1. 개요
Cauchy–Riemann equations복소평면상의 열린 집합에서 정의된 복소함수가 해석적 함수, 즉 미분가능한 함수이기 위한 필요충분조건인 연립 편미분 방정식이다.
즉, 다음 성질을 의미한다.
| 함수 [math(f\left(z\right)=u\left(z\right)+iv\left(z\right))]가 복소평면상의 열린 집합 [math(C)]에서 정의될 때, 이 함수가 미분 가능할(=해석적 / 정칙적일) 필요충분조건은 다음과 같다. [math(\begin{cases} \displaystyle{\partial u\over\partial x}=\displaystyle{\partial v\over\partial y}\\\\\displaystyle{\partial u\over\partial y}=-\displaystyle{\partial v\over\partial x}\end{cases})] |
코시와 리만이라는 이름이 들어갔음에도 불구하고, 이 연립방정식은 유체역학을 연구하던 프랑스의 수학자 달랑베르에 의해서 처음으로 발견되었다. 실제로 당해 방정식과 퍼텐셜 유동 방정식은 상당히 유사하다. 코시와 리만이 복소해석학의 발전과정에서 이 방정식을 매우 유용하게 써먹었기 때문에 둘의 이름이 붙게 되었다.
극좌표에서는,
| [math(\displaystyle\begin{cases}\displaystyle r\cdot \frac{\partial u}{\partial r} = \frac{\partial v}{\partial \theta}\\\\\displaystyle \frac{\partial u}{\partial \theta} = -r\frac{\partial v}{\partial r}\end{cases})] |
여담으로 코시-리만 방정식을 이용하면 코시-리만 방정식을 만족하는 조화함수는 그린 정리를 토대로 선적분으로 변수 치환을 할 필요 없이 내부에 특이점이 없는 단순 폐곡선의 적분값은 0이라는 것을 바로 도출할 수도 있다.
자세한 내용은 그린 정리 참조. 동일한 방법으로 보존적 벡터장의 단순 폐곡선 적분값이 0이라는 것도 증명이 가능하다.
2. 증명
2.1. →
| 복소평면상의 열린 집합 [math(C)]에서 정의된 함수 [math(f\left(z\right)=u\left(z\right)+iv\left(z\right))]가 미분 가능하다면, [math(\displaystyle u_x = v_y)], [math(\displaystyle u_y = -v_x)]를 만족한다. |
[math(z_0=x_0+iy_0)], [math(\Delta z=\Delta x + i \Delta y)]로 점 [math(z_0)]와 증편 [math(\Delta z)]를 둔 뒤, 함수의 증편을 구하자.
[math(\displaystyle \begin{aligned}\Delta w&=f\left(z_0+\Delta z\right)-f\left(z_0\right)\\&=\{u\left(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y\right)-u\left(x_0, y_0\right)\}+i\{v\left(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y\right)-v\left(x_0, y_0\right)\}\end{aligned})]
가 된다.
복소함수의 극한은 다음의 정리를 만족한다.
| [math(f\left(z\right)=u\left(x, y\right)+iv\left(x,y\right), z=x+iy, z_0=x_0+iy_0, w_0=u_0+iv_0)]이라 할 때 다음 두 식은 서로 동치이다. [math(\displaystyle{\lim_{z \to z_0}f(z)=w_0} \iff \displaystyle{\lim_{\left(x,y\right) \to \left(x_0,y_0\right)}u\left(x,y\right)=u_0, \lim_{\left(x,y\right) \to \left(x_0,y_0\right)}v\left(x,y\right)=v_0})] |
이때, 함수 [math(f(z))]의 도함수 [math(\displaystyle f'\left(z_0\right)={\lim_{\Delta z \to 0}\frac{\Delta w}{\Delta z}})]가 존재하므로 다음이 성립한다.
[math(f'\left(z_0\right)=\displaystyle{\lim_{\left(\Delta x,\Delta y\right)\to \left(0,0\right)}\Re\left(\frac{\Delta w}{\Delta z}\right)+i\lim_{\left(\Delta x,\Delta y\right)\to \left(0,0\right)}\Im\left(\frac{\Delta w}{\Delta z}\right)})]
여기서 이변수 함수의 미분에서 성립하는 성질을 생각하자. 즉, 점 [math(z=z_0+\Delta z)]에서 [math(\Delta z=\left(\Delta x, \Delta y\right))]의 경로를 어떻게 잡아도 도함수가 존재한다면 위의 방정식은 항상 성립한다는걸 명심하자.
