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| [math(^\ast)] 특수함수가 아니라 특정 조건을 만족시키는 다항함수이지만, 편의상 이곳에 기술했다. | ||
1. 개요
디리클레 베타 함수(Dirichlet beta function)는 특수함수의 하나로, [math(Re(s))][math(\;>0)]인 복소수 [math(s)]에 대해 다음과 같은 급수로 정의된다.| [math(\displaystyle \beta(s) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)^s} )] |
| [math(\begin{aligned} \beta(s) = \frac1{4^s} \biggl( \zeta\biggl(s,\dfrac14\biggr) \!-\zeta\biggl(s,\dfrac34\biggr) \biggr) \end{aligned} )] |
페터 구스타프 르죈 디리클레가 고안했다.
2. 성질
모든 복소수 [math(s)]에 대해 성립하는 반사 공식이 있다. 아래에서 [math(\Gamma(s))]는 감마 함수이다.| [math( \beta(1-s) = \Bigl( \dfrac\pi2 \Bigr)^{\!-s} \sin\Bigl( \dfrac\pi2 s\Bigr) \Gamma(s) \beta(s) )] |
3. 함숫값
- [math(\beta(1) = \dfrac\pi4 \approx 0.7853981634)]
[math(\displaystyle
\beta(1) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2n+1}
)]
\beta(1) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2n+1}
)]
이 급수는 원주율로 수렴한다고 잘 알려진, 일명 '그레고리 급수'이다. 역탄젠트 함수의 테일러 급수에 [math(1)]을 대입하면 바로 증명된다.
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\arctan z &= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2n+1} \,z^{2n+1} \qquad (|z|\le1) \\
\Rightarrow\quad \arctan1 &= \frac\pi4 = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2n+1} \qquad\blacksquare
\end{aligned} )]
}}}||
- [math(\beta(2) = C \approx 0.9159655942 \qquad)] ([math(C)]는 카탈랑 상수)
[math(\beta(s))]의 정의에 [math(2)]를 대입하면 나오는 급수가 곧 카탈랑 상수의 정의와 같다. - 양의 홀수에 대한 함숫값은 다음과 같이 나타낼 수 있다. (단, [math(n)]은 [math(0)] 이상의 정수, [math(\psi_n(z))]는 폴리감마 함수)
&= \frac\pi{4^{2n+1} (2n)!} \biggl. \dfrac{{\rm d}^{2n}}{{\rm d}z^{2n}} \cot\pi z \biggr|_{z=1/4}
\end{aligned} )]||
급수를 양의 항과 음의 항으로 나누자.
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\beta(2n+1) &= \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k+1)^{2n+1}} \\
&= \frac1{1^{2n+1}} -\frac1{3^{2n+1}} +\frac1{5^{2n+1}} -\frac1{7^{2n+1}} +\frac1{9^{2n+1}} -\frac1{11^{2n+1}} +\cdots \\
&= \sum_{k=0}^\infty \biggl( \frac1{(4k+1)^{2n+1}} -\frac1{(4k+3)^{2n+1}} \biggr) \\
&= \frac1{4^{2n+1}} \sum_{k=0}^\infty \biggl( \frac1{(k+\frac14)^{2n+1}} -\frac1{(k+\frac34)^{2n+1}} \biggr)
\end{aligned} )]
위의 두 급수는 폴리감마 함수 [math(\psi_n(z))]로 나타낼 수 있다.
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\psi_n(z) &= (-1)^{n+1} n! \sum_{k=0}^\infty \frac1{(k+z)^{n+1}} \\
\Rightarrow\quad \beta(2n+1) &= \frac1{4^{2n+1}} \sum_{k=0}^\infty \biggl( \frac1{(k+\frac14)^{2n+1}} -\frac1{(k+\frac34)^{2n+1}} \biggr) \\
&= \frac1{4^{2n+1}} \frac1{(-1)^{2n+1} (2n)!} \biggl\{ \psi_{2n}\biggl(\frac14\biggr) \!-\psi_{2n}\biggl(\frac34\biggr) \!\biggr\} \\
&= -\frac1{4^{2n+1} (2n)!} \biggl\{ \psi_{2n}\biggl(\frac14\biggr) \!-\psi_{2n}\biggl(\frac34\biggr) \!\biggr\} \qquad\blacksquare
\end{aligned} )]
폴리감마 함수의 반사 공식을 사용하면 된다.
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\psi_n(z) +(-1)^{n+1} \psi_n(1-z) &= -\pi \,\frac{{\rm d}^n}{{\rm d}z^n} \cot\pi z \\
\Rightarrow\quad \psi_{2n}\biggl(\frac14\biggr) \!-\psi_{2n}\biggl(\frac34\biggr) \!&= -\pi \biggl. \,\dfrac{{\rm d}^{2n}}{{\rm d}z^{2n}} \cot\pi z \biggr|_{z=1/4} \\
\therefore \beta(2n+1) &= -\frac1{4^{2n+1} (2n)!} \biggl\{ -\pi \biggl. \,\dfrac{{\rm d}^{2n}}{{\rm d}z^{2n}} \cot\pi z \biggr|_{z=1/4} \biggr\} \\
&= \frac\pi{4^{2n+1} (2n)!} \biggl. \dfrac{{\rm d}^{2n}}{{\rm d}z^{2n}} \cot\pi z \biggr|_{z=1/4} \qquad\blacksquare
\end{aligned} )]
}}}||
오일러 수열 [math(E_n)]을 사용해 다음과 같이 닫힌 꼴로 표현할 수 있다.
\beta(2n+1) = \dfrac{(-1)^n E_{2n}}{2(2n)!} \Bigl( \dfrac\pi2 \Bigr)^{\!2n+1})]||
몇 개의 예시를 나열해보면 다음과 같다.
\beta(3) &= \frac{\pi^3}{32} \approx 0.9689461463 \\\beta(5) &= \frac{5\pi^5}{1536} \approx 0.9961578281 \\
\beta(7) &= \frac{61\pi^7}{184\,320} \approx 0.9995545079 \\
\beta(9) &= \frac{277\pi^9}{8\,257\,536} \approx 0.9999496842
\end{aligned} )]||
- 양의 짝수에 대한 함숫값은 폴리감마 함수 [math(\psi_n(z))]와 베르누이 수열 [math(B_n)]을 사용해 다음과 같이 표현할 수 있다. (단, [math(n)]은 자연수)
\end{aligned} )]||