sum은(는) 여기로 연결됩니다.
동명의 유튜버에 대한 내용은 sum(유튜버) 문서 참고하십시오.1. 개요2. 절대수렴과 조건수렴3. 급수의 수렴 판정법
3.1. 기하급수(geometric series)
4. 관련 문서3.1.1. 관련 문서
3.2. 일반항 판정법(발산판정법, divergence test)3.3. 코시 판정법(Cauchy test)3.4. 비교판정법(comparison test)3.5. 적분판정법(integral test)3.6. 비(율)판정법(ratio test)3.6.1. 따름정리
3.7. 근판정법(root test)3.7.1. 따름정리
3.8. 라베 판정법(Raabe's test)3.9. 교대급수 판정법(alternating series test, AST)3.10. 디리클레 판정법(Dirichlet's test)3.11. 아벨 판정법(Abel's test)3.12. 코시 응집 판정법(Cauchy condensation test)1. 개요
級數 / series급수는 부분합의 극한을 의미한다. 무한급수 또는 무한합이라고도 한다. 특정 수열에 대해 지정된 항에서 지정된 다른 항까지의 수를 모두 더하란 의미다. 유한급수와 달리 특정한 항까지 더하는 개념이 아니며 끝없이 보탠다. 급수를 시그마를 이용하여 표현하면 시그마 위에 있는 수가 [math(\infty)]로 바뀐다.
[math(\displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n}a_k)]
[math(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n )] 또는 [math(\displaystyle \sum_{n \in \mathbb{N}}^{} a_n )][1] 또는 [math(\displaystyle \sum a_n )][2]
위 [math(a_n)]의 생성함수를 [math(f(x))]라고 정의하고 적분 기호로 표현하면 다음과 같다.
[math(\displaystyle \int_{1}^{\infty} f(x) \, \mathrm{d}\lfloor x \rfloor)][A]
즉 급수는 이산함수의 이상적분과 동치이다.[4]
급수의 수렴에 대한 정확한 정의는 아래와 같다.
급수 [math(\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}a_k)]의 [math(n)]항까지의 부분합을 [math(S_n)]로 나타내자. 이때, 수열 [math(\left\{S_n\right\})]가 어떤 실수 [math(S)]로 수렴할 때 급수가 수렴한다고 정의한다. 급수가 수렴하지 않으면 발산한다.
정의를 보면 알겠지만 급수의 정의는 부분합의 극한값이다. 저 위에 무한히 많은 항을 더한 것 같은 표현은 그저 무한대 표시처럼 관습적인 표현으로 알아두자. 그래서인지 급수를 처음 배울 때는 많은 수학 선생님들이 첫 번째 표현을 많이 강조한다.
무한번 더하는 것과 무한급수가 다르다는 것은 리만 재배열 정리라는 걸 통해 직관적으로 이해할 수 있다. 단순하게 말해서 조건수렴하는 급수는 덧셈과 달리 교환법칙이 안먹힌다는 이야기다.[5]
[math(\displaystyle \frac\pi4=\sum_{n=0}^\infty\frac{\left(-1\right)^n}{2n+1} =1-\frac13+\frac15-\frac17+\frac19-\cdots\cdots)]
또다른 예시로는 유리수의 덧셈에 대한 닫힘을 들 수 있다. 각 항이 유리수라면 부분합도 항상 유리수이지만 부분합의 극한인 급수는 무리수일 수 있다. 사실 이렇게 수열의 극한을 통해 유리수로부터 실수를 구성하기도 한다.
급수가 수렴하는지 발산하는지 확인하는 방법은 여러 가지가 있다. 하지만 판정법만으로는 수렴값을 구할 수는 없다. 자세한 판정법들은 아래 문단 참조.
고등학교 수학 교육과정에서는 미적분 단원 초반에 나오며, 그냥 '급수'라고만 호칭한다.