경로를 어떻게 잡아도 상관 없기에 다음 두 개의 경로를 선택하자.
[math(\left(\Delta x,0\right)\to\left(0,0\right))]
[math(\left(0,\Delta y\right)\to\left(0,0\right))]
각각에 대하여 다음이 성립한다.
| [math(\left(\Delta x,0\right)\to\left(0,0\right))]에 대하여, [math(\Delta y=0)]이므로, 다음이 성립한다. [math(\displaystyle{\frac{\Delta w}{\Delta z}=\frac{u\left(x_0+\Delta x, y_0\right)-u\left(x_0, y_0\right)}{\Delta x}+i\frac{v\left(x_0+\Delta x, y_0\right)-v\left(x_0, y_0\right)}{\Delta x}})] [math(\displaystyle{\lim_{\left(\Delta x,\Delta y\right)\to \left(0,0\right)}\Re\left(\frac{\Delta w}{\Delta z}\right)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{u\left(x_0+\Delta x, y_0\right)-u\left(x_0, y_0\right)}{\Delta x}}=u_x\left(x_0, y_0\right))] [math(\displaystyle{\lim_{\left(\Delta x,\Delta y\right)\to \left(0,0\right)}\Im\left(\frac{\Delta w}{\Delta z}\right)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{v\left(x_0+\Delta x, y_0\right)-v\left(x_0, y_0\right)}{\Delta x}}=v_x\left(x_0, y_0\right))] 이를 정리하면, [math(f'\left(z_0\right)=u_x\left(x_0, y_0\right)+iv_x\left(x_0, y_0\right))]가 된다. …① |
마찬가지로,
| [math(\left(0, \Delta y\right)\to\left(0,0\right))]에 대하여, [math(\Delta x=0)]이므로, 다음이 성립한다. [math(\begin{aligned}\displaystyle{\frac{\Delta w}{\Delta z}}&=\displaystyle{\frac{u\left(x_0, y_0+\Delta y\right)-u\left(x_0, y_0\right)}{i\Delta y}+i\frac{v\left(x_0, y_0+\Delta y\right)-v\left(x_0, y_0\right)}{i\Delta y}}\\&=\displaystyle{\frac{v\left(x_0, y_0+\Delta y\right)-v\left(x_0, y_0\right)}{\Delta y}-i\frac{u\left(x_0, y_0+\Delta y\right)-u\left(x_0, y_0\right)}{\Delta y}}\end{aligned})] [math(\displaystyle{\lim_{\left(\Delta x,\Delta y\right)\to \left(0,0\right)}\Re\left(\frac{\Delta w}{\Delta z}\right)=\lim_{\Delta y \to 0}\frac{v\left(x_0, y_0+\Delta y\right)-u\left(x_0, y_0\right)}{\Delta y}}=v_y\left(x_0, y_0\right))] [math(\displaystyle{\lim_{\left(\Delta x,\Delta y\right)\to \left(0,0\right)}\Im\left(\frac{\Delta w}{\Delta z}\right)=\lim_{\Delta y \to 0}-\frac{u\left(x_0, y_0+\Delta y\right)-v\left(x_0, y_0\right)}{\Delta y}}=-u_y\left(x_0, y_0\right))] 이를 정리하면, [math(f'\left(z_0\right)=v_y\left(x_0, y_0\right)-iu_y\left(x_0, y_0\right))]가 된다. …② |
미분 가능(=해석적)하기 위해서는 경로에 상관없이 도함수가 같아야 하므로, 복소수의 상등조건에 따라 실수 함수부와 허수 함수부가 같으면 된다. ①과 ②를 연립하자.
[math(f'\left(z_0\right)=u_x\left(x_0, y_0\right)+iv_x\left(x_0, y_0\right)=v_y\left(x_0, y_0\right)-iu_y\left(x_0, y_0\right))]이므로, [math(u_x=v_y, u_y=-v_x)]일 때 두 도함수는 같게 된다.
