1. 일반적인 뜻
| 차원 Dimension | |||||
| <colbgcolor=#efefef,#2d2f34> 구분 | 0차원 | 1차원 | 2차원 | 3차원 | [math(\boldsymbol{n})]차원(4차원 이상) |
| 위상 | 점 | 선 | 면 | 입체 | 초입체 |
| 측도 | 셈 측도 | 길이 | 넓이 | 부피 | 초부피 |
| 유클리드 공간 · 민코프스키 시공간 · 측도론 | |||||
5次元 / fifth dimension, 5-D
5차원 공간은 위치를 나타내기 위해 필요한 축이 5개인 공간이다.
물론 5차원뿐만 아니라 그 이상의 차원도 묘사할 수도 있다.
초기둥과 초뿔, 토러스 종류의 5차원 버전도 존재하며 클라인 병의 5차원 버전도 있다.
4차원에서 다각형-다각형 끼리 듀오프리즘을 만들었다면 5차원은 다면체-다각형 형태의 듀오프리즘이 가능하다. 한차원 건너 뛰고서 다각형--다각형 간의 듀오프리즘 형태도 만들 수 있다. 6차원에서는 다면체-다면체, 다각형-다포체 형태의 듀오프리즘도 만들 수 있으며 다각형-다각형-다각형 형태의 트리플프리즘도 만들 수 있다.
5차원 유클리드 실공간 상의 4변수함수를 실제로 컴퓨터로 그린 사람은 세계에서도 희귀하고 극소수라고 한다.
1.1. 5차원 이상 정다포체의 성질
단체(simplex), 초입방체(hypercube), 또는 정축체(orthoplex)가 아닌 볼록한 정다포체는 5차원 이상의 유클리드 공간에서는 존재하지 않는다. (n-1)입방체 벌집 외의 다른 정규 벌집은 6차원 이상의 공간에서 존재하지 않는다. 심지어 3차원이나 4차원처럼 오목한 정다포체조차 5차원 이상에선 존재하지 않는다.5차원에서 정이십사포체에 대응하는 {3,4,3,3}과 {3,3,4,3}은 유클리드 타일링이 되며 정백이십포체에 대응하는 {5,3,3,3}과 정육백포체에 대응하는 {3,3,3,5}는 쌍곡이 된다. 심지어 꼭지점이 정백이십포체인 {3,5,3,3}이나 초입체가 정육백포체인 {3,3,5,3} 역시 꼭짓점이나 초입체가 쌍곡이다. 특히 7차원[1] 이상에서는 오각형 계열 중에서 입방체{5,3,...,3}를 계승한 경우 한정으로 이포각이 다시 측정되지만, 면이나 꼭짓점 도형이 논콤팩트여서 그렇다 오각입방체는 [math(\left(2+\sqrt{5}\right))]~4.2360681 차원에서 이포각이 180°가 되며, 그 이후로는 모두 더이상 측정이 불가능해진다.[2] 마찬가지로 육각형 계열도 3차원에서 유클리드 벌집이 되어서 4차원에서는 이포각이 무한으로 발산하고, 육각입방체 한정으로 5차원에서 이포각이 0도가 되며, 다시 이포각을 측정할 수 있게 된다. 반면에 육각정축체는 3차원에서 이포각이 180°가 되며, 그 이후로는 모두 더이상 측정이 불가능해진다. 그리고 6차원 단체는 5차원 단체 7개로, 6차원 입방체는 5차원 입방체 12개로, 6차원 정축체는 5차원 단체 64개로 만들어진다.
따라서 각 차원에 해당하는 볼록 정다포체가 3종류밖에 없다.[3]
4차원 이하의 반초입방체는 정다포체이지만, 5차원 이상의 반초입방체는 정다포체가 아니다.[4]
5차원 유클리드 좌표공간상에서 함수 그래프를 그리면 4차원 다양체(4변수함수)가 그려지듯이 n차원 유클리드 좌표공간상에서 함수 그래프를 그리면 n-1차원 다양체(n-1변수함수)가 그려진다고 한다.
