정이십사포체

정이십사포체

1. 개요

2. 기타

1. 개요

2. 기타

분류

4차원 볼록 정다포체 4-Dimensional Regular Polychoron
정오포체	정팔포체	정십육포체	정이십사포체	정백이십포체	정육백포체

다포체 Polytopes
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명칭	점	선분	다각형	다면체	다포체

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[math(A_n)] 단체	[math(BC_n)] 초입방체/정축체		[math(D_n)] 반초입방체
[math(I_2\left(p\right))] 정다각형	[math(H_n)] 오각다포체 별 정다포체	[math(F_4)] 정이십사포체	[math(E_n)] E_n 다면체

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구면				쌍곡
유클리드 테셀레이션/허니컴			구면 테셀레이션 구면 허니컴	쌍곡 테셀레이션 쌍곡 허니컴
기타 정의에 따라		페트리-콕서터 다포체, 페트리 쌍대, 섞인 무한다면체, 그륀바움-드레스 다포체

}}}}}}}}} ||

정이십사포체 regular icositetrachoron, 24-cell
3차원에 투영된 정이십사포체.[1]
슐레플리 기호		{3,4,3} 또는 r{3,3,4}
대칭	대칭군	[math(F_4)]
	대칭 차수	1152
쌍대		정이십사포체^{[자기쌍대]}
{{{#!wiki style="margin: 0 -10px -5px; min-height: calc(1.5em + 5px);" {{{#!folding 측정 [ 펼치기 · 접기 ] {{{#!wiki style="margin:-5px -1px -11px"			[math(a)] = 한 변의 길이
초부피		[math(\displaystyle 2 a^4)]
이면각		[math(120\degree)]
반지름	외접구	[math(a)]
	모서리접구	[math(\dfrac{\sqrt{3}}{2}a)]
	면접구	[math(\dfrac{\sqrt{6}}{3}a)]
	내접구	[math(\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2} a)]

}}}}}}}}} ||

}}}}}}}}} ||

다른 이름
옥타플렉스(octaplex), octahedral complex 옥타큐브(octacube) 하이퍼-다이아몬드(hyper-diamond)

1. 개요2. 기타

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正二十四胞體/24-cell, 또는 Regular icositetrachoron(복수는 -chora)

한 개의 모서리에 세 개의 정팔면체가 만나고, 총 스물네 개의 정팔면체로 이루어진 정다포체. 또한 정십육포체의 꼭짓점을 모서리 절반까지 깎거나 정팔포체를 8개의 정육면체 초뿔[2]로 나눈 뒤 뒤집는 방법으로도 만들 수 있다.

정이십사포체를 그리려면 정팔면체를 그린 후, 안에 육팔면체를 그린 뒤 다시 육팔면체 안에 정팔면체를 하나 더 그리고, 육팔면체의 한 삼각형의 변을 안과 밖의 정팔면체의 삼각형의 꼭짓점과 이어지도록 이등변삼각형을 그리면 된다.

정이십사포체의 좌표를 사원수로 [math(\pm1)], [math(\pm i)], [math(\pm j)], [math(\pm k)], [math(\pm\dfrac{1}{2}\pm\dfrac{1}{2}i\pm\dfrac{1}{2}j\pm\dfrac{1}{2}k)]와 같이 나타낼 수 있다.

[math(F_n)] 대칭에 해당하는 정다포체는 정이십사포체가 유일하다. 즉, 유일하게 대응되는 다른 차원의 볼록 정다포체가 없는 4차원 고유의 도형이다.[3][4]
모든 차원의 정다포체 중 유일하게 단체 혹은 정다각형이 아니면서 자기쌍대다.
초부피가 정확히 정팔포체의 2배, 정십육포체의 12배다. 또한 이포각이 120°으로 정십육포체, 정육각형과 같아 정이십사포체 정규 허니컴을 만들 수 있다.

[1] W축으로 회전하는 중이다. 눈에 보이는 것은 2차원 화면이나, 그래픽상 3차원에 투영되었다.[2] 밑포가 정육면체인 4차원 뿔이다.[3] 정이십사포체를 사용해서 만든 {3,4,3,3}과 그 쌍대인 {3,3,4,3}이 있으나, 이는 볼록 다포체가 아니라 4차원 초공간에서 표현되는 허니콤이다. 따라서 유한한 부피를 가진, 볼록 정다포체 중에는 정이십사포체에 대응되는 다른 차원의 도형은 없다.[4] 유사하게 정육면체를 사각뿔로 나눠 뒤집는 방식으로 만들 수 있고, 공간을 빈틈 없이 채울 수 있으며, 하위 차원에 꼭짓점부터 통과시켰을 때 비슷한 모양이 나타나는 마름모십이면체가 있고, 정이십사포체의 단면 중 마름모십이면체가 존재하긴 한다. 그러나 이는 정다면체도, 자기쌍대도 아니며, 군론의 측면에서 살펴봐도 정이십사포체는 [math(F_4)], 마름모십이면체는 [math(B_3)] 대칭에 해당하므로 서로 대응되지 않는다.

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{3} (정삼각형)

{3,4} (정팔면체)