따라서 [math(f\left(z\right)=u\left(z\right)+iv\left(z\right))]가 미분가능하다면, 아래의 연립방정식을 만족한다.
[math(\begin{cases} \displaystyle{\partial u\over\partial x}=\displaystyle{\partial v\over\partial y}\\\displaystyle{\partial u\over\partial y}=-\displaystyle{\partial v\over\partial x}\end{cases})]
2.2. ←
| 복소평면상의 열린 집합 [math(C)]에서 정의된 함수 [math(f\left(z\right)=u\left(z\right)+iv\left(z\right))]가 [math(\displaystyle u_x = v_y)], [math(\displaystyle u_y = -v_x)]를 만족한다면, 함수 [math(f(z))]는 열린 집합 [math(C)]에서 미분 가능하다(=해석적이다, 정칙이다). |
2.2.1. 보조정리 1
닫힌 구간 [math(I = [a,\, b] \subset \mathbb{R})]가 주어질 때, [math(I)] 위에 정의된 복소함수 [math(\phi : I \to \mathbb{C})]가 다음 조건을 만족한다고 하자.
{{{#!wiki style="text-align: center" [math(\left\vert \phi(x) - \phi(y) \right\vert \le M \left\vert x - y \right\vert \quad (x \in E,\, y \in I))] }}}그러면 다음과 같은 부등식이 성립한다. (단, [math(m_1)]은 [math(\mathbb{R})]에서의 르벡 측도(Lebesgue measure)이다.) [math(\displaystyle \left\vert \phi(b) - \phi(a) - \int_E \phi'(x) \,dx \right\vert \le M \cdot m_1(I \setminus E) )] |
- [ 증명 ]
- 임의의 닫힌 구간 [math(J = [\alpha,\, \beta] \subseteq I)]에 대하여 함수 [math(\phi_J : \mathbb{R} \to \mathbb{C})]를 다음과 같이 정의한다.
[math(\displaystyle \phi_J (x) = \frac{\phi(\beta) - \phi(\alpha)}{\beta - \alpha}x + \frac{\beta\phi(\alpha) - \alpha\phi(\beta)}{\beta - \alpha})]
그러면 [math(\phi_J(\alpha) = \phi(\alpha))], [math(\phi_J(\beta) = \phi(\beta))]가 성립하고, 모든 [math(x,\,y \in \mathbb{R})]에 대하여 다음 식을 만족하게 된다.
[math(\displaystyle \left\vert \phi_J (x) - \phi_J(y)\right\vert \le \frac{\vert\phi(\beta) - \phi(\alpha)\vert}{\beta - \alpha}\left\vert x - y \right\vert)]
집합 [math(E_0 = E \cup \left\{ a,\, b\right\})]일 때, [math(I)] 위에서 새로운 복소함수 [math(\psi)]를 다음과 같이 정의한다.- [math(\psi(x) = \phi(x) \quad (x \in E_0))]
- 만약 [math(x \in I \setminus E_0)]이고, [math(I \setminus E_0)]에서 [math(x)]의 연결 성분(connected component)[1]을 [math(C_x)] 라 할 때, [math(\psi(x) = \phi_{\,\overline{C_x}}(x))]이다.
(이때 [math(\overline{C_x})]은 [math(C_x)]의 폐포(closure)다.)
[math(\displaystyle \left\vert \psi (x) - \psi(y)\right\vert \le M \left\vert x - y \right\vert \quad (x,\,y \in I))]
임을 보이는 것이다. 일반성을 잃지 않고 [math(a \le x < y \le b)] 라고 하자. 그러면 아래의 경우로 나눌 수 있다.- [math(\left\{ x,\, y \right\} \subset \overline{C_\lambda} = [\alpha,\, \beta])]인 어떤 [math(\lambda \in I \setminus E_0)]가 존재하는 경우
[math(\displaystyle \left\vert \psi (x) - \psi(y)\right\vert \le \frac{\vert\phi(\beta) - \phi(\alpha)\vert}{\beta - \alpha} \left\vert x - y \right\vert)]
이고, [math(\alpha)]와 [math(\beta)] 둘 중 하나는 적어도 [math(E)]에 속한다.[2] 따라서 가정에 의해 [math(\left\vert \phi(\alpha) - \phi(\beta) \right\vert \le M ( \beta - \alpha ))]이므로 [math(M)]-립시츠 연속이다. - 그러한 [math(\lambda \in I \setminus E_0)]가 존재하지 않는 경우
[math(x < \xi < y)]를 만족하는 [math(\xi \in E)]가 존재한다.[3] 만약 [math(x \in E_0)]이면, 가정에 따라 [math(\vert \psi(x) - \psi(\xi)\vert \le M\vert \xi - x \vert)]가 된다.
