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1. 개요
르장드르 함수는 프랑스의 수학자 아드리앵마리 르장드르(Adrien-Marie Legendre; 1752~1833)[1]에 의해 알려진 함수이며, 아래의 르장드르 방정식을 만족시키는 함수이다.[math(\displaystyle (1-x^{2}) \frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^{2}}-2x \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+n(n+1)y=0 )]
이 미분 방정식은 구면 좌표계에서 라플라스 방정식을 풀었을 때 등장하게 된다. 한편,
[math(\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\!\left[ (1-x^{2}) \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right]=(1-x^{2}) \frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^{2}}-2x \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} )]
임을 이용하면, 르장드르의 미분 방정식은 다음과 같이 간략히 표현할 수 있다.
[math(\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\!\left[ (1-x^{2}) \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right]+n(n+1)y=0 )]
2. 상세
르장드르의 미분 방정식은 [math(x=0)]이 정상점임에 따라 방정식의 해를 다음과 같은 꼴로 놓을 수 있다.[math(\displaystyle y(x)=\sum_{m=0}^{\infty}a_{m}x^{m} )]
이것을 미분 방정식에 대입하면,
| [math(\displaystyle \begin{aligned} \sum_{m=2}^{\infty} a_{m}m(m-1)x^{m-2}-\sum_{m=2}^{\infty} a_{m}m(m-1)x^{m}-2\sum_{m=1}^{\infty}a_{m}mx^{m}+n(n+1)\sum_{m=0}^{\infty}a_{m}x^{m}&=0 \\ \sum_{m=0}^{\infty} a_{m+2}(m+1)(m+2)x^{m}-\sum_{m=2}^{\infty} a_{m}m(m-1)x^{m}-2\sum_{m=1}^{\infty}a_{m}mx^{m}+n(n+1)\sum_{m=0}^{\infty}a_{m}x^{m}&=0 \end{aligned} )] |
[math(\displaystyle \frac{a_{m+2}}{a_{m}}=-\frac{(n-m)(m+n+1)}{(m+1)(m+2)} \quad (n \geq 0) )]
이상에서 일반해는 다음과 같다.
[math(\displaystyle y(x)=A_{1}y_{0}(x)+A_{2}y_{1}(x) )]
관례적으로 [math(a_{0}=a_{1}=1)]로 잡아 다음과 같이 쓴다.
| [math(\displaystyle \begin{aligned} y_{0}(x) & := 1-\frac{n(n+1)}{2!}x^{2}+\frac{n(n+1)(n-2)(n+3)}{4!} x^{4}-\cdots \\ y_{1}(x) & := x-\frac{(n-1)(n+2)}{3!}x^{3}+\frac{(n-1)(n+2)(n-3)(n+4)}{5!}x^{5}+\cdots \end{aligned} )] |
르장드르의 미분 방정식의 해의 특징은 [math(n)]이 정수일 경우 [math(y_{0}(x))]나 [math(y_{1}(x))] 중 하나는 무한급수가 아닌 다항식 꼴로 표현된다는 것이다. 이때, 다항식 꼴의 해에서 약간의 규격화 상수를 붙인 것을 [math(P_{n}(x))]로 하여 제1종 르장드르 함수(Legendre function of the first kind) 혹은 르장드르 다항식(Legendre polynomials)이라 하고, 다항식이 아닌 해를 [math(Q_{n}(x))]으로 한 뒤 관례적으로 약간의 규격화 상수를 붙여 제2종 르장드르 함수(Legendre function of the second kind)로 정의한다. 따라서 [math(n)]이 정수인 경우 일반해는 다음과 같이 쓸 수 있다.