2. 절대수렴과 조건수렴
[math(\displaystyle \sum_{k=1}^\infty |a_k|)]가 수렴하면 [math(\displaystyle \sum_{k=1}^\infty a_k)]는 절대 수렴(absolute convergence)한다고 하며, [math(\displaystyle \sum_{k=1}^\infty a_k)]는 수렴하지만 [math(\displaystyle \sum_{k=1}^\infty |a_k|)]가 수렴하지 않을 경우 조건수렴(conditional convergence)한다고 한다.[6][math(\displaystyle \sum_{k=1}^\infty |a_k|)]가 수렴하면 [math(\displaystyle \sum_{k=1}^\infty a_k)]도 수렴한다. 즉, 절대수렴하는 급수는 수렴한다. |
| [증명] 모든 [math(a_k)]에 대해 [math(-|a_k| \leq a_k \leq |a_k|)]이니 [math(-\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\left|a_k\right| \leq \displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}a_k \leq \displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\left|a_k\right|)]가 성립하고 이때 [math(\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\left|a_k\right|)]가 수렴하면 위 식은 [math(-(수렴값) \leq \displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}a_k \leq (수렴값))] 형태가 되어 [math(\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}a_k)]도 수렴할 수 밖에 없다.[7] |
- 더 어려운 증명(펼치기ㆍ접기)
- ||[math(\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\left|a_k\right|)]가 수렴하면 코시판정법에 의해 임의의 [math(\epsilon >0)]에 대해 [math(\forall n \geq N \ \forall p \in {\mathbb{N} : \left|\left|a_{n+1}\right| + \left|a_{n+2}\right| + \cdots \left|a_{n+p}\right|\right| = \left|a_{n+1}\right| + \left|a_{n+2}\right| + \cdots \left|a_{n+p}\right| < \epsilon})]를 만족하게 하는 자연수 [math(N)]이 존재한다. [math(\left|a_{n+1} + a_{n+2} + \cdots a_{n+p} \right| \leq \left|a_{n+1}\right| + \left|a_{n+2}\right| + \cdots \left|a_{n+p}\right|)]이므로 또 다시 코시판정법에 의해 [math(\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}a_k)]도 수렴한다. ||
절댓값 대신 택시노름같은 임의의 노름을 사용해도 성립한다. 또한 이는 실수와 같은 바나흐 공간에서만 성립하는 성질이다. 즉, 유리수에선 성립하지 않을 수가 있다.
3. 급수의 수렴 판정법
아래 리스트만 봐도 알 수 있듯이, 엄청나게 다양한 수렴 판정법이 존재한다. 다만 이것이 저절로 급수의 값을 구하는 결과가 되진 않는다. 일반적으로 급수의 값을 찾는 것은 존재성을 증명하는 것보다 어렵다. 이공계라면 대학교의 기초 미적분학에서 해당 내용들을 배운다.수렴 판정법에 관하여, 너무 당연해서 책에 안나오는 경우도 있어서 수렴판정법을 배우는 초반에 간과하기 쉬운 것 중 하나로, 초항을 어디서부터 잡아도 상관없다는 것이다. 즉, [math(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}{a_{n}})]와 [math(\displaystyle \sum_{n=k}^{\infty}{a_{n}})]의 수렴성이 같다는 것이다.[8]
3.1. 기하급수(geometric series)
급수 [math(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a^n)]에 대해서, [math(|a|<1)]이면 급수는 수렴하고, [math(|a|\geq1)]이면 급수는 발산한다. |
3.1.1. 관련 문서
3.2. 일반항 판정법(발산판정법, divergence test)
[math(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n)]이 수렴하면, [math(\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n = 0)]이다. |
| [증명] [math(S_k)]를 첫 항부터 [math(k)]항까지의 합, 그리고 [math(S)]를 급수의 수렴값이라 하자. 그럼 [math(\displaystyle \lim_{k \to \infty}S_k = S)]이다. 한편, [math(k \geq 2)]에 대해 [math(a_k = S_k-S_{k-1})]이므로, [math(\displaystyle \lim_{k \to \infty}a_k = \lim_{k \to \infty}\left(S_k-S_{k-1}\right) = \lim_{k \to \infty}S_k - \lim_{k \to \infty}S_{k-1} = S-S = 0)] |
3.3. 코시 판정법(Cauchy test)
급수 [math(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n)]이 수렴하면 임의의 [math(\epsilon >0)]에 대해 [math(\forall n \geq N \ \forall p \in {\mathbb{N}} : \left|a_{n+1} + a_{n+2} + \cdots + a_{n+p}\right|<\epsilon \, )]를 만족하게 하는 자연수 [math(N)]이 존재한다. 이 명제의 역도 성립한다. |
코시 응집판정법과는 별개다.