[math(x \not\in E_0)]이면, [math(x' = \sup C_x)]이라 할 때,
[math(\displaystyle \begin{aligned} \left\vert \psi (x) - \psi(\xi)\right\vert &\le \left\vert \psi (x) - \psi(x')\right\vert + \left\vert \psi (x') - \psi(\xi)\right\vert \\ & \le M(x' - x) + M(\xi - x') \\ & = M(\xi - x) \end{aligned})]
이 되고, [math(y)]의 경우도 비슷하게 증명된다.
[math(\displaystyle \psi(b) - \psi(a) = \phi(b) - \phi(a) = \int_E \psi'(x) \,dx + \int_{I \setminus E} \psi'(x) \,dx)]
를 만족한다.[4] 이때 모든 [math(x \in E)]에 대하여 [math(\phi = \psi)]이고, [math(\phi)]가 모든 점에서 미분가능하므로 [math(x)]가 고립점(isolated point)이 아닐 때 [math(\phi'(x) = \psi'(x))]를 만족하게 된다. [math(\mathbb{R})]에서 [math({E})]의 고립점들은 기껏 해야 가산(countable)이므로, 거의 모든 곳(almost everywhere)에서 [math(\phi' = \psi')]를 만족하게 된다. 따라서
[math(\displaystyle \left\vert \phi(b) - \phi(a) - \int_E \phi'(x) \,dx \right\vert \le \left\vert \int_{I \setminus E} \psi'(x) \,dx \right\vert \le M \cdot m_1(I \setminus E) )]
를 만족하게 된다.
2.2.2. 보조정리 2
| 복소평면 상의 열린 집합 [math(C \subseteq \mathbb{C})]에 대하여 [math(C)] 위에서 정의된 연속함수 [math(f)], 사각형 영역 [math(R = [a,\, b] \times [c,\, d] \subset C)]과 [math(1/A \le (d - c)/(b - a) \le A)]를 만족하는 상수 [math(A > 0)]가 주어졌다고 하자. 또한 상수 [math(M > 0)]과 [math(C)]의 닫힌 부분집합 [math(E \not= \emptyset)]가 [math(\displaystyle \begin{cases} \vert f(x',\, y) - f(x,\, y) \vert \le M \vert x' - x \vert \quad \text{where}\ \ (x,\, y) \in E \text{ and } (x',\, y) \in C, \end{cases}\\ \vert f(x,\, y') - f(x,\, y) \vert \le M \vert y' - y \vert \quad \text{where}\ \ (x,\, y) \in E \text{ and } (x,\, y') \in C )] 를 만족한다고 하자. 그리고 모든 [math(x + iy \in C\ (x,\, y \in \mathbb{R}))]에 대하여 [math(\displaystyle f_x = \frac{\partial f}{\partial x}, f_y = \frac{\partial f}{\partial y})]가 존재한다고 하자. 그리고 [math(R_0 \subseteq R)]을 [math(E \cap R)]을 포함하는 모든 닫힌 사각형 영역의 교집합이라고 하자.[5] 그러면 다음과 같은 부등식이 성립한다. (단, [math(m_2)]는 [math(\mathbb{R}^2 = \mathbb{C})]에서의 르벡 측도(Lebesgue measure)이다.) [math(\displaystyle \left\vert \int_{\partial R_0} f \,dz - 2i\iint_{E \,\cap\, R} \frac{\partial f}{\partial \overline{z}} \,dxdy \right\vert \le 8AM \cdot m_2 \left( R \setminus (E \cap R) \right) )] |
- [ 증명 ]
- [math(E \cap R = \emptyset)] 일 경우 해당 정리는 자명하게 증명된다. 따라서 [math(E \cap R \not= \emptyset)] 이라고 가정하자.