[math(\displaystyle y(x)=A_{1}P_{n}(x)+A_{2}Q_{n}(x) )]
2.1. 르장드르의 미분 방정식의 다른 형태
구면 좌표계에서 스칼라 함수 [math(f(r,\,\theta))]에 대하여 [math(f(r,\,\theta)=R(r) \Theta(\theta))]로 놓고 라플라스 방정식을 풀면 [math(\theta)]에 관한 식이 나온다.[math(\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \theta} \!\left( \sin{\theta} \frac{\mathrm{d} \Theta}{\mathrm{d} \theta} \right)+m^{2} \Theta\sin{\theta}=0 )]
여기서 [math(m)]은 상수이다. 이것을 [math(\Theta(\theta) \to \Theta(x))], [math(x=\cos{\theta})]로 치환하면 다음과 같다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \sqrt{1-x^{2}} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \!\left[ (1-x^{2}) \frac{\mathrm{d} \Theta}{\mathrm{d} x} \right]+\sqrt{1-x^{2}} m^{2}\Theta &=0 \\ (1-x^2)\frac{\mathrm{d}^{2} \Theta}{\mathrm{d} x^{2}}-2x \frac{\mathrm{d} \Theta}{\mathrm{d}x}+m^{2}\Theta&=0 \end{aligned})]
[math(m^{2} := n(n+1))]로 놓으면 위 식은 아래와 같아진다.
[math(\displaystyle (1-x^2)\frac{\mathrm{d}^{2} \Theta}{\mathrm{d} x^{2}}-2x \frac{\mathrm{d} \Theta}{\mathrm{d}x}+n(n+1)\Theta=0)]
이것은 명백히 르장드르의 미분 방정식이므로, [math(\theta)]에 대한 해를 다음과 같이 쓸 수 있다.
[math(\displaystyle \Theta(\cos{\theta}) \propto P_{n}(\cos{\theta}) )]
3. 분석
이 문단에서는 물리학적으로 가장 유용한 해인 제1종 르장드르 함수만을 심층적으로 분석하였다.3.1. 종류
제1종 르장드르 함수는 [math(P_{n}(1)=1)], [math(P_{n}(-1)=(-1)^{n})]이 되게끔 약간의 규격화 상수를 붙여 해로 정의한다. 아래는 몇몇의 제1종 르장드르 함수를 나타낸 것이다.| [math(\displaystyle \begin{aligned} P_{0}(x)&=1 \\ P_{1}(x)&=x \\ P_{2}(x)& =\frac{1}{2}\!\left(3x^2-1\right) \\ P_{3}(x)&=\frac{1}{2} \!\left(5x^3-3x\right) \\ P_{4}(x)&=\frac{1}{8} \!\left(35x^4-30x^2+3\right) \\ P_{5}(x)&=\frac{1}{8} \!\left(63x^5-70x^3+15x\right) \\ P_{6}(x)&=\frac{1}{16} \!\left(231x^6-315x^4+105x^2-5\right) \\ P_{7}(x)&=\frac{1}{16} \!\left(429x^7-693x^5+315x^3-35x\right) \\ P_{8}(x)&=\frac{1}{128} \!\left(6435x^8-12012x^6+6930x^4-1260x^2+35\right) \\ P_{9}(x)&=\frac{1}{128} \!\left(12155x^9-25740x^7+18018x^5-4620x^3+315x\right ) \\ P_{10}(x)&=\frac{1}{256} \!\left(46189x^{10}-109395x^8+90090x^6-30030x^4+3465x^2-63\right) \end{aligned} )] |
3.2. 그래프
아래는 [math([-1,\,1])] 구간에 몇몇의 제1종 르장드르 함수의 그래프를 나타낸 것이다.3.3. 생성 함수
제1종 르장드르 함수에 대한 생성 함수는 아래와 같다.[math(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-2xt+t^{2} }}=\sum_{n=0}^{\infty} P_{n}(x)t^{n} )]
3.4. 로드리게스 공식
Rodrigues Formula제1종 르장드르 함수는 다음과 같이 나타낼 수 있다.
[math(\displaystyle P_{n}=\frac{1}{2^{n} \cdot n!} \frac{\mathrm{d}^{n}}{\mathrm{d}x^{n}}(x^{2}-1)^{n} )]
다음과 같은 식에서 출발하여 이를 증명하여 보자.