| [증명] [math(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n)]가 수렴한다 가정하자. 그럼 부분합 [math(S_n)]는 코시 수열이여야 한다. 즉, 어떤 자연수 [math(N)]에 대해 [math(\ \forall n,m \geq N : \left|S_m-S_n\right| < \epsilon )]가 성립한다. 이것은 곧 코시 판정법이 성립함을 의미한다. 역으로 코시 판정법이 성립한다 가정하자. 그럼 부분합 [math(S_n)]이 코시 수열임을 의미하고, 이것은 곧 [math(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n)]이 성립함을 의미한다. |
3.4. 비교판정법(comparison test)
어떤 자연수 [math(N)]에 대해 [math(\forall n \geq N : 0<a_n \leq b_n)]라 가정하자. 이때, [math(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}b_n)]이 수렴하면 [math(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n)]도 수렴한다. |
| [증명] 위 코시 판정법에 의해 [math(N=1)]일 때를 증명해도 충분하다. [math(A_n = \displaystyle \sum_{k=1}^{n}a_k, B_n = \sum_{k=1}^{n}b_k)]라 하자. 항 [math(a_k, b_k)]가 모두 양수이므로 수열 [math(\left\{A_n\right\}, \left\{B_n\right\})]는 증가한다. 또한, [math(a_k \leq b_k, k = 1, 2, 3, \cdots)]이므로 [math(\forall n \geq N : 0<A_n \leq B_n )]이다. 이제, [math(\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}a_k)]이 발산한다 가정하면 [math(\left\{A_n\right\})]도 발산하고, 이것은 곧 그 수열이 유계가 아님(unbounded)을 의미한다.[10] 따라서 [math(\left\{B_n\right\})]도 유계가 아니고, [math(\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}b_k)]도 발산한다. |
3.4.1. 따름정리 1
자연수 [math(n = 1, 2, 3, \cdots)]에 대해 [math(a_n>0, b_n>0)]이고 두 수열 [math(\displaystyle \left\{{a_n} \over {b_n}\right\}, \left\{{b_n} \over {a_n}\right\})]이 유계이면 두 급수 [math(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n, \sum_{n=1}^{\infty}b_n)]는 둘 다 수렴하거나 둘 다 발산한다. |
| [증명] 수열 [math(\displaystyle \left\{{a_n} \over {b_n}\right\}, \left\{{b_n} \over {a_n}\right\})]이 유계이므로, 임의의 자연수 [math(n)]에 대해 [math(\displaystyle \frac{a_n}{b_n} \leq M_1,\,\, \frac{b_n}{a_n} \leq M_2 )]가 성립하는 양수 [math(M_1, M_2)]가 존재한다. 그럼 [math(\displaystyle 0<\frac{1}{M_1} \leq \frac{b_n}{a_n} \leq M_2)]이고, 곧 [math(\displaystyle 0<\frac{a_n}{M_1} \leq b_n \leq M_2a_n)]이다. 따라서 비교판정법에 의해 위 명제는 참이다. |
3.4.2. 따름정리 2(극한비교판정법, limit comparison test, LCT)
자연수 [math(n = 1, 2, 3, \cdots)]에 대해 [math(a_n>0, b_n>0)]이고 [math(\displaystyle \lim_{n \to \infty}{{b_n} \over {a_n}})]이 양수로서 존재하면 두 급수 [math(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n, \sum_{n=1}^{\infty}b_n)]는 둘 다 수렴하거나 둘 다 발산한다. |
- 자연수 [math(n = 1, 2, 3, \cdots)]에 대해 [math(a_n>0, b_n>0, \, \displaystyle \lim_{n \to \infty}\left(b_n/a_n\right) = 0)]이고, [math(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n)]가 수렴하면 [math(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}b_n)]도 수렴한다.
