1. 개요
오일러-매클로린 공식(Euler-Maclaurin formula, 간단히 EMF)은 레온하르트 오일러와 콜린 매클로린이 1700년대에 각각 발견한 공식으로, 유한합과 적분 사이의 관계를 나타내는 식이다. 이를 통해 유한합을 적분으로 근사하거나 반대로 적분을 유한합으로 근사할 수 있다.[math(\displaystyle \begin{aligned} \sum_{k=m}^{n-1} f(k) = &\int_m^n f(x) \,{\rm d}x +\sum_{r=1}^p \frac{B_r}{r!} ( f^{(r-1)}(n) -f^{(r-1)}(m) ) \\ &+\frac{(-1)^{(p+1)}}{p!} \int_m^n B_p(x-\lfloor x\rfloor) f^{(p)}(x) \,{\rm d}x \end{aligned} )] |
본 문서에서는 베르누이 수와 베르누이 다항식의 여러 성질들이 빈번히 사용되므로, 각 문서들의 내용을 숙지하고 있는 상태에서 아래의 내용들을 보는 것이 좋다.
2. 주기화된 베르누이 다항식
주기화된 베르누이 다항식 [math(b_n(x))]를 다음과 같이 정의하자.[math( b_n(x) = B_n(x - \lfloor x \rfloor) )] |
[math( b_n(k) = B_n(k - \lfloor k \rfloor) = B_n(0) = B_n )] |
[math( b_0(x) = 1 )] |
[math(\displaystyle \begin{aligned} \int_k^{k+1} b_n(x) \,{\rm d}x &= \lim_{a\to1-} \int_k^{k+a} B_n(x - \lfloor x \rfloor) \,{\rm d}x = \lim_{a\to1-} \int_k^{k+a} B_n(x - k) \,{\rm d}x \\ &= \lim_{a\to1-} \int_0^a B_n(x) \,{\rm d}x = \!\biggl[ \frac1{n+1} B_{n+1}(x) \biggr]_0^1 = \frac{B_{n+1}(1) - B_{n+1}(0)}{n+1} \\ &= \frac{B^+_{n+1} - B_{n+1}}{n+1} \end{aligned} )] |
[math(\displaystyle \begin{aligned} \int_k^{k+1} b_n(x) \,{\rm d}x = \frac1{n+1} [ b_{n+1}(x) ]_k^{k+1} = \frac{B_{n+1}(1) - B_{n+1}(0)}{n+1} \end{aligned} )] |
[math(\displaystyle \begin{aligned} \int_k^{k+1} b_n(x) \,{\rm d}x = \frac1{n+1} [ b_{n+1}(x) ]_k^{k+1} &= \frac{\displaystyle \lim_{a\to1-} b_{n+1}(k+a) - b_{n+1}(k)}{n+1} = \frac{B_{n+1}(1) - B_{n+1}(0)}{n+1} = \frac{B^+_{n+1} - B_{n+1}}{n+1} \\ &\ne \frac{b_{n+1}(k+1) - b_{n+1}(k)}{n+1} = \frac{B_{n+1}(0) - B_{n+1}(0)}{n+1} = 0 \end{aligned} )] |
3. 증명
[math(b_0(x) = 1)]이므로, [math(m \le k < n)]인 정수 [math(k)]에 대해 [math(f(x))]를 다음과 같이 적분할 수 있다.[math(\displaystyle \begin{aligned} \int_k^{k+1} f(x) \,{\rm d}x &= \int_k^{k+1} b_0(x) f(x) \,{\rm d}x \\ &= \frac1{1!} \biggl[ b_1(x)f(x) \biggr]_k^{k+1} -\frac1{1!} \int_k^{k+1} b_1(x)f'(x) \,{\rm d}x \\ &= \frac1{1!} \biggl[ b_1(x)f(x) \biggr]_k^{k+1} -\frac1{2!