[math(\displaystyle u := (x^{2}-1)^{n} )]
양변을 미분하면
[math(\displaystyle u'=2nx(x^{2}-1)^{n-1} \, \to \, (x^{2}-1)u'=2nxu )]
라이프니츠 미분 규칙을 이용해, 양변을 [math((n+1))]번 미분하면
[math(\displaystyle \begin{aligned} \sum_{k=0}^{n+1} \binom{n+1}{k} (x^{2}-1)^{(k)}u^{(n+2-k)}=2n \sum_{k=0}^{n+1} \binom{n+1}{k} x^{(k)}u^{(n+1-k)} \end{aligned})] |
[math(\displaystyle \begin{aligned} (x^{2}-1)u^{n+2}+2(n+1)xu^{n+1}+n(n+1) u^{n}&=2nxu^{n+1}+2n(n+1)u^{n} \\ (1-x^{2})u^{n+2}-2xu^{n+1}+n(n+1)u^{n}&=0 \\ (1-x^{2})\frac{\mathrm{d}^{2} u^{n}}{\mathrm{d}x^{2}}-2x \frac{\mathrm{d}u^{n}}{\mathrm{d}x}+n(n+1)u^{n}&=0 \end{aligned} )] |
[math(\displaystyle \frac{\mathrm{d}^{n}}{\mathrm{d}x^{n}}(x^2-1)^{n}=CP_{n}(x) )]
[math(C)]는 상수이다. 이상에서 라이프니츠 미분 규칙을 적용하면,
[math(\displaystyle \begin{aligned} P_{n}(x)&=\frac{1}{C}\frac{\mathrm{d}^{n}}{\mathrm{d}x^{n}}(x^2-1)^{n} \\ &=\frac{1}{C} \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} [(x+1)^{n}]^{(k)}[(x-1)^{n}]^{(n-k)} \end{aligned} )] |
[math(\displaystyle \begin{aligned} P_{1}(x)&=\frac{1}{C}n!\cdot(1+1)^{n}=1 \, \to \,C=2^{n}\cdot n! \end{aligned} )]
따라서 다음과 같은 결과를 얻으며, 이를 제1종 르장드르 함수에 대한 로드리게스 공식(Rodrigues' formula)이라 한다.
[math(\displaystyle P_{n}(x)=\frac{1}{2^{n}\cdot n! } \frac{\mathrm{d}^{n}}{\mathrm{d}x^{n}}(x^{2}-1)^{n} )]
3.5. 재귀 관계
생성 함수를 이용하면 다음의 관계식을 증명할 수 있다.- [math( \displaystyle nP_{n}(x)=(2n-1)xP_{n-1}(x)-(n-1)P_{n-2}(x) )]
- [math( \displaystyle xP_{n}'(x)-P_{n-1}'(x)=nP_{n}(x) )]
- [math( \displaystyle P_{n}'(x)-xP_{n-1}'(x)=nP_{n-1}(x) )]
- [math( \displaystyle (1-x^{2})P_{n}'(x)=nP_{n-1}(x)-nxP_{n}(x) )]
- [math( \displaystyle (2n+1)P_{n}(x)=P_{n+1}'(x)-P_{n-1}'(x) )]
- [math( \displaystyle (1-x^{2})P_{n-1}'(x)=nxP_{n-1}(x)-nP_{n}(x) )]
3.6. 직교성
제1종 르장드르 함수는 [math([-1,\,1])] 구간에서 직교하는 다항식으로, 다음을 만족시킨다. [math(\delta_{mn})]은 크로네커 델타이다.[math(\displaystyle \int_{-1}^{1} P_{n}(x)P_{m}(x)\,\mathrm{d}x=\frac{2}{2n+1}\delta_{mn} )]
우선 [math(m \neq n)]일 때를 증명해보자. [math(P_{n}(x))]와 [math(P_{m}(x))]가 만족시키는 르장드르의 미분 방정식을 적어보자.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\!\left[ (1-x^{2}) \frac{\mathrm{d}P_{n}(x)}{\mathrm{d}x}\right]+n(n+1)P_{n}(x)&=0 \\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\!\left[ (1-x^{2}) \frac{\mathrm{d}P_{m}(x)}{\mathrm{d}x}\right]+m(m+1)P_{m}(x)&=0 \end{aligned} )]
위쪽 방정식에는 [math(P_{m}(x))]를, 아래쪽 방정식에는 [math(P_{n}(x))]를 각각 곱한 후 위에서 아래를 빼고 정리하면 다음과 같다.