- 자연수 [math(n = 1, 2, 3, \cdots)]에 대해 [math(a_n>0, b_n>0, \, \displaystyle \lim_{n \to \infty}\left(b_n/a_n\right) = \infty)]이고, [math(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n)]가 발산하면 [math(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}b_n)]도 발산한다.
| [증명] 1. 어떤 자연수 [math(N)]에 대해 [math(\forall k \geq N : b_k/a_k \leq 1 )]이다. DCT에 의해 명제는 참이다. 2. 어떤 자연수 [math(N)]에 대해 [math(\forall k \geq N : b_k/a_k \geq 1 )]이다. DCT에 의해 명제는 참이다.[11] |
3.5. 적분판정법(integral test)
수열 [math(\left\{a_n\right\})]의 항이 i) 전부 양수, ii) 감소, iii)[math(\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n = 0)]이고, [math(\left[1, \infty\right))]에서 정의된 함수 [math(\forall n \in {\mathbb{N}} : f\left(n\right) = a_n )]가 감소함수이면, 급수 [math(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n)]와 수열 [math(\displaystyle \int_{1}^{n}f\left(x\right) \, dx)]는 둘 다 수렴하거나 둘 다 발산한다. |
| [증명] 모든 자연수 [math(k)]에 대해 [math(\forall x \in \left[k,\ k+1\right] : a_{k+1} \leq f\left(x\right) \leq a_k )]이다. 따라서 [math(a_{k+1} \leq \displaystyle \int_{k}^{k+1}f\left(x\right) \, dx \leq a_k)]이다. 만약 [math(n \geq 2)]이면 [math(\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}a_{k+1} \leq \sum_{k=1}^{n-1}\int_{k}^{k+1}f\left(x\right) \, dx \leq \sum_{k=1}^{n-1}a_k)]이고, 곧 [math(S_n-a_1 \leq \int_{1}^{n}f\left(x\right) \, dx \leq S_{n-1})]이다. 각 자연수 [math(k)]에 대해 [math(a_k)]이므로 수열 [math(\left\{S_n\right\})]는 단조 증가한다. 비슷하게, [math(f\left(x\right)>0 , x \in [1, \infty ))]이므로 [math(\displaystyle \int_{1}^{n}f\left(x\right) \, dx)]도 단조 증가 수열이다. 이제 급수 [math(\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}a_k)]가 수렴한다 가정하자. 그럼 [math(\displaystyle \int_{1}^{n}f\left(x\right) \, dx)]는 bounded되어 있고 따라서 수렴한다. 역으로 [math(\displaystyle \int_{1}^{n}f\left(x\right) \, dx)]가 수렴하면 [math(\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}a_k)]는 bounded되어 있고 따라서 수렴한다.[12] |
3.5.1. 따름정리(p-급수, p-series)
급수 [math(displaystyle sum_{n=1}^{infty}frac{1}{n^p})]에 대해, [math(p>1)]이면 수렴하고, [math(p \leq 1)]이면 발산한다. |
3.5.2. 예시
[math(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty {1 \over {n^2+1}})]이 수렴하는지 발산하는지 확인해 보기 위해 함수 [math(f(x) = \dfrac{1} {x^2+1})]라고 하자. 구간 [math([1,\infty))]에서 연속적이고, 함수값이 감소 하므로 적분판정법을 사용한다. [math(\displaystyle \int_{1}^{\infty} {1 \over {x^2+1}} dx = \lim_{t \to \infty}\int_{1}^{t} {1 \over {x^2+1}} dx = \lim_{t \to \infty} \bigg[ \arctan x \bigg]_1^t)]이고, [math(\arctan 1 = \dfrac {\pi} {4})]이므로 [math(\displaystyle \lim_{t \to \infty} (\arctan t - {\pi \over 4}) = {\pi \over 2} - {\pi \over 4} = {\pi \over 4})]이다. [math(\displaystyle \int_{1}^{\infty} {1 \over {x^2+1}} dx)]가 적분판정법을 했을때 수렴한다. 따라서.[math(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty {1 \over {n^2+1}})]도 수렴한다.실제로 수렴하는 값은 [math({1 \over 2} (\pi \coth{\pi}-1))]이고 약 1.0767이다. 참고풀이(중간 부분에 서술되어있음)
다른 예시로 [math(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty {1 \over n})]이 발산하는지 수렴하는지 확인해보자.[math( f(x) = {1 \over x})]라 두고, [math(\displaystyle \int_{1}^{\infty} {1 \over {x}} dx = \lim_{t \to \infty} \bigg[ \ln x \bigg]_1^t = \infty)]이다. 그러므로 [math(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty {1 \over n})]은 발산한다.