[math(R_0 = [a_0,\, b_0] \times [c_0,\, d_0] = I \times J)]라고 하자.[6] [math(x \in I)]에 대하여 [math(E_x = \left\{ y \in J \vert (x,\, y) \in E \right\})]라고 하면 가정에 의해
[math(\vert f(x,\, y') - f(x,\, y) \vert \le M \vert y' - y \vert \quad \text{where}\ \ y \in E_x \text{ and } y' \in J)]
이고, [math(E_x \not= \emptyset)]일 때 보조정리 1에 의해 다음 식이 성립한다.
[math(\displaystyle \left\vert f(x,\, d_0) - f(x,\, c_0) - \int_{E_x} \frac{\partial f}{\partial y} \,dy \right\vert \le M \cdot m_1(J \setminus E_x) \le 4AM \cdot m_1(J \setminus E_x) )]
만약 [math(E_x = \emptyset)]일 경우엔 [math(R_0)]의 정의에 의해 [math((\xi,\, c_0) \in E \cap R)]이고, [math((\xi',\, d_0) \in E \cap R)]인 [math(\xi,\, \xi' \in I)]을 찾을 수 있다. 그러면
[math(\displaystyle
\begin{aligned}
\left\vert f(x,\, d_0) - f(x,\, c_0) \right\vert \,\le\, & {\color{red} \left\vert f(x,\, d_0) - f(\xi',\, d_0) \right\vert} + {\color{blue} \left\vert f(\xi',\, d_0) - f(\xi',\, c_0) \right\vert }
\\
& + {\color{green} \left\vert f(\xi',\, c_0) - f(\xi,\, c_0) \right\vert } + {\color{orange} \left\vert f(\xi,\, c_0) - f(x,\, c_0) \right\vert }
\\
\,\le\, &\, M\left( {\color{red}|x - \xi'|} + {\color{blue}|d_0 - c_0|} + {\color{green}|\xi' - \xi|} + {\color{orange}|\xi - x|} \right).
\end{aligned}
)]
이때 [math(|d_0 - c_0| \le (d - c))]이고,
[math(|x - \xi'| + |\xi' - \xi| + |\xi - x| \le 3|b_0 - a_0| \le 3(b - a) \le 3A(d - c))]
이므로 [math(\left\vert f(x,\, d_0) - f(x,\, c_0) \right\vert \le 4AM(d - c))]이다. 따라서
[math(\displaystyle \left\vert f(x,\, d_0) - f(x,\, c_0) - \int_{E_x} \frac{\partial f}{\partial y} \,dy \right\vert \le 4AM(d - c - m_1(E_x)))]
이고, 양변을 [math(I)] 위에서 [math(x)]에 대해 적분하면
[math(\displaystyle
\begin{aligned}
&\left\vert \int_{a_0}^{b_0} \left(f(x,\, d_0) - f(x,\, c_0)\right) \,dx - \iint_{E \,\cap\, R} \frac{\partial f}{\partial y}\,dxdy \right\vert
\\
\le\ & 4AM \left( (b_0 - a_0)(d - c) - m_2(E \cap R_0) \right)
\\
\le\ & 4AM \cdot m_2\left(R \setminus (E \cap R) \right) \quad (\because E \cap R_0 = E \cap R)
\end{aligned}
)]
가 성립한다. 비슷한 방식으로
[math(\displaystyle
\left\vert \int_{c_0}^{d_0} \left(f(b_0,\, y) - f(a_0,\, y)\right) \,dy - \iint_{E \,\cap\, R} \frac{\partial f}{\partial x}\,dxdy \right\vert \le 4AM \cdot m_2\left(R \setminus (E \cap R) \right)
)]
도 성립함을 알 수 있다. 이때
[math(\displaystyle
\int_{\partial R_0} f \,dz = \int_{a_0}^{b_0} \left( f(x,\, c_0) - f(x,\, d_0) \right) \,dx + i \int_{c_0}^{d_0} \left( f(b_0,\, y) - f(a_0,\, y) \right) \,dy
)]
이고, [math(2i\,{\partial f}/{\partial \overline{z}} = - {\partial f}/{\partial y} + i\,{\partial f}/{\partial x})]이므로 위에서 얻은 두 부등식을 적절히 연립하면 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.
