measurable function / 可測函數
1. 개요
가측함수는 역상이 가측성을 보존하는 함수로, 르베그 적분의 대상이 된다. 가측함수는 두 가측공간(잴 수 있는 공간, measurable space) 사이에서 위상공간의 연속함수와 유사한 방식으로 정의된다.2. 정의
2.1. 가측함수
두 가측공간 [math((X,\ \mathcal{M}))]과 [math((Y,\ \mathcal{N}))]에 대하여 함수 [math(f:X\to Y)]가 임의의 [math(E\in\mathcal{N})]에 대하여 [math(f^{-1}(E)\in\mathcal{M})]을 만족시키면 [math(f)]를 [math((\mathcal{M,\ N}))]-가측함수라고 한다. [math(Y)]가 보렐 [math(\sigma)]-대수가 주어진 실수 또는 복소수 집합인 경우 [math(f)]를 [math(\mathcal{M})]-가측함수라고 한다. 특히 [math((X,\ \mathcal{M})=(\mathbb{R},\ \mathcal{L}))]이고 [math((Y,\ \mathcal{N})=(\mathbb{R},\ \mathcal{B}_{\mathbb{R}}))]일 때, [math(f)]를 르베그 가측함수라고 한다. 가측함수는 [math(X)]의 부분집합으로 축소할 수 있다. [math(E\subset X)]에 대하여 모든 보렐 집합 [math(B)]가 [math(f^{-1}(B)\cap E \in \mathcal{M})]이면 [math(f)]는 [math(E)]에서 가측이라고 한다. 이는 [math(\sigma)]-대수 [math(\mathcal{M}_E=\{E\cap F\ |\ F\in \mathcal{M}\})]가 주어진 부분집합 [math(E)]에 대한 [math(f)]의 제한 사상 [math(f|_E)]가 가측임과 동치이다.공역에 주어진 [math(\sigma)]-대수가 생성 집합족을 갖는 경우, 함수의 가측성의 판단은 생성 집합족의 원소로 한정할 수 있다. 즉, [math(\mathcal{N})]이 [math(\mathcal{E})]로 생성되는 [math(\sigma)]-대수일 때, 함수 [math(f:X\to Y)]가 [math((\mathcal{M,\ N}))]-가측함수일 필요충분조건은 모든 [math(E\in\mathcal{E})]에 대하여 [math(f^{-1}(E)\in\mathcal{M})]인 것이다. 이로부터 몇 가지 주요한 성질을 얻을 수 있다. 첫째, 보렐 [math(\sigma)]-대수는 열린집합족으로 생성되므로 두 거리(위상)공간 [math(X)], [math(Y)]에 모두 보렐 [math(\sigma)]-대수가 주어졌을 때, 연속함수 [math(f:X\to Y)]는 [math((\mathcal{B}_X,\ \mathcal{B}_Y))]-가측함수이다. 둘째, 실수의 보렐 [math(\sigma)]-대수는 [math(\{(a,\ \infty)\ |\ a\in\mathbb{R}\})]로 생성되므로 [math(\mathcal{M})]-가측함수 [math(f:X\to\mathbb{R})]를 임의의 [math(a\in\mathbb{R})]에 대하여 [math(f^{-1}((a,\ \infty))\in\mathcal{M})]를 만족시키는 함수 [math(f)]로 정의할 수 있다.
