1. 개요
국소 볼록 공간(locally convex space, LCS)은 공간의 각 원소가 볼록집합으로 구성된 국소 기저를 갖는 위상이 부여된 위상 벡터 공간이다. 함수해석학에서 다루는 여러 공간이 국소 볼록 공간에 해당한다. 국소 볼록 공간을 다룰 때 많은 경우 하우스도르프 성질을 함께 가정하여 국소 볼록 하우스도르프 공간(locally convex Hausdorff space, LCH 공간, LCH space)을 구성한다.2. 정의
2.1. 국소 볼록 공간
체 [math(\mathbb{K\in\{R,C\}})] 위의 벡터 공간 [math(X)]에 두 연산 [math(+:X \times X\to X)]과 [math(\cdot:\mathbb{K}\times X \to X)]가 연속인 위상이 주어졌을 때 [math(X)]를 위상 벡터 공간(topological vector space)라고 한다. 위상 벡터 공간 [math(X)]가 볼록집합으로 구성된 기저를 가지면 [math(X)]를 국소 볼록 공간이라고 한다.국소 볼록 공간은 볼록 집합 또는 반노름을 이용해 정의할 수 있다. 국소 볼록 공간과 관련된 집합의 성질로 볼록성, 균형성, 흡수성을 정의한다. 집합 [math(C\subseteq X)]가 상수 [math(t\in[0,1])]에 대하여
[math(tC+(1-t)C\subseteq C)]
를 만족시키면 [math(C)]를 볼록집합(convex set)이라 한다. 집합 [math(B\subseteq X)]가 [math(|\alpha|\ge 1)]인 임의의 [math(\alpha\in\mathbb{K})]에 대하여 [math(\alpha B \subseteq B)]를 만족시면 [math(B)]를 균형집합(balanced set)이라 한다. 집합 [math(A\subseteq X)]가 임의의 [math(x\in X)]에 대하여 [math(x\in t A)]인 양수 [math(t)]를 가지면 [math(A)]를 흡수집합(absorbing set)이라고 한다. 위상 벡터 공간[math(X)]가 국소 볼록 공간일 필요충분조건은 [math(X)]가 흡수 균형 볼록 집합으로 이루어진, 원점의 국소 기저를 갖는 것이다.