} \biggl[ b_2(x)f'(x) \biggr]_k^{k+1} +\frac1{2!} \int_k^{k+1} b_2(x)f''(x) \,{\rm d}x \\ &= \frac1{1!} \biggl[ b_1(x)f(x) \biggr]_k^{k+1} -\frac1{2!} \biggl[ b_2(x)f'(x) \biggr]_k^{k+1} +\frac1{3!} \biggl[ b_3(x)f(x) \biggr]_k^{k+1} -\frac1{3!} \int_k^{k+1} b_3(x)f'(x) \,{\rm d}x \\ &= \cdots \\ &= \sum_{r=1}^p \frac{(-1)^{r-1}}{r!} [ b_r(x)f^{(r-1)}(x) ]_k^{k+1} -\frac{(-1)^{p+1}}{p!} \int_k^{k+1} b_p(x)f^{(p)}(x) \,{\rm d}x \end{aligned} )] |
[math(\begin{aligned} \dfrac1{1!} [ b_1(x)f(x) ]_k^{k+1} &= B_1(1)f(k+1) -B_1(0)f(k) \\ &= \dfrac12 ( f(k+1)+f(k) ) \end{aligned} )] |
[math(\begin{aligned} \dfrac{(-1)^{r-1}}{r!} [ b_r(x)f^{(r-1)}(x) ]_k^{k+1} &= \dfrac{-1}{r!} ( B_rf^{(r-1)}(k+1) -B_rf^{(r-1)}(k) ) \\ &= -\dfrac{B_r}{r!} ( f^{(r-1)}(k+1) -f^{(r-1)}(k) ) \end{aligned} )] |
[math(\begin{aligned} \dfrac{(-1)^{r-1}}{r!} [ b_r(x)f^{(r-1)}(x) ]_k^{k+1} &= \dfrac{(-1)^{r-1}}{r!} ( b_r(k+1)f^{(r-1)}(k+1) -b_r(k)f^{(r-1)}(k) ) \\ &= 0 \end{aligned} )] |
[math(\displaystyle \begin{aligned} \int_k^{k+1} f(x) \,{\rm d}x &= \sum_{r=1}^p \frac{(-1)^{r-1}}{r!} [ b_r(x)f^{(r-1)}(x) ]_k^{k+1} +\frac{(-1)^p}{p!} \int_k^{k+1} b_p(x)f^{(p)}(x) \,{\rm d}x \\ &= \frac12 ( f(k+1) +f(k) ) -\sum_{r=2}^p \frac{B_r}{r!} ( f^{(r-1)}(k+1) -f^{(r-1)}(k) ) -\frac{(-1)^{p+1}}{p!} \int_k^{k+1} b_p(x)f^{(p)}(x) \,{\rm d}x \end{aligned} )] |
[math(\displaystyle \begin{aligned} \sum_{k=m}^{n-1} \int_k^{k+1} f(x) \,{\rm d}x &= \int_m^n f(x) \,{\rm d}x \\ &= \sum_{k=m}^{n-1} \Biggl[ \frac12 ( f(k+1) +f(k) ) -\sum_{r=2}^p \frac{B_r}{r!} ( f^{(r-1)}(k+1) -f^{(r-1)}(k) ) -\frac{(-1)^{p+1}}{p!} \int_k^{k+1} b_p(x)f^{(p)}(x) \,{\rm d}x \Biggr] \\ &= \sum_{k=m}^{n-1} \frac{f(k+1) +f(k)}2 -\sum_{r=2}^p \frac{B_r}{r!} \sum_{k=m}^{n-1} ( f^{(r-1)}(k+1) -f^{(r-1)}(k) ) -\frac{(-1)^{p+1}}{p!} \sum_{k=m}^{n-1} \int_k^{k+1} b_p(x)f^{(p)}(x) \,{\rm d}x \\ &= \!\Biggl( \sum_{k=m}^n f(k) -\frac{f(n)+f(m)}2 \Biggr) \!-\sum_{r=2}^p \frac{B_r}{r!} ( f^{(r-1)}(n) -f^{(r-1)}(m) ) -\frac{(-1)^{p+1}}{p!