5차원부터는 반초입방체라는 새로운 개념의 도형이 생긴다. 무한차원까지 존재하며 n-demihypercube로 불린다.
참고로 5차원 단체와 정축체, 입방체의 면적은 다음과 같다.
{3,3,3,3}(5-단체)
| 꼭지점(vertex, 0차원) | 6개 |
| 모서리(edge, 1차원) | 15개 |
| 면(face, 2차원) | 정삼각형 20개 |
| 포(cell, 3차원) | 정사면체 15개 |
| 초입체(4차원) | 정오포체 6개 |
| 쌍대 | 자기자신 |
높이 = [math(\dfrac{\sqrt{15}}{5}a)]
총 모서리 길이(total edge length) = [math(15a)]
총 면적(total surface area) = [math(5\sqrt{3}a^2)]
겉부피(surcell volume) = [math(\dfrac{5\sqrt{2}}{4}a^3)]
초겉부피(bulk) = [math(\dfrac{\sqrt{5}}{16}a^4)]
초초부피 = [math(\dfrac{\sqrt{3}}{480}a^5)]≈0.0036a5
외접5-초구의 반지름 = [math(\dfrac{\sqrt{15}}{6}a)]
모서리접5-초구의 반지름 = [math(\dfrac{\sqrt{6}}{6}a)]
면접5-초구의 반지름 = [math(\dfrac{\sqrt{3}}{6}a)]
입체접5-초구의 반지름 = [math(\dfrac{\sqrt{6}}{12}a)]
내접5-초구의 반지름 = [math(\dfrac{\sqrt{15}}{30}a)]
{4,3,3,3}(5-입방체)
| 꼭지점(vertex, 0차원) | 32개 |
| 모서리(edge, 1차원) | 80개 |
| 면(face, 2차원) | 정사각형 80개 |
| 포(cell, 3차원) | 정육면체 40개 |
| 초입체(4차원) | 정팔포체 10개 |
| 쌍대 | 5-정축체 |
총 모서리 길이(total edge length) = [math(80a)]
총 면적(total surface area) = [math(80a^2)]
겉부피(surcell volume) = [math(40a^3)]
초겉부피(bulk) = [math(10a^4)]
초초부피 = [math(a^5)]
외접5-초구의 반지름 = [math(\dfrac{\sqrt{5}}{2}a)]
모서리접5-초구의 반지름 = [math(a)]
면접5-초구의 반지름 = [math(\dfrac{\sqrt{3}}{2}a)]
입체접5-초구의 반지름 = [math(\dfrac{\sqrt{2}}{2}a)]
내접5-초구의 반지름 = [math(\dfrac{1}{2}a)]
{3,3,3,4}(5-정축체)
| 꼭지점(vertex, 0차원) | 10개 |
| 모서리(edge, 1차원) | 40개 |
| 면(face, 2차원) | 정삼각형 80개 |
| 포(cell, 3차원) | 정사면체 80개 |
| 초입체(4차원) | 정오포체 32개 |
| 쌍대 | 5-입방체 |
총 모서리 길이(total edge length) = [math(40a)]
총 면적(total surface area) = [math(20\sqrt{3}a^2)]
겉부피(surcell volume) = [math(\dfrac{20\sqrt{2}}{3}a^3)]
초겉부피(bulk) = [math(\dfrac{\sqrt{5}}{3}a^4)]
초초부피 = [math(\dfrac{\sqrt{2}}{30}a^5)]≈0.0471a5[5]
외접5-초구의 반지름 = [math(\dfrac{\sqrt{2}}{2}a)]
모서리접5-초구의 반지름 = [math(\dfrac{1}{2}a)]
면접5-초구의 반지름 = [math(\dfrac{\sqrt{6}}{6}a)]
입체접5-초구의 반지름 = [math(\dfrac{\sqrt{2}}{4}a)]
내접5-초구의 반지름 = [math(\dfrac{\sqrt{10}}{10}a)]
{3,4,3,3}, {3,3,4,3}, {4,3,3,4} 이렇게 3개는 초초부피가 무한대로 발산하게 된다. 초입체, 입체, 면, 모서리, 꼭지점의 비율은 다음과 같다.