[math(\displaystyle \left\vert \int_{\partial R_0} f \,dz - 2i\iint_{E \,\cap\, R} \frac{\partial f}{\partial \overline{z}} \,dxdy \right\vert \le 8AM \cdot m_2 \left( R \setminus (E \cap R) \right). )]
2.2.3. 본정리(Looman-Menchoff theorem)
| 복소평면상의 열린 집합 [math(C)]에서 정의된 연속함수 [math(f)]가 모든 [math(x + iy \in C\ (x,\, y \in \mathbb{R}))]에 대하여 [math(\displaystyle f_x = \frac{\partial f}{\partial x},\, f_y = \frac{\partial f}{\partial y})]가 존재한다고 하자. 이때 [math(C)] 위에서 다음 식을 만족시키면 [math(f)]는 [math(C)]에서 미분 가능(holomorphic, analytic)하다. [math(\displaystyle \frac{\partial f}{\partial \overline{z}} = \frac{1}{2}\left( f_x + if_y \right) \equiv 0 \ \text{on }C. )] |
- [ 증명 ]
- [math(z \in C)] 중 어떤 [math(z)]의 근방(neighborhood) [math(U_z)]가 존재하여 [math(f)]가 [math(U_z)]에서 미분 가능하게 만드는 [math(z)]들을 모두 모은 집합을 [math(C')]이라고 하자. [math(E = C \setminus C')]이라 하면 [math(E)]는 [math(C \setminus E)] 위에서 [math(f)]가 정칙이 되게 하는 가장 작은 [math(C)]의 닫힌 부분집합일 것이다.
우리가 보이고 싶은 것은 [math(E = \emptyset)]이므로, [math(E \not= \emptyset)]을 가정하자.
먼저 열린 집합 [math(W \subseteq C)]와 상수 [math(M > 0)]이 존재하여 [math(E \cap W \not= \emptyset)]이고, [math((x,\, y) \in E \cap W)], [math((x',\, y),\, (x,\, y') \in W)]에 대하여
[math(|f(x',\, y) - f(x,\, y)| \le M|x' - x|,\ |f(x,\, y') - f(x,\, y)| \le M|y' - y|)]
를 만족한다고 하자. [math(k \in \mathbb{N})]일 때 아래와 같은 집합을 정의한다.
[math(\displaystyle
\begin{aligned}
&C_k^{(1)} = \left\{ (x,\, y) \in C \,\big\vert\, |f(x',\, y) - f(x,\, y)| \le k|x' - x| \text{ for } |x' - x| \le \frac{1}{k} \right\},
\\
&C_k^{(2)} = \left\{ (x,\, y) \in C \,\big\vert\, |f(x,\, y') - f(x,\, y)| \le k|y' - y| \text{ for } |y' - y| \le \frac{1}{k} \right\},
\\
&C_k = C_k^{(1)} \cap C_k^{(2)}.
\end{aligned})]
그러면 [math(f)]는 연속이므로 [math(C_k)]는 [math(C)]에서 닫힌 집합이다. 그리고 [math(C)] 위의 모든 점에서 [math(f_x)]와 [math(f_y)]가 존재하므로 [math(x')]과 [math(y')]이 각각 [math(x)]와 [math(y)]로 갈 때, [math((f(x',\, y) - f(x,\, y))/(x' - x))]와 [math((f(x,\, y') - f(x,\, y))/(y' - y))]는 모두 수렴한다. 따라서 [math(\bigcup_{k \ge 1} C_k = C)]가 되고, [math(\bigcup_{k \ge 1} (C_k \cap E) = E)]가 된다. 베르의 범주 정리(Baire category theorem)[7][8]에 따라 [math(C_k \cap E)] 중 하나인 [math(C_{k_0} \cap E)]는 [math(E)] 안에서 공집합이 아닌 내부(nonempty interior)를 가져야 함을 알 수 있다. 이 말은 열린 집합 [math(W \subset C)]가 존재하여 [math(\emptyset \not= W \cap E \subset C_{k_0} \cap E)]를 만족한다는 것이다.