| [math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\!\left[ (1-x^{2}) \frac{\mathrm{d}P_{n}(x)}{\mathrm{d}x}\right]P_{m}(x)-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\!\left[ (1-x^{2}) \frac{\mathrm{d}P_{m}(x)}{\mathrm{d}x}\right]P_{n}(x)+[n(n+1)-m(m+1) ]P_{n}(x)P_{m}(x)&=0 \\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\!\left[ (1-x^{2}) \!\left( P_{m}(x) \frac{\mathrm{d} P_{n}(x)}{\mathrm{d}x}-P_{n}(x) \frac{\mathrm{d} P_{m}(x)}{\mathrm{d}x} \right)\right]+[n(n+1)-m(m+1) ]P_{n}(x)P_{m}(x)&=0 \end{aligned} )] |
| [math(\displaystyle \!\left[ (1-x^{2}) \!\left( P_{m}(x) \frac{\mathrm{d} P_{n}(x)}{\mathrm{d}x}-P_{n}(x) \frac{\mathrm{d} P_{m}(x)}{\mathrm{d}x} \right) \right]_{-1}^{1}=-[n(n+1)-m(m+1) ] \int_{-1}^{1} P_{n}(x)P_{m}(x)\,\mathrm{d}x )] |
[math(\displaystyle -[n(n+1)-m(m+1) ] \int_{-1}^{1} P_{n}(x)P_{m}(x)\,\mathrm{d}x=0 )]
그런데 [math(n \neq m)]을 가정한 상황이므로 최종적으로 다음과 같이 증명된다.
[math(\displaystyle \int_{-1}^{1} P_{n}(x)P_{m}(x)\,\mathrm{d}x=0 \quad (n \neq m) )]
이번에는 [math(m=n)]인 경우를 보자. 제1종 르장드르 함수의 재귀 관계 중 다음 식을 고려해보자.
[math(\displaystyle nP_{n}(x)=xP_{n}'(x)-P_{n-1}'(x) )]
이때, 양변에 [math(P_{n}(x))]를 곱한 뒤 구간 [math([-1,\,1])]에 대하여 적분하면
[math(\displaystyle n\int_{-1}^{1} [P_{n}(x) ]^{2}\,\mathrm{d}x= \int_{-1}^{1} xP_{n}'(x)P_{n}(x)\,\mathrm{d}x- \int_{-1}^{1} P_{n-1}'(x)P_{n}(x)\,\mathrm{d}x )]
우변의 마지막 항은 0[2]이 되고, 우변의 첫 항은 다음처럼 정리된다.
| [math(\displaystyle \begin{aligned} \int_{-1}^{1} xP_{n}'(x)P_{n}(x)\,\mathrm{d}x&=\biggl[ x\frac{[P_{n}(x) ]^{2}}{2} \biggr]_{-1}^{1} -\int_{-1}^{1} \frac{[P_{n}(x) ]^{2}}{2}\,\mathrm{d}x \\ &=1-\frac{1}{2} \int_{-1}^{1} [P_{n}(x) ]^{2}\,\mathrm{d}x \end{aligned})] |
| [math(\displaystyle \begin{aligned} \!\left( n+\frac{1}{2} \right) \int_{-1}^{1} [P_{n}(x) ]^{2}\,\mathrm{d}x &=1 \, \to \, \int_{-1}^{1} [P_{n}(x) ]^{2}\,\mathrm{d}x=\frac{2}{2n+1} \quad (n=m) \end{aligned})] |
참고로 구간 [math([-b,\,b])]에 대하여 다음이 성립함을 치환적분을 통해 증명할 수 있다.
[math(\displaystyle \int_{-b}^{b} P_{n}\biggl( \frac{x}{b} \biggr)P_{m}\biggl( \frac{x}{b} \biggr)\,\mathrm{d}x=\frac{2b}{2n+1}\delta_{mn} )]
3.6.1. 푸리에-르장드르 급수
푸리에 급수로 주기가 [math(2L)]인 함수 [math(f(x))]를 해당 구간에서 직교하는 삼각함수를 이용하여[math(\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} \sin{\frac{n\pi x}{L}}+b_{n} \cos{\frac{n \pi x}{L}} )]
로 전개할 수 있었으며, 각 계수는 이들의 함수의 직교성으로 구할 수 있었다.