{3,4,3,3} 1:12:32:24:3
{3,3,4,3} 3:24:32:12:1
{4,3,3,4} 1:4:6:4:1
====# 쌍곡 #====
{5,3,3,3}과 {3,3,3,5}은 5차원 이상에서 쌍곡이 되기에 6차원 이상에서도 당연히 논콤팩트가 되어 사라지며 쌍곡이지만 작성해보도록 한다. 5차원에서는 오각입방체, 오각정축체 모두 반지름이 마이너스 허수가 나온다. 초입체-입체+면-모서리+꼭지점=2이라는 오일러 공식을 이용하면 3차원과 5차원 쌍곡은 몇포체인지 추정값을 알 수 있다 한다.[6] 이 공식을 이용할 시 {5,3,3,3}은 2포체, {3,3,3,5}는 240포체라는 결과값이 나온다. 스패리샐 정다포체가 아니기 때문에 각주로 적었다. {3,5,3,3}, {3,3,5,3}은 면 또는 꼭짓점이 쌍곡이지만, 이것은 {3,5,3}을 먼저 알아야 작성할 수 있다. 또한 {5,3,3,4}, {4,3,3,5}, {5,3,3,5} 도 그러한 공식을 써서 이론상 구해볼 수는 있겠지만 {4,3,4,3}, {3,4,3,4}와 같이 n-1차원 도형이 유클리드 벌집 또는 쌍곡인 경우 각각 파라콤팩트, 논콤팩트라고 부르는데, 이런 경우 끝까지 그릴 수 없게 된다. 5차원에선 초입체-입체+면-모서리+꼭지점=2가 되는 값을 찾으면 가능하다.
{5,3,3,3}(오각입방체 벌집)
초입체: 정백이십포체 2개, 입체: 정십이면체 120개, 면: 정오각형 480개, 모서리: 600개, 꼭지점: 240개, 총 모서리 길이:[math(600a)], 총 면적:[math(120\sqrt{25+10\sqrt{5}}a^2)], 총 부피:[math(30(15+7{\sqrt{5}})a^3)], 겉초부피:[math(\dfrac{15}{2}(105+47{\sqrt{5}})a^4)], 초초부피:[math(-\dfrac{3\sqrt{-1677610-750250\sqrt{5}}}{4}a^5)]≈-1373.79447ia5[7], 외접5-초구의 반지름:[math(-\dfrac{\sqrt{-10-5\sqrt{5}}}{2}a)], 모서리접5-초구의 반지름:[math(-\dfrac{\sqrt{-11-5\sqrt{5}}}{2}a)], 면접5-초구의 반지름:[math(-\dfrac{\sqrt{-300-135\sqrt{5}}}{10}a)], 입체접5-초구의 반지름:[math(-\dfrac{\sqrt{-58-26\sqrt{5}}}{4}a)], 내접5-초구의 반지름:[math(-\dfrac{\sqrt{-38-17\sqrt{5}}}{2}a)]
{3,3,3,5}(오각정축체 벌집)
초입체: 정오포체 240개, 입체: 정사면체 600개, 면: 정삼각형 480개, 모서리: 120개, 꼭지점: 2개, 총 모서리 길이:[math(120a)], 총 면적:[math(120\sqrt{3}a^2)], 총 부피:[math(50\sqrt{2}a^3)], 겉초부피:[math(\dfrac{5\sqrt{5}}{2}a^4)], 초초부피:[math(-\dfrac{\sqrt{-38-10\sqrt{5}}}{8}a^5)]≈-0.97115ia5, 외접5-초구의 반지름:[math(-\dfrac{\sqrt{2-2\sqrt{5}}}{4}a)], 모서리접5-초구의 반지름:[math(-\dfrac{\sqrt{-2-2\sqrt{5}}}{4}a)], 면접5-초구의 반지름:[math(-\dfrac{\sqrt{-30-18\sqrt{5}}}{12}a)], 입체접5-초구의 반지름:[math(-\dfrac{\sqrt{-4-2\sqrt{5}}}{4}a)], 내접5-초구의 반지름:[math(-\dfrac{\sqrt{-190-50\sqrt{5}}}{20}a)]
5차원에서는 4가지의 오목 정다포체 hyperbolic 벌집이 존재하는데, {5/2,5,3,3}, {3,3,5,5/2}, {5,5/2,5,3}, {3,5,5/2,5}가 있다. 그리고 5차원에서의 다른 것들 한 모서리에서의 이면각의 합 360°보다 크지만 density 값이 결정되지 않아서 쌍곡이 되지 못한 예시도 무수히 많다.