3.6. 비(율)판정법(ratio test)
[math(a_n)]이 양수이고, [math(\displaystyle \limsup_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}= R, \, \liminf_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}= r)]라 하면,[14] 1. [math(R<1)]이면 [math(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n)]은 수렴한다. 2. [math(r>1)]이면 [math(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n)]은 발산한다. [math(R, r)]이 1인 경우에는 수렴인지 발산인지 판정이 불가능하다.[15] |
달랑베르가 처음 공식화시켰다고 알려져 있으나 '달랑베르 비율 판정법' 또는 '코시 비율 판정법'이라고도 불린다. 멱근판정법과 상당히 비슷하다. 영어로 ratio test라고 불린다.
| [증명] 1. [math(R<1)]이면 임의의 [math(0<\epsilon<1-R)]를 만족하는 [math(\epsilon)]에 대해 [math(\displaystyle \ \forall k > N : {{a_{k+1}} \over{a_k}} < R + \epsilon <1 )]를 만족하게 하는 자연수 [math(N)]이 존재한다. 만약 [math(\eta = R+\epsilon)]라 하면 [math(\forall k>N : a_{k+1}<\eta a_k )]이고, 곧 [math(\forall k>N : a_k<\eta ^{k-N}a_N )]이다. 급수 [math(\displaystyle \sum_{k=N+1}^{\infty}\eta ^{k-N}a_N = a_N \sum_{j=1}^{\infty}\eta ^j )]는 [math(\eta <1)]이기 때문에 수렴하고 따라서 [math(\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}a_k)]도 수렴한다. 2. 만약 [math(r>1)]이면 적당히 큰 자연수 [math(N)]에 대해 [math(\forall k \geq N : a_{k+1}/a_k >1 )]이다. 따라서 [math(k>N)]는 [math(a_k>a_N>0)]를 의미하고, 곧 [math(\displaystyle \lim_{k \to \infty}a_k \neq 0)]이다. Limit Term test에 의해 [math(\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}a_k)]는 발산한다. |
3.6.1. 따름정리
[math(\forall k \in {\mathbb{N}} : a_k>0 , \, \displaystyle \lim_{k \to \infty} \frac{a_{k+1}}{a_k} = l)]이라 가정하자. 1. [math(l<1)]이면 [math(\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}a_k)]는 수렴한다. 2. [math(l>1)]이면 [math(\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}a_k)]는 발산한다. |
3.7. 근판정법(root test)
모든 자연수 n에 대해 [math(a_n>0)]이고, [math(\displaystyle \limsup_{n\to \infty} \sqrt [n] {a_n} = R)]일 때, 1. [math(R<1)]이면 [math(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n)]은 수렴한다. 2. [math(R>1)]이면 [math(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n)]은 발산한다.[16] |
| [증명] 1. [math(R<1)]이면 [math(R<\rho <1)]를 만족하는 임의의 [math(\rho)]에 대해 [math(\forall k>N : \sqrt [k]{a_{k}} \leq \rho )]를 만족하게 하는 자연수 [math(N)]이 존재한다. 그럼 [math(\forall k>N : a_k \leq \rho ^k )]이고 급수 [math(\displaystyle \sum_{k=N+1}^{\infty}\rho ^k)]는 [math(\rho <1)]이기 때문에 수렴한다. DCT에 의해 [math(\displaystyle \sum_{k=N+1}^{\infty}a_k)]는 수렴하고, 곧 [math(\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}a_k)]도 수렴한다. 2. [math(R>1)]이면 [math(\sqrt [k]{a_{k}} >1)]를 만족하는 무수히 많은 자연수 [math(k)]가 존재한다. 따라서 무수히 많은 [math(k)]에 대해 [math(a_{k}>1)]이 성립하고 이것은 곧 [math(\displaystyle \lim_{k \to \infty}a_{k} \neq 0)]을 의미한다. 일반항 판정법에 의해 급수는 발산한다. |