이와 유사하게 구간 [math([-b,\,b])]의 함수 [math(f(x))]에 대하여
[math(\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} P_{n}\!\left( \frac{x}{b} \right) )]
으로 전개할 수 있는데, 이 급수를 푸리에-르장드르 급수(Fourier-Legendre series)라 한다. 계수 [math(a_{n})]을 구하기 위해, 양변에 [math(P_{m}(x/b))]를 곱하고 구간 [math([-b,\,b])]에 대하여 적분하면 다음처럼 정리된다.
| [math(\displaystyle \begin{aligned} \int_{-b}^{b}f(x) P_{m} \!\left( \frac{x}{b} \right) \,\mathrm{d}x&=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} \int_{-b}^{b} P_{n}\!\left( \frac{x}{b} \right) P_{m}\!\left( \frac{x}{b} \right)\,\mathrm{d}x \\ &=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} \frac{2b}{2n+1} \delta_{nm} \\ &=a_{m}\frac{2b}{2n+1} \end{aligned} )] |
[math(\displaystyle \begin{aligned} a_{n}=\frac{2n+1}{2b}\int_{-b}^{b}f(x) P_{m} \!\left( \frac{x}{b} \right)\mathrm{d}x \end{aligned} )]
4. 연관 함수
4.1. 버금 르장드르 함수
버금 르장드르 함수(associated Legendre function)는 미분 방정식[math(\displaystyle (1-x^2){\mathrm{d}^2 y\over \mathrm{d}x^2} - 2x{\mathrm{d}y\over \mathrm{d}x}+\!\left[n(n+1)-{m^2\over 1-x^2} \right]y=0 )]
(단, [math(m)]은 정수)을 만족하는 함수로
[math(\displaystyle y(x)=A_{1}P_{n}^{m}(x)+ A_{2}Q_{n}^{m}(x) )]
로 쓰고, 각각을 제1종 버금 르장드르 함수(associated Legendre function of the first kind), 제2종 버금 르장드르 함수(associated Legendre function of the second kind)라 한다.
제1종 버금 르장드르 함수와 제1종 르장드르 함수 사이에는 다음과 같은 관계가 있다.
[math(\begin{aligned}\displaystyle P_{n}^{m}(x)&=(1-x^{2})^{|m|/2} \frac{\mathrm{d}^{|m|}P_{n}(x)}{\mathrm{d}x^{|m|}}\\P_{n}^{-m}(x)&=(-1)^{m} \frac{(n-m)!}{(n+m)!}P_{n}^{m}(x)\end{aligned})]
이 함수 또한 구간 [math([-b,\,b])]에 대하여 아래의 직교성이 있다.
[math(\displaystyle \int_{-b}^{b} P_{n}^{m}\!\left( \frac{x}{b} \right) P_{l}^{m}\!\left( \frac{x}{b} \right)\mathrm{d}x=\frac{2b}{2n+1}\frac{(n+|m|)!}{(n-|m|)!}\delta_{nl} )]
제1종 버금 르장드르 함수의 재귀 관계는 아래와 같다.