그리고 오목한 유클리드 정규 벌집은 실제로는 만들 수 없지만, 내각의 합이 360°가 되는 경우를 생각해보고, 그 조건을 만족시키는 오목한 계열을 찾아보면 5차원에서는 {5,3,3,5/2}, {5/2,3,3,5}, {5/2,3,5,5/2}, {5/2,5,3,5/2}, {5,3,5/2,5}, {5,5/2,3,5}, {3,5/2,5,3}, {3,5,5/2,3}, {5,5/2,5,5/2}, {5/2,5,5/2,5}도 이포각의 합이 360°가 되어서 유클리드 정규 벌집이, {5/2,3,5,3}, {3,5,3,5/2}, {5/2,5,3,5}, {5,3,5,5/2} 이렇게 4가지는 쌍곡을 가지는 오목 쌍곡 벌집(논콤팩트)이 된다.
- small stellated 120-cell honeycomb{5/2,5,3,3}
- pentagrammic order 600-cell honeycomb{3,3,5,5/2}
- order 5 icosihedral 120-cell honeycomb{3,5,5/2,5}
- great 120-cell honeycomb{5,5/2,5,3}
5차원 오목 쌍곡의 초입체, 입체, 면, 모서리, 꼭지점의 수는 다음과 같다.
density 고려하지 않은 값
| 오목 쌍곡 | 초입체 | 입체 | 면 | 모서리 | 꼭지점 |
| {5/2,5,3,3} | 8/5 | 72 | 192 | 120 | 2/5 |
| {3,3,5,5/2} | 2/5 | 120 | 192 | 72 | 8/5 |
| {3,5,5/2,5} | 6/5 | 36 | 48 | 12 | 4/5 |
| {5,5/2,5,3} | 4/5 | 12 | 48 | 36 | 6/5 |
density 고려한 값
| 오목 쌍곡 | 초입체 | 입체 | 면 | 모서리 | 꼭지점 | 초입체-입체+면-모서리+꼭지점 | 몇배의 쌍곡 공간을 덮는 수(density) |
| {5/2,5,3,3} | 2 | 120 | 480 | 600 | 2 | -236 | 5 |
| {3,3,5,5/2} | 2 | 600 | 480 | 120 | 2 | -236 | 5 |
| {3,5,5/2,5} | 2 | 120 | 480 | 120 | 2 | 244 | 10 |
| {5,5/2,5,3} | 2 | 120 | 480 | 120 | 2 | 244 | 10 |
여담으로 이들 쌍곡 오각형 계열 중 {5,3,3,3}, {5/2,5,3,3}, {5,5/2,5,3}, {3,5,5/2,5} 이렇게 4개는 이포각이 완전히 같다.
