최근 수정 시각 : 2024-12-15 10:31:12

정다포체

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1. 개요2. 유클리드 다포체
2.1. 볼록 정다포체
2.1.1. 대칭
2.2. 오목 정다포체
3. 기타4. 관련 문서

1. 개요

정다포체(正多胞體)는 군의 작용에 대해 추이적인 다포체이다. 유클리드 군 [math(\mathbb{E}\left(n\right))]의 부분군에 의한 작용일 경우, 특히 [math(n = 2)]의 경우 정다각형, [math(n = 3)]의 경우 정다면체이다. 특히, 정다포체가 볼록인 경우 볼록 정다포체라 한다.

2. 유클리드 다포체

2.1. 볼록 정다포체

유클리드 공간(일상적인 공간)에서 정의되는, 볼록한 정다포체를 의미한다.
4종 이상의 유클리드 정다포체가 존재하는 차원은 2~4차원 까지이며, 5차원 이후부터는 오직 단체, 초입방체, 정축체 3종만 존재한다.

[math(n)]차원에 존재하는 볼록 정다포체의 가짓수를 [math(N_n)]이라고 하면, [math(N_n)]은 다음과 같은 유명한 수열이 된다. 수열이 1로 시작해 갑자기 [math(n=2)]에서 무한대로 치솟았다가, 바로 다음 뜬금없이 5, 6이 되고, 갑자기 3으로 내려가버리므로, [math(n=6)]부터 다음 항을 예측하라고 하면 많은 사람들이 복잡한 문제인 줄 알고 답하지 못한다. 그러나 [math(n \ge 5)]일 때 모든 값이 3인 단순한 수열이다.

[math(N_n = \begin{cases}1\left(n=0\ \mathrm{or}\ n=1\right) \\ \infty\left(n=2\right) \\ 5\left(n=3\right) \\ 6\left(n=4\right) \\ 3\left(n\ge5\right)\end{cases})]

원소나열법으로 표현하면 [math(N_n = \left\{1,\ 1,\ ∞,\ 5,\ 6,\ 3,\ 3,\ 3,\ \cdots \right\} )]이다.

2.1.1. 대칭

2차원 유클리드 평면에는 무수히 많은 볼록 정다각형이 존재하며, 모든 차원의 유클리드 초공간에는 항상 단체, 정축체, 초입방체가 존재한다. 군론적 측면에서 보면 이들의 대칭은 다음과 같다.
차원 정다포체 대칭[Cox] 콕서터 군 대칭 차수
2 정[math(p)]각형 [p] [math(I_2\left(p\right))] [math(2p)]
3 [math(n)]-단체 [3,3] [math(A_n)] [math( \left(n+1\right)!)]
[math(n)]-입방체 [4,3] [math(BC_n)] [math(2^nn!)]
[math(n)]-정축체

이들에 속하지 않는 정다포체는 오직 3차원과 4차원에서만 각각 2개, 3개씩 존재하며, 군론적 측면에서 보면 이들의 대칭은 다음과 같은 콕서터 군에 해당한다.
차원 정다포체 대칭[Cox] 콕서터 군 대칭 차수
3 정십이면체 [5,3] [math(H_3)] 120
정이십면체
4 정이십사포체 [3,4,3] [math(F_4)] 1152
정백이십포체 [5,3,3] [math(H_4)] 14400
정육백포체

2.2. 오목 정다포체

유클리드 공간에서 정의되는, 오목한 정다포체를 의미한다. 그 형태 때문에 별 정다포체(star polytope)라고도 불리며, 3차원인 오목 정다면체는 케플러-푸앵소 다면체(Kepler-poinsot polyhedron)라고 불린다.

볼록 정다포체가 오직 자연수로만 표기되는 것에 반해, 오목 정다포체의 슐레플리 부호는 정수가 아닌 유리수가 하나 이상 포함된다.

오직 2~4차원까지에서만 정의된다. 5차원 이상의 오목 정다포체는 존재하지 않는다.[증명]
  • 2차원: 정다각별 - 무수히 많음
    • 정오각별[math(\left\{ 5/2 \right\})], 정칠각별[math(\left\{ 7/2 \right\})], [math(\left\{ 7/3 \right\})], 정팔각별[math(\left\{ 8/3 \right\})]⋯, 정[math(\frac{x}{y})]각형([math(x>2y)]), ⋯
  • 3차원: 케플러-푸앵소 다면체 - 4종
  • 4차원: 4차원 정다포체 10종
    icosahedral 120-cell [math(\left\{ 3,\ 5,\ 5/2 \right\})]
    small stellated 120-cell [math(\left\{ 5/2,\ 5,\ 3 \right\})]
    great 120-cell [math(\left\{ 5,\ 5/2,\ 5 \right\})]
    grand 120-cell [math(\left\{ 5,\ 3,\ 5/2 \right\})]
    great stellated 120-cell [math(\left\{ 5/2,\ 3,\ 5 \right\})]
    grand stellated 120-cell [math(\left\{ 5/2,\ 5,\ 5/2 \right\})]
    great grand 120-cell [math(\left\{ 5,\ 5/2,\ 3 \right\})]
    great icosahedral 120-cell [math(\left\{ 3,\ 5/2,\ 5 \right\})]
    grand 600-cell [math(\left\{ 3,\ 3,\ 5/2 \right\})]
    great grand stellated 120-cell [math(\left\{ 5/2,\ 3,\ 3 \right\})]

3. 기타

n차원에서 단체가 타일링을 이루는 갯수는 다음과 같다. 단체의 이포각을 acos라는 코사인의 역수를 대입하면 나온다. 이 값은 무한 차원으로 갈수록 4에 수렴한다.
차원 3 4 5 6
타일링 6 5.10430 4.76679 4.58815
3차원부터는 육각형 이상의 형태가 정규 타일링, 쌍곡 타일링으로 나타나서 육각형 이상의 도형으로는 정다면체를 만들 수 없어진다.
5차원 이상에선 오각형의 형태조차 쌍곡으로 사라지는 것을 알 수 있다.
{3,4,3,3}, {3,3,4,3}의 형태도 5차원에서 정규 타일링이어서 이쪽 역시 5차원 이상으로 가면 사라진다.
따라서 5차원 이상에선 정다포체가 3개만 남는다.

또한 {4,3,...,3,4}의 형태는 정규 허니컴이어서 정다포체를 만들 수 없으며 정규 허니컴은 3차원{6,3}, {3,6}, 5차원{3,4,3,3}, {3,3,4,3}을 제외한 모든 차원에서 1개씩 존재하며 3차원과 5차원에선 각각 3개씩 존재한다.

4. 관련 문서

[Cox] 콕서터 표기법(Coxeter notation)[Cox] [증명] 이에 대한 증명은 간단하다. 유클리드 공간에서 (볼록이든 오목이든) 정다포체 꼭점의 좌표는 그 정의상 반드시 해당 차원의 정다포체 대칭성을 가질 수밖에 없다. 따라서 오목 정다포체는 해당 차원의 볼록 정다포체와 꼭짓점을 공유하는 것 외에는 존재하지 않는다. 그런데 5차원 이상의 정다포체는 오직 단체, 초입방체, 정축체만 존재하며, 오각 또는 그 이상의 대칭이 존재하지 않는다. 따라서 별 형태를 만들 수 없으므로, 5차원 이상의 유클리드 오목 정다포체는 존재하지 않는다.

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