분군에 의한 작용일 경우, 특히 [math(n = 2)]의 경우 정다각형, [math(n = 3)]의 경우 정다면체이다. 특히, 정다포체가 볼록인 경우 볼록 정다포체라 한다.

2. 유클리드 다포체

2.1. 볼록 정다포체

유클리드 공간(일상적인 공간)에서 정의되는, 볼록한 정다포체를 의미한다.
4종 이상의 유클리드 정다포체가 존재하는 차원은 2~4차원 까지이며, 5차원 이후부터는 오직 단체, 초입방체, 정축체 3종만 존재한다.

[math(n)]차원에 존재하는 볼록 정다포체의 가짓수를 [math(N_n)]이라고 하면, [math(N_n)]은 다음과 같은 유명한 수열이 된다. 수열이 1로 시작해 갑자기 [math(n=2)]에서 무한대로 치솟았다가, 바로 다음 뜬금없이 5, 6이 되고, 갑자기 3으로 내려가버리므로, [math(n=6)]부터 다음 항을 예측하라고 하면 많은 사람들이 복잡한 문제인 줄 알고 답하지 못한다. 그러나 [math(n \ge 5)]일 때 모든 값이 3인 단순한 수열이다.

[math(N_n = \begin{cases}1\left(n=0\ \mathrm{or}\ n=1\right) \\ \infty\left(n=2\right) \\ 5\left(n=3\right) \\ 6\left(n=4\right) \\ 3\left(n\ge5\right)\end{cases})]

원소나열법으로 표현하면 [math(N_n = \left\{1,\ 1,\ ∞,\ 5,\ 6,\ 3,\ 3,\ 3,\ \cdots \right\} )]이다.

2.1.1. 대칭

2차원 유클리드 평면에는 무수히 많은 볼록 정다각형이 존재하며, 모든 차원의 유클리드 초공간에는 항상 단체, 정축체, 초입방체가 존재한다. 군론적 측면에서 보면 이들의 대칭은 다음과 같다.
차원 정다포체 대칭[Cox] 콕서터 군 대칭 차수
2 정[math(p)]각형 [p] [math(I_2\left(p\right))] [math(2p)]
3 [math(n)]-단체 [3,3] [math(A_n)] [math( \left(n+1\right)!)]
[math(n)]-입방체 [4,3] [math(BC_n)] [math(2^nn!)]
[math(n)]-정축체

이들에 속하지 않는 정다포체는 오직 3차원과 4차원에서만 각각 2개, 3개씩 존재하며, 군론적 측면에서 보면 이들의 대칭은 다음과 같은 콕서터 군에 해당한다.
차원 정다포체 대칭[Cox] 콕서터 군 대칭 차수
3 정십이면체 [5,3] [math(H_3)] 120
정이십면체
4 정이십사포체 [3,4,3] [math(F_4)] 1152
정백이십포체 [5,3,3] [math(H_4)] 14400
정육백포체

2.2. 오목 정다포체

유클리드 공간에서 정의되는, 오목한 정다포체를 의미한다. 그 형태 때문에 별 정다포체(star polytope)라고도 불리며, 3차원인 오목 정다면체는 케플러-푸앵소 다면체(Kepler-poinsot polyhedron)라고 불린다.

볼록 정다포체가 오직 자연수로만 표기되는 것에 반해, 오목 정다포체의 슐레플리 부호는 정수가 아닌 유리수가 하나 이상 포함된다.

오직 2~4차원까지에서만 정의된다. 5차원 이상의 오목 정다포체는 존재하지 않는다.[증명]
  • 2차원: 정다각별 - 무수히 많음
    • 정오각별[math(\left\{ 5/2 \right\})], 정칠각별[math(\left\{ 7/2 \right\})], [math(\left\{ 7/3 \right\})], 정팔각별[math(\left\{ 8/3 \right\})]⋯, 정[math(\frac{x}{y})]각형([math(x>2y)]), ⋯
  • 3차원: 케플러-푸앵소 다면체 - 4종
  • 4차원: 4차원 정다포체 10종
    icosahedral 120-cell [math(\left\{ 3,\ 5,\ 5/2 \right\})]
    small stellated 120-cell [math(\left\{ 5/2,\ 5,\ 3 \right\})]
    great 120-cell [math(\left\{ 5,\ 5/2,\ 5 \right\})]
    grand 120-cell [math(\left\{ 5,\ 3,\ 5/2 \right\})]
    great stellated 120-cell [math(\left\{ 5/2,\ 3,\ 5 \right\})]
    grand stellated 120-cell [math(\left\{ 5/2,\ 5,\ 5/2 \right\})]
    great grand 120-cell [math(\left\{ 5,\ 5/2,\ 3 \right\})]
    great icosahedral 120-cell [math(\left\{ 3,\ 5/2,\ 5 \right\})]
    grand 600-cell [math(\left\{ 3,\ 3,\ 5/2 \right\})]
    great grand stellated 120-cell [math(\left\{ 5/2,\ 3,\ 3 \right\})]

3. 관련 문서

[Cox] 콕서터 표기법(Coxeter notation)[Cox] [증명] 이에 대한 증명은 간단하다. 유클리드 공간에서 (볼록이든 오목이든) 정다포체 꼭지점의 좌표는 그 정의상 반드시 해당 차원의 정다포체 대칭성을 가질 수밖에 없다. 따라서 오목 정다포체는 해당 차원의 볼록 정다포체와 꼭지점을 공유하는 것 외에는 존재하지 않는다. 그런데 5차원 이상의 정다포체는 오직 단체, 초입방체, 정축체만 존재하며, 오각 또는 그 이상의 대칭이 존재하지 않는다. 따라서 별 형태를 만들 수 없으므로, 5차원 이상의 유클리드 오목 정다포체는 존재하지 않는다.

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