} \int_m^n b_p(x)f^{(p)}(x) \,{\rm d}x \\ \Rightarrow \int_m^n f(x) \,{\rm d}x &= \!\Biggl( \sum_{k=m}^n f(k) -\frac{f(n)+f(m)}2 \Biggr) \!-\sum_{r=2}^p \frac{B_r}{r!} ( f^{(r-1)}(n) -f^{(r-1)}(m) ) -\frac{(-1)^{p+1}}{p!} \int_m^n b_p(x)f^{(p)}(x) \,{\rm d}x \end{aligned} )] |
[math(\displaystyle \begin{aligned} \sum_{k=m}^n f(k) = \int_m^n f(x) \,{\rm d}x +\frac{f(n)+f(m)}2 +\sum_{r=2}^p \frac{B_r}{r!} ( f^{(r-1)}(n) -f^{(r-1)}(m) ) +\frac{(-1)^{p+1}}{p!} \int_m^n b_p(x)f^{(p)}(x) \,{\rm d}x \end{aligned} )] |
[math(\displaystyle \begin{aligned} \sum_{k=m}^{n-1} f(k) = \int_m^n f(x) \,{\rm d}x -\frac{f(n)-f(m)}2 +\sum_{r=2}^p \frac{B_r}{r!} ( f^{(r-1)}(n) -f^{(r-1)}(m) ) +\frac{(-1)^{p+1}}{p!} \int_m^n b_p(x)f^{(p)}(x) \,{\rm d}x \end{aligned} )] |
[math(\displaystyle \begin{aligned} \sum_{k=m}^{n-1} f(k) &= \int_m^n f(x) \,{\rm d}x +\sum_{r=1}^p \frac{B_r}{r!} ( f^{(r-1)}(n) -f^{(r-1)}(m) ) +\frac{(-1)^{p+1}}{p!} \int_m^n b_p(x)f^{(p)}(x) \,{\rm d}x \\ &= \int_m^n f(x) \,{\rm d}x +\sum_{r=1}^p \frac{B_r}{r!} ( f^{(r-1)}(n) -f^{(r-1)}(m) ) +\frac{(-1)^{p+1}}{p!} \int_m^n B_p(x-\lfloor x\rfloor)f^{(p)}(x) \,{\rm d}x \\ \end{aligned} )] |
3.1. 다른 형태들
앞서 증명한 형태는 다음과 같다. 본 문단에서는 편의를 위해 이를 형태1로 부를 것이다.[math(\displaystyle \begin{aligned} \sum_{k=m}^{n-1} f(k) = \int_m^n f(x) \,{\rm d}x +\sum_{r=1}^p \frac{B_r}{r!} ( f^{(r-1)}(n) -f^{(r-1)}(m) ) +\frac{(-1)^{p+1}}{p!} \int_m^n B_p(x-\lfloor x\rfloor) f^{(p)}(x) \,{\rm d}x \end{aligned} )] |
위의 형태1에서 [math(r=1)]인 부분을 시그마 밖으로 빼내자. [math(B_1=-\dfrac12)]임을 이용하면 다음과 같다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \sum_{k=m}^{n-1} f(k) = \int_m^n f(x) \,{\rm d}x -\frac{f(n)-f(m)}2 +\sum_{r=2}^p \frac{B_r}{r!} ( f^{(r-1)}(n) -f^{(r-1)}(m) ) +\frac{(-1)^{p+1}}{p!} \int_m^n B_p(x-\lfloor x\rfloor) f^{(p)}(x) \,{\rm d}x \end{aligned} )] |