[math(\displaystyle \begin{aligned} \liminf_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} \leq \liminf_{n\to \infty} \sqrt [n] {a_n} \leq \limsup_{n\to \infty} \sqrt [n] {a_n} \leq \displaystyle \limsup_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} \end{aligned} )] |
3.7.1. 따름정리
[math(\forall k \in {\mathbb{N}} : a_k>0 )], [math(\displaystyle \lim_{k \to \infty}\sqrt [k]{a_{k}} = l)]이라 가정하자. 1. [math(l<1)]이면 [math(\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}a_k)]는 수렴한다. 2. [math(l>1)]이면 [math(\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}a_k)]는 발산한다. |
3.8. 라베 판정법(Raabe's test)
수열 [math(\displaystyle a_n)]에 대하여 [math(\displaystyle a_n \neq 0)]일 때, [math(\displaystyle \limsup_{n\to\infty}\left( n \left| 1-\frac{a_{n+1}}{a_n} \right| \right)= R, \liminf_{n\to\infty} \left( n \left| 1-\frac{a_{n+1}}{a_n} \right| \right) = r)]이라 하면 1. [math(R>1)]이면 [math(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n)]은 절대수렴한다. 2. [math(r<1)]이면 [math(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n)]은 절대수렴하지 않는다. |
3.9. 교대급수 판정법(alternating series test, AST)
수열 [math(\{a_k\})]가 단조 감소 수열이고 [math(\displaystyle \lim_{k\to\infty} a_k = 0)]이면, [math(\displaystyle \sum_{k=1}^\infty (-1)^k a_k)]는 수렴한다. |
| [증명] [math(\displaystyle S_n = \sum_{k=1}^n (-1)^k a_k)]라 하자. 그러면 [math(\displaystyle \begin{aligned} S_{2n}-S_{2(n-1)} &= S_{2n}-S_{2n-2} \\ &= a_{2n}-a_{2n-1} \\ &\le 0 \end{aligned} )] 이므로 수열 [math(\{S_{2n}\})]은 단조 감소 수열이다. 또한 [math(\displaystyle \begin{aligned} S_{2n} &= -a_1 +a_2 -a_3 +a_4 -a_5 +\cdots +a_{2n-2} -a_{2n-1} +a_{2n} \\ &= -a_1 +(a_2-a_3) +(a_4-a_5) +\cdots +(a_{2n-2}-a_{2n-1}) +a_{2n} \\ &\geq -a_1 \end{aligned} )] 이므로 [math(\{S_{2n}\})]는 아래로 유계이다. 따라서 단조 수렴 정리에 의해 [math(\{S_{2n}\})]은 수렴한다. 이제 [math(\displaystyle \lim_{n\to\infty} S_{2n} = S)]라 하자. 그러면 [math(S_{2n-1} = S_{2n}-a_{2n})]이므로 [math(\displaystyle \lim_{n\to\infty} S_{2n-1} = \lim_{n\to\infty} S_{2n} -\lim_{n\to\infty} a_{2n} = S-0 = S)]이다. 따라서 [math(\displaystyle \lim_{n\to\infty} S_n = S)]이다. 즉, [math(\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} (-1)^k a_k)]는 수렴한다. |