- [math(\displaystyle P_{n}^{m+1}(x)=\frac{2mx}{\sqrt{1-x^{2}}}P_{n}^{m}(x)+[m(m-1)-n(n+1) ]P_{n}^{m-1}(x) )]
- [math(\displaystyle (2n+1)xP_{n}^{m}(x)=(n+m)P_{n-1}^{m}(x)+(n-m+1)P_{n+1}^{m}(x) )]
- [math(\displaystyle (2n+1)\sqrt{1-x^{2}} P_{n}^{m}(x)=P_{n+1}^{m+1}(x)-P_{n-1}^{m+1}(x) )]
- [math(\displaystyle 2\sqrt{1-x^{2}} \frac{\mathrm{d}P_{n}^{m}(x)}{\mathrm{d}x}=P_{n}^{m+1}(x)-(n+m)(n-m+1)P_{n}^{m-1}(x) )]
4.2. 구면 조화 함수
구면 조화 함수(spherical harmonics)는 구면좌표계에서 아래와 같이 정의되는 함수이다.[3][math(\displaystyle Y_{l}^{m}(\theta,\,\phi) := A P_{l}^{m}(\cos{\theta}) e^{i m \phi} )]
[math(A)]는 규격화 상수로써
[math(\displaystyle \oint_{\Omega }Y_{l}^{m\ast}(\theta,\,\phi) Y_{l}^{m}(\theta,\,\phi)\, \mathrm{d} \Omega=1 )]
이 되도록 관례적으로 잡는다. [math(\Omega)]는 입체각이고, [math(\oint_{\Omega})]는 전체 입체각에 대한 적분임을 나타내는 기호이다. 이것은
[math(\displaystyle |A|^{2} \int_{0}^{2 \pi} \mathrm{d} \phi \int_{0}^{\pi} [P_{l}^{m}(\cos{\theta}) ]^{2}\sin{\theta}\,\mathrm{d}\theta )]
으로 쓸 수 있고, [math(x := \cos{\theta})]라 잡으면,
[math(\displaystyle |A|^{2} \int_{0}^{2 \pi} \mathrm{d} \phi \int_{0}^{1} [P_{l}^{m}(x) ]^{2}\,\mathrm{d}x=\frac{4 \pi}{2l+1}\frac{(l+|m|)!}{(l-|m|)!} |A|^{2}=1 )]
이고, 결국
[math(\displaystyle Y_{l}^{m}(\theta,\,\phi) = \sqrt{ \frac{2l+1}{4 \pi} \frac{(l-|m|)!}{(l+|m|)!} } \,P_{l}^{m}(\cos{\theta}) e^{i m \phi} )]
으로 정의된다. 또한 모든 입체각에 대해 다음과 같은 직교성이 있다.
[math(\displaystyle \oint_{\Omega }Y_{l'}^{m'\ast}(\theta,\,\phi) Y_{l}^{m}(\theta,\,\phi)\, \mathrm{d} \Omega=\delta_{ll'}\delta_{mm'} )]
또한 기본적으로 제1종 버금 르장드르 함수와 [math(e^{im \phi})]의 곱으로 이루어진 함수이기 때문에 다음을 증명할 수 있다.
[math(\displaystyle Y_{l}^{-m}(\theta,\,\phi)=(-1)^{m}Y_{l}^{m}(\theta,\,\phi) )]
이 구면 조화 함수는 양자역학에서 3차원 입자의 각운동량을 논할 때 사용된다.
이곳(영어)으로부터 몇몇 구면 조화 함수의 목록을 볼 수 있고, 아래의 그래프[4]는 몇몇 [math(Y_{l}^{m}(\theta,\,\phi))]에 대하여 [math(|Y_{l}^{m}(\theta,\,\phi)|^{2})]의 개형[5]을 나타낸 것이다. [math(\hat{\mathbf{z}})]는 [math(z)]축 방향의 단위 벡터이다.
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그래프는 수소 원자에 대한 오비탈의 개형과 비슷하다. 그 이유는 실제로 수소 원자에 대한 전자의 확률 밀도 함수 중 이 구면 조화 함수가 포함되어 있기 때문이다.
5. 관련 문서
[1] 르장드르는 적분학과 타원 함수 등의 분야에서 많은 업적을 남긴 바 있다. 나무위키에는 본 문서 외에도 르장드르 변환 문서가 만들어져 있다.[2] 우리는 주어진 구간 [math([-1,\,1] )] 위에서 서로 다른 차수의 제1종 르장드르 함수끼리의 내적은 0이 됨을 증명하였다. [math(P_{n-1}'(x))]는 [math(P_{n}(x))]와 비교해볼 때 차수가 작은 다항식임을 예상할 수 있다. 즉, [math(P_{n}(x))]의 최고차항이 없기 때문에 [math(P_{n-1}'(x))]는 [math(P_{n}(x))]과 비교했을 때 최고차항이 [math(P_{n}(x))]보다 최고차항이 낮은 차수의 제1종 르장드르 함수끼리의 합으로 전개될 것이므로 적분항은 결국 0이 된다.[3] 기호가 제2종 베셀 함수 [math(Y_{n}(x))]와 닮아있으나, 둘은 전혀 다른 함수임에 주의하라.[4] 회전축으로 자른 단면을 나타내는 그래프임.[5] 단, 크기는 한 정사각형의 가로 혹은 세로 길이에 규격화 됨.