[math(\displaystyle \begin{aligned} \sum_{k=m}^n f(k) = \int_m^n f(x) \,{\rm d}x +\frac{f(n)+f(m)}2 +\sum_{r=2}^p \frac{B_r}{r!} ( f^{(r-1)}(n) -f^{(r-1)}(m) ) +\frac{(-1)^{p+1}}{p!} \int_m^n B_p(x-\lfloor x\rfloor) f^{(p)}(x) \,{\rm d}x \end{aligned} )] |
[math(\displaystyle \begin{aligned} \sum_{k=m+1}^n f(k) = \int_m^n f(x) \,{\rm d}x +\frac{f(n)-f(m)}2 +\sum_{r=2}^p \frac{B_r}{r!} ( f^{(r-1)}(n) -f^{(r-1)}(m) ) +\frac{(-1)^{p+1}}{p!} \int_m^n B_p(x-\lfloor x\rfloor) f^{(p)}(x) \,{\rm d}x \end{aligned} )] |
[math(\displaystyle \begin{aligned} \sum_{k=m+1}^n f(k) = \int_m^n f(x) \,{\rm d}x +\sum_{r=1}^p \frac{B^+_r}{r!} ( f^{(r-1)}(n) -f^{(r-1)}(m) ) +\frac{(-1)^{p+1}}{p!} \int_m^n B_p(x-\lfloor x\rfloor) f^{(p)}(x) \,{\rm d}x \end{aligned} )] |
형태2에서 [math(r)]이 [math(r\ge2)]인 홀수인 경우 [math(B_r=0)]이므로 급수에 아무런 영향을 미치지 않는다. 따라서 시그마에서 [math(r)]이 짝수인 경우에 대한 항만 더해도 충분하다. 그러면 아래와 같이 형태4를 얻을 수 있다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \sum_{k=m}^n f(k) = \int_m^n f(x) \,{\rm d}x +\frac{f(n)+f(m)}2 +\sum_{r=1}^{\normalsize \lfloor \frac p2 \rfloor} \frac{B_{2r}}{(2r)!} ( f^{(2r-1)}(n) -f^{(2r-1)}(m) ) +\frac{(-1)^{p+1}}{p!} \int_m^n B_p(x-\lfloor x\rfloor) f^{(p)}(x) \,{\rm d}x \end{aligned} )] |
[math(\displaystyle \begin{aligned} \sum_{k=m}^n f(k) = \int_m^n f(x) \,{\rm d}x +\frac{f(n)+f(m)}2 +\sum_{r=1}^{q} \frac{B_{2r}}{(2r)!} ( f^{(2r-1)}(n) -f^{(2r-1)}(m) ) -\frac1{(2q)!} \int_m^n B_{2q}(x-\lfloor x\rfloor) f^{(2q)}(x) \,{\rm d}x \end{aligned} )] |
[math(\displaystyle \begin{aligned} \sum_{k=m}^n f(k) =& \int_m^n f(x) \,{\rm d}x +\frac{f(n)+f(m)}2 +\sum_{r=1}^{q} \frac{B_{2r}}{(2r)!} ( f^{(2r-1)}(n) -f^{(2r-1)}(m) ) \\ &-\frac{B_{2q+1}}{(2q+1)!} ( f^{(2q)}(n) -f^{(2q)}(m) ) +\frac1{(2q+1)!} \int_m^n B_{2q+1}(x-\lfloor x\rfloor) f^{(2q+1)}(x) \,{\rm d}x \end{aligned} )] |
[math(\displaystyle \begin{aligned} \sum_{k=m}^n f(k) =& \int_m^n f(x) \,{\rm d}x +\frac{f(n)+f(m)}2 +\sum_{r=1}^{q} \frac{B_{2r}}{(2r)!} ( f^{(2r-1)}(n) -f^{(2r-1)}(m) ) +\frac1{(2q+1)!} \int_m^n B_{2q+1}(x-\lfloor x\rfloor) f^{(2q+1)}(x) \,{\rm d}x \end{aligned} )] |