그러면 [math(W)]가 [math(C)]에서 상대적 컴팩트(relatively compact)라고 할 수 있다. 그러면 [math(W)] 위에서 [math(|f| < c/2)]를 만족하는 [math(c > 0)]가 존재한다. 따라서 [math((x,\, y) \in E \cap W \subset C_{k_0} \cap E)], [math((x',\, y),\, (x,\, y') \in W)]에 대하여
[math(\displaystyle
\left\vert f(x',\, y) - f(x,\, y) \right\vert \le
\begin{cases}
k_0|x' - x| & \text{if }\ |x' - x| \le \frac{1}{k_0} \\
ck_0|x' - x| & \text{if }\ |x' - x| > \frac{1}{k_0} \\
\end{cases})]
가 성립하고, 비슷한 방식으로 [math(\left\vert f(x,\, y') - f(x,\, y) \right\vert)]의 경우도 증명할 수 있다. 결과적으로 [math(M = \max\{k_0,\, ck_0\})]임을 알 수 있다.
이제 [math(f)]가 [math(W)] 위에서 미분 가능임을 보이자. 이는 모레라의 정리(Morera's theorem)[9]에 따라 임의의 닫힌 사각형 영역 [math(R = [a,\, b] \times [c,\, d] \subset C)]에 대하여 [math(\int_{\partial R} f \,dz = 0)]임을 보이면 충분하다.
[math(1/A \le (d - c)/(b - a) \le A)]인 상수 [math(A > 0)]를 선택하자. 그리고 임의의 양수 [math(\epsilon > 0)]에 대하여 [math(E \subset U)]이고, [math(m_2(U \setminus E) < \epsilon)] 인 열린 집합 [math(U)]를 잡자.[10]
이제 [math(R)]을 가로와 세로로 절반씩 나누어 4등분하는 작업을 모든 사각형 영역에 반복하여 수행한다. 그러면 [math(N)]번 반복하였을 경우, 가로와 세로의 비율이 [math(R)]과 동일한 [math(4^N)]개의 작은 사각형 영역이 생기게 된다. 즉, 사각형 영역 중 하나를 [math(R_{j} = [\alpha,\, \beta] \times [\gamma,\, \delta])]일 때 [math(1/A \le (\delta - \gamma)/(\beta - \alpha) = (d - c)/(b - a) \le A)]이다. 이때 [math(N)]이 충분히 큰 경우, [math(R_j \cap E \not= \emptyset)]일 때 [math(R_j \subset U)] [math((j = 1,\, 2,\, \cdots \,,\, 4^N))]이 성립하게 된다. 따라서 [math(R_j \subset W \setminus E)]인 경우, 코시 적분 정리에 의해 [math(\int_{\partial R_j} f \,dz = 0)]이므로
[math(\displaystyle \int_{\partial R} f \,dz = \sum_{j=1}^{4^N} \int_{\partial R_j} f \,dz = \sum_{\substack{R_j \,\cap\, E \not= \emptyset \\ j = 1,\, 2,\, \cdots \,,\,4^N}} \int_{\partial R_j} f \,dz)]
를 만족한다. [math(R_j^{(0)})]를 [math(E \cap R_j)]를 포함하는 모든 닫힌 사각형 영역의 교집합이라 했을 때, [math(\int_{\partial R_j} f \,dz = \int_{\partial R_j^{(0)}} f \,dz)]이다. [math(R_j \cap E \not= \emptyset)]이라 가정하고, 보조정리 2를 적용하면 다음과 같다.