2.2. 단순함수
지시함수(특성함수)의 유한 선형 결합인 단순함수(simple function)는 르베그 적분에서 중요한 역할을 한다. 리만 적분은 정의역의 적분 구간을 분할하여 리만합을 구하고 리만합에 극한을 취해 적분값을 계산한다. 반면 르베그 적분은 가측함수의 치역을 분할하여 각 분할 값과 그 역상의 측도의 곱의 합을 구하고 극한을 취해 적분값을 계산한다. 이때, 가측함수의 치역을 분할하여 얻은 함수가 단순함수이다. 단순함수 [math(f:X\to\mathbb{R})]의 치역을 [math(\{a_1,\ \ldots\ ,\ a_n\})]이라 할 때, 다음을 [math(f)]의 표준형이라고 한다.[math(\displaystyle f=\sum_{k=1}^n a_k1_{E_k},\quad E_k=f^{-1}(a_k))]
양의 실숫값을 갖는 임의의 가측함수는 단순함수열로 근사할 수 있다.
| 정리 가측공간 [math((X,\ \mathcal{M}))]에 대하여 함수 [math(f:X\to[0,\ \infty])]가 가측함수이면 [math(f)]로 점별수렴하는 증가 단순함수열 [math(\{\phi_n\})]이 존재한다. [math(\{\phi_n\})]은 [math(f)]가 유계인 집합에서 [math(f)]로 균등수렴한다. |
[math(\displaystyle\phi_n=\sum_{k=0}^{2^{2n}-1}k2^{-n}1_{E_n^k}+2^n1_{F_n})]
이 때, 각 구간 [math(I_n^k)]와 [math(J_n)]이 보렐 집합이고 함수 [math(f)]가 가측함수이므로 각 [math(E_n^k)]와 [math(F_n)]는 가측집합이다. 따라서 가측집합에 대한 특성함수의 유한 선형 결합인 단순함수 [math(\phi_n)] 또한 가측함수이다.
2.3. 측도수렴
측도공간 [math((X,\ \mathcal{M},\ \mu))]의 가측복소함수열 [math(\{f_n\})]이 임의의 [math(\epsilon>0)]에 대하여 [math(m,\ n\to\infty)]일 때[math(\mu(\{x\in X:|f_n(x)-f_m(x)|\geq \epsilon \})\to0)]
이면 [math(\{f_n\})]를 측도 코시열이라고 한다. [math(\{f_n\})]가 함수 [math(f)]에 대하여 [math(n\to\infty)]일 때
[math(\mu(\{x\in X:|f_n(x)-f(x)|\geq\epsilon\})\to0)]
이면 [math(\{f_n\})]는 [math(f)]로 측도수렴한다고 한다.
[math(f_n)]과 [math(g_n)]이 각각 [math(f)]와 [math(g)]로 측도수렴할 때, [math(f_n+g_n)]은 [math(f+g)]로 측도수렴한다. [math(\mu(X)<\infty)]이면 [math(f_ng_n)]은 [math(fg)]로 측도수렴한다. 측도 코시 함수열 [math(\{f_n\})]은 가측함수 [math(f)]로 측도수렴한다. 또한 [math(f_n)]이 [math(f)]와 [math(g)]로 측도수렴하면 거의 어디에서나 [math(f=g)]이다.
함수열 [math(\{f_n\})]가 [math(f)]로 거의 어디서나 수렴하면 [math(\{f_n\})]은 [math(f)]로 측도수렴한다. 따라서 다음 함의관계가 성립한다.
균등수렴 [math(\Rightarrow)] 점별수렴 [math(\Rightarrow)] 거의 어디에서나 수렴 [math(\Rightarrow)] 측도수렴
그러나 그 역은 성립하지 않는다. [math(n=2^i+j\ (0\leq j<2^i))] 에 대하여 [math(I_n=\left[\dfrac{j}{2^i},\ \dfrac{j+1}{2^i}\right])]라 하자. [math(f_n=1_{I_n})]이라 하자. 임의의 [math(\epsilon>0)]에 대하여 [math(2^{-M}<\epsilon)]인 자연수 [math(M)]를 택한다. [math(n=2^i+j>2^{M})]일 때, [math(\{x:f_n(x)\geq\epsilon\}=I_n)]이고 [math(\mu(I_n)=2^{-i})]이므로 [math(n\to\infty)]에 따라 [math(\mu(\{x:f_n(x)\geq\epsilon\})\to0)]이다. 즉, [math(\{f_n\})]은 [math(0)]으로 측도수렴한다. 그러나 임의의 [math(x\in[0,\ 1])]에 대하여 [math(n\to\infty)]에 따라 [math(f_n(x))]는 함숫값으로 [math(0)]과 [math(1)]을 무수히 많이 가지므로 [math(\{f_n\})]은 발산한다.