- {5,3,3,3} 벌집 [math(\cos^{-1}\left(-2-\sqrt{5}\right))]~180-121.61316i°
- {3,3,3,5} 벌집 [math(\cos^{-1}\left(\dfrac{-1-2\sqrt{5}}{5}\right))]~180-24.70736i°
- {5/2,5,3,3} 벌집 [math(\cos^{-1}\left(-2-\sqrt{5}\right))]~180-121.61316i°
- {3,3,5,5/2} 벌집 [math(\cos^{-1}\left(-5-2\sqrt{5}\right))]~180-168.37531i°
- {5,5/2,5,3} 벌집 [math(\cos^{-1}\left(-2-\sqrt{5}\right))]~180-121.61316i°
- {3,5,5/2,5} 벌집 [math(\cos^{-1}\left(-2-\sqrt{5}\right))]~180-121.61316i°
2. DC 코믹스의 5차원
- 5차원(DC 코믹스) 문서 참조.
3. 이야깃거리
영화 인터스텔라에도 블랙홀 내부 장면에서 5차원이 나오는 것으로 되어 있다. 하지만 이것은 4차원의 공간+1차원의 시간을 나타낸 설정상의 용어였기 때문에 이 항목에서 다루는 5차원과는 많이 다르다. 그러니 그 영화와 이 항목의 주제로 엄연히 따진다면 4차원이다.[8][9] 5차원부터는 시공간까지 합쳐도 현실에서 묘사가 불가능하다. 4차원의 공간+1차원의 시간도 공간이 4차원이기 때문에 묘사가 불가능하며 3차원의 공간+2차원의 시간도 현실에선 시간이 1차원이어서 묘사가 불가능하다. 6차원부터는 시간여행이 가능할 것으로 보인다.[1] 이는 정수 차원일 때 기준이며, 실수로 확장시키면 [math(\left(4+\sqrt{5}\right))]으로, 대략 6.2360681차원 이다.[2] 가운데가 5각형이 들어간 경우는 6차원에서도 이포각 측정이 가능한 것도 있다. {3,5,3,3,3}과 {3,5,3,5/2,5}, {3,5,3,3,5/2}은 6차원 도형이지만 이포각이 측정 가능하지만 {3,3,5,3,3}, {3,3,5,3,5/2}, {5/2,3,3,5,5/2}, {3,3,5/2,5,3}, {3,3,3,5,3} 따위는 6차원에서 측정이 불가능하다. 적어도 n-2차원 이하에서 쌍곡이 시작해야 가능하다.[3] 5차원 이상의 공간에서 존재하는 정다포체는 각각 n차원 정(n+1)포체(=단체), n차원 정(2n)포체(=초입방체), 그리고 n차원 정2n포체(=정축체)이다.[4] 2차원: 선분, 3차원: 정사면체, 4차원: 정십육포체[5] 정팔면체의 초부피의 정확히 1/10배와 같다.[6] 3차원에는 면-모서리+꼭지점=2라는 공식으로 알 수 있는데 음수가 나온다. 예를 들어 {7,3}이 -12면체이거나 {3,7}이 -28면체인 등. 반면 4차원, 6차원 등 짝수차원은 이런 식으로 추정하기가 불가능하며 다른 방법을 알아봐야 한다. 홀수차원이 초등적인 증명으로도 쉽게 풀렸던 것이며 가우스-보네 정리조차도 3차원 스패리샐, 유클리디안, 쌍곡 타일링에 관련된 정리라 짝수차원은 일반적인 방법으로는 구할 수 없다.[7] 값이 크게 나오는 이유가 (정백이십포체의 체적×내접구의 반지름×등각높이(1/5)×포체의 수(2))를 하는데 정백이십포체의 체적과 내접구의 반지름이 값이 크지만 약분이 조금밖에 안되어서 그렇다.[8] 3차원 공간에 1차원의 시간이라 하여 우리가 사는 이 세상은 4차원이라 하는 것과 같은 것.[9] 이게 다 차원이 기하학적인 의미와 물리학적인 의미를 가지고 있기 때문에 벌어지는 혼동이다. 제대로 정의가 될 때까진 어느 쪽이 맞다 할 수가 없다. 다만 현재는 시간과 공간을 분리하여 설명하는 쪽이 주류이다.