[math(\displaystyle
\begin{aligned}
\left\vert \int_{\partial R_j} f \,dz \right\vert &= \left\vert \int_{\partial R_j^{(0)}} f \,dz \right\vert
\\
&= \left\vert \int_{\partial R_j^{(0)}} f \,dz - 2i \iint_{E \cap R_j} \frac{\partial f}{\partial \overline{z}} \,dxdy \right\vert \quad (\because \frac{\partial f}{\partial \overline{z}} \equiv 0)
\\
& \le 8AM \cdot m_2 \left( R_j \setminus (E \cap R_j) \right)
\end{aligned}
)]
따라서
[math(\displaystyle
\left\vert \int_{\partial R} f \,dz \right\vert \le \sum_{R_j \,\cap\, E \not= \emptyset} \left\vert \int_{\partial R_j} f \,dz \right\vert \le 8AM \sum_{R_j \,\cap\, E \not= \emptyset} m_2 \left( R_j \setminus (E \cap R_j) \right))]
이다. 여기서 적당히 큰 [math(N)]에 대해서 [math(R_j \cap E \not= \emptyset)]은 [math(R_j \subset U)]를 의미하고, [math(j \not= j')]일 경우 [math(m_2(R_j \cap R_{j'}) = 0)]이다. 따라서
[math(\displaystyle
\sum_{R_j \,\cap\, E \not= \emptyset} m_2 \left( R_j \setminus (E \cap R_j) \right) \le m_2(U \setminus (E \cap U)) < \epsilon)] 이고, [math(\displaystyle \left\vert \int_{\partial R} f \,dz \right\vert < 8AM\epsilon)] 이다.
여기서 [math(\epsilon > 0)]은 임의의 양수이므로, [math(\int_{\partial R} f \,dz = 0)]임을 알 수 있다. 따라서 모레라의 정리(Morera's theorem)에 의해 [math(W)]에서 [math(f)]는 미분 가능하며, [math(W \cap E \not= \emptyset)]과 모순된다. 따라서 [math(E = \emptyset)]이고, [math(f)]는 [math(C)]에서 미분 가능(holomorphic, analytic)하다.
[1] 쉽게 설명하면 [math(I \setminus E_0)]의 부분집합이고, [math(x)]를 포함하는 가장 큰 열린 구간을 말한다.[2] 그렇지 않을 경우, [math(\alpha = a)], [math(\beta = b)] 가 되어 [math(E = \emptyset)]이 된다.[3] 그렇지 않을 경우, 열린 구간 [math((x,\, y))]는 [math(E_0)]와 서로소가 되어 [math((x,\, y))]를 포함하는 어떤 연결 성분 [math(C_\lambda)]가 존재하게 된다.[4] [math(\psi)]가 [math(M)]-립시츠 연속이므로 [math(\vert \psi' \vert \le M)]을 만족한다.[5] [math(E \cap R \not= \emptyset)]일 때 [math(R_0)]는 단순 닫힌 사각형 영역일 수도 있고, [math(\left\{ a \right\} \times [b,\, c])], [math([a,\, b] \times \left\{ c \right\})], [math(\left\{ a \right\} \times \left\{ b \right\})] 형태(축퇴 사각형꼴, degenerated rectangle)일 수도 있다.[6] [math(a_0 = b_0)]일 수도 있고, [math(c_0 = d_0)]일 수도 있다.[7] 조밀한 열린 집합들(dense open sets)의 가산 교집합(countable intersection)은 조밀(dense)하다라는 정리이다.[8] 이 정리에 여집합을 적용하면 어디에서도 조밀하지 않은 닫힌 집합들(nowhere dense closed sets)의 가산 합집합(countable union)은 여전히 어디에서도 조밀하지 않으며, 만약 합집합한 결과가 공집합이 아닌 내부(nonempty interior)를 가질 경우 합집합하는 집합 중 적어도 하나는 공집합이 아닌 내부를 가져야 함을 알 수 있다.[9] 연결 열린 집합(connected open set) [math(D \subseteq \mathbb{C})]에서 연속 함수 [math(f : D \to \mathbb{C})]가 미분 가능할 필요충분조건은 임의의 조각마다(piecewise) [math(\mathcal{C}^1)] 닫힌 곡선 [math(\gamma : [\alpha,\, \beta] \to D)]에 대하여 [math(\int_{\gamma} f\,dz = 0)]이다.[10] 모든 닫힌 집합은 가측(measurable)이고, 외측도(outer measure)의 값과 같으므로 이러한 [math(U)]를 잡을 수 있다.