측도수렴성은 거의 어디에서나 수렴성을 보장하지 못하지만 부분적인 거의 어디에서나 수렴성을 갖는다. 즉, [math(\{f_n\})]이 [math(f)]로 측도수렴하면 [math(f)]로 거의 어디에서나 수렴하는 부분수열 [math(\{f_{n_k}\})]가 존재한다.
3. 성질
[math(\mathcal{M})]-가측함수는 다음과 같은 성질을 갖는다.- [math(f,\ g:X\to\overline{\mathbb{R}})]가 [math(\mathcal{M})]-가측이면 [math(f+g,\ fg)]도 [math(\mathcal{M})]-가측이다.
- 각 [math(n)]에 대하여 함수 [math(f_nn:(X,\ \mathcal{M})\to\overline{\mathbb{R}})]가 가측함수일 때, 다음 함수는 모두 가측이다.
- [math(\sup\limits_{n\in\mathbb{N}}f_n(x))]
- [math(\inf\limits_{n\in\mathbb{N}}f_n(x))]
- [math(\limsup\limits_{n\to\infty}f_n(x))]
- [math(\liminf\limits_{n\to\infty}f_n(x))]
- 가측함수열 [math(\{f_n\})]가 함수 [math(f)]로 점별수렴할 때, [math(f)]는 [math(\mathcal{M})]-가측함수이다.
- 집합 [math(\{x\in X\ |\ f_n(x)\text{ converges}\})]는 [math(\mathcal{M})]의 가측집합이다.
- 두 함수 [math(f,\ g:X\to\overline{\mathbb{R}})]가 [math(\mathcal{M})]-가측이면 [math(\max(f,\ g))]와 [math(\min(f,\ g))]도 [math(\mathcal{M})]-가측함수이다.
- 함수 [math(f:X\to\overline{\mathbb{R}})]가 [math(\mathcal{M})]-가측이면 [math(f)]의 양수 부분 [math(f^+(x)=\max(f(x),\ 0))]과 음수 부분 [math(f^-(x)=\max(-f(x),\ 0))]도 [math(\mathcal{M})]-가측이다.
- 가측함수 [math(f)]에 대하여 [math(f=g\ \mu\text{-a.e. })]이면 [math(g)]는 가측함수이다.
- 가측함수열 [math(\{f_n\})]이 함수 [math(f)]로 [math(\text{a.e.-})]수렴할 때, [math(f)]는 [math(\mathcal{M})]-가측함수이다.
가측함수는 연속성과 균등수렴성을 거의 어디에서나 갖는다. 구체적으로 다음이 성립한다.
3.1. 루진 정리
| 루진 정리 (Lusin's theorem) 르베그 가측함수 [math(f:[a,\ b]\to\mathbb{C})]와 [math(\epsilon>0)]에 대하여 다음 조건을 만족시키는 컴팩트 집합 [math(E\subseteq[a,\ b])]가 존재한다. [math(m(E^c)<\epsilon)]이고 [math(f|_E)]는 연속함수이다. |
3.2. 예고로프 정리
| 예고로프 정리 (Egorov’s theorem) 유한측도공간 [math((X,\ \mu))] 위에서 정의된 가측복소함수열 [math(\{f_n\})]이 [math(f)]로 [math(\text{a.e.})]-수렴한다. 그러면 임의의 [math(\epsilon>0)]에 대하여 다음 조건을 만족시키는 [math(\mu(E)<\epsilon)]인 [math(E\subseteq X)]가 존재한다. [math(E^c)]에서 [math(\{f_n\})]은 [math(f)]로 균등수렴한다. |