3.10. 디리클레 판정법(Dirichlet's test)
실수열 [math(a_n)]이 단조수열이고 [math(\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n = 0)]이라 하자. 또, 복소수열 [math(b_n)]에 대하여 [math(\displaystyle \sum_{k=1}^n b_k)]가 유계인 급수이라 하자. 그러면 [math(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n b_n)]은 수렴한다. |
3.11. 아벨 판정법(Abel's test)
수열 [math(a_{n},\:b_{n})]에 대하여 아래의 조건을 만족시킨다고 하자. 1. [math(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_{n})]이 수렴한다. 2. [math(b_{n})]은 유계 단조수열이다. 그러면, [math(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}b_{n})]은 수렴한다. |
3.12. 코시 응집 판정법(Cauchy condensation test)
음이 아닌 단조 감소 실수열 [math(\left\{ a_{n}\right\} )]에 대해, [math(\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} a_{k})]와 [math(\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} 2^{k}a_{2^k})]의 수렴성은 동치이다. |
| [증명] [math(\dfrac{1}{2} \displaystyle \sum_{k=0}^{n} 2^{k}a_{2^k} = \frac{1}{2}(a_1 + 2a_2 + 4a_4 + ... + 2^na_{2^n}) = \frac{a_1}{2} + a_2 + 2a_4 + ... + 2^{n-1}a_{2^n})]가 성립한다.
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4. 관련 문서
[1] [math(n)]이 자연수가 되는 항을 모두 더하라는 뜻. 이렇게 시그마에 아래에만 무언가가 쓰여있을 경우, 그것에 쓰여있는 명제를 만족하는 모든 n에 대해서 더하라는 의미이다. 자연수가 1부터 시작해서 1씩 더해지는 무한집합이므로 결국 동치이다.[2] 초항이 [math(n=1)]인 급수는 이렇게 시그마의 위아래를 생략하고 쓰기도 한다.[A] 여기서 [math(\lfloor x \rfloor)]는 최대 정수 함수이다.[4] 위와 같은 적분을 스틸체스 적분이라고 한다.[5] 유한번은 교환법칙은 먹힌다. 유한번 교환해서 더하는 순서를 원래대로 바꿀 수 없으면 값이 달라질 수 있다.[6] 무한차원 벡터공간에서는 수렴하지만 조건수렴하지도 절대수렴하지도 않는 반례가 존재한다. 이 경우 조건수렴은 항의 순서라는 조건에 따라 수렴값이 달라지는 급수로 정의된다.[7] 복소수나 벡터일 경우에는 각 성분별로 분리해서 수렴 여부를 검증하면 된다.[8] 당연하지만 급수에서 초항을 어떻게 잡든 초반 유한개의 항의 합은 유한이기 때문.[A] [10] 이 부분은 엡실론-델타 논법을 이용해서 증명할 수 있다.[11] 극한값의 성질을 사용한다. 수열의 극한값이 0이면 어느 시점에서 모든 항이 1보다는 작아야 한다. 반대로 극한값이 무한대이면 어느 시점에서 모든 항이 1보다는 커야한다.[12] 위로 유계이며 단조 증가인 수열은 수렴한다. 수열의 극한의 정의를 이용해 쉽게 보일 수 있다.[13] 코시 응집 판정법으로도 간단하게 증명가능하다.[14] limsup과 liminf는 각각 상극한과 하극한을 말한다.[15] 즉, 수열이 발산할 수도 있고 수렴할 수도 있다.[16] [math(R=1)] 경우, 수렴하는 경우도 있고, 그렇지 않은 경우도 있다. 급수 [math(\left\langle1\right\rangle)]의 합은 발산하지만, [math(\left\langle n^{-2}\right\rangle)]의 합은 수렴한다.[17] 디리클레 급수(Dirichlet series)란 정수론적 함수 [math(f)]에 대하여, 실수 [math(s>1)]이 주어졌을 때 [math(\displaystyle F(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{f(s)}{n^s})]의 꼴로 주어지는 급수다.