1. 개요
power series · 冪級數변수 [math(x_1)], [math(x_2)], [math(x_3)], [math(\cdots)], [math(x_n)]에 대하여
[math(\displaystyle \sum_{(k_1,\,k_2,\,\cdots,\,k_{n}) \in \mathbb N^{n}} a_{k_1,\, k_2,\, ,\,\cdots,\, k_n }\prod_{i=1}^n (x_i - x'_i)^{k_i} )]
을 [math((x_1,\,x_2,\,x_{3},\,\cdots,\,x_{n}))]에서의 멱급수라 한다.
2. 상세
환 [math(\mathbb F)]를 생각하자. 보통의 경우 [math(\mathbb{F}=\mathbb{R}\, \textsf{ or }\,\mathbb{C})]인 경우를 생각한다. 멱급수는 급수이므로[math(\displaystyle\sum_{k=0}^\infty a_k (x-x')^k)]
는 [math(\mathbb F)]의 어떤 원소들에 대해서 수렴할 것이다. 이때 수렴하는 원소의 모임을 그 멱급수의 수렴 영역이라고 한다. 예를 들어
[math(\displaystyle\sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!})]
은 복소평면 전체에서 [math(exp x)]로 수렴한다. 어떤 경우에는 급수의 수렴성을 생각하지 않을 필요가 있는데, 수렴 여부와 상관없이
[math(\displaystyle\sum_{k=0}^\infty a_k x^k)]
의 형태를 띄는 함수를 형식적 멱급수(formal power series)라 하고, 체 [math(\mathbb K)] 위의 변수가 [math((x_0,\,x_1,\,\cdots))]인 모든 형식적 멱급수의 집합을
[math(\mathbb{K}[\![x_0,\,x_1,\,\cdots]\!]=\mathbb{K}[\![x_0]\!][\![x_1]\!]\cdots)]
로 나타낸다. 간단히 생각해서 실수체 [math(\mathbb R)] 위의 형식적 멱급수들을 생각하자. 이는 다음과 같은 연산을 주면 벡터 공간을 이룬다
- [math(\displaystyle \sum_{k=0}^\infty a_k x^k+\sum_{k=0}^\infty b_k x^k = \sum_{k=0}^\infty (a_k+b_k)x^k)]
- [math(\displaystyle c\sum_{k=0}^\infty a_k x^k= \sum_{k=0}^\infty ca_k x^k)]
곱연산의 경우는 다음과 같이 정의한다.
[math(\displaystyle \biggl(\sum_{k=0}^\infty a_k x^k\biggr)\biggl(\sum_{k=0}^\infty b_k x^k\biggr)=\sum_{n=0}^\infty c_n x^n)] [math(\biggl()]여기서 [math(\displaystyle c_n=\sum_{l+m \geq 0}^{n}a_l b_{m})][math(\biggl))][1]
3. 등차수열과 등비수열로 이루어진 멱급수
등차수열 [math(\{a_{n}\})]과 등비수열 [math(\{b_{n}\})]에 대하여 다음의 멱수열[math(\displaystyle c_{n}=a_{n}b_{n})]
을 고려하자. 예를 들어
- 등차수열: [math(1 \quad 2 \quad 3 \quad \cdots)]
- 등비수열: [math(2 \quad 2^2 \quad 2^3 \quad \cdots)]
[math(\displaystyle 1 \cdot 2 \quad 2 \cdot 2^2 \quad 3\cdot 2^3 \quad \cdots)]
이러한 멱수열의 합, 멱급수는
[math(\displaystyle S_{n}=\sum_{k=1}^{n} c_{k})]
으로 고려될 수 있다.
이러한 멱급수의 합을 구하는 방법은 다음과 같다.
| [math(S_{n})]에서 [math(\{b_n\})]의 공비 [math(r)]과 [math(S_n)]의 곱의 차 [math((1-r)S_{n})]을 구한 뒤 [math(S_{n})]을 구한다. |
4. 응용
4.1. 테일러 급수
테일러 급수는 멱급수의 대표적인 예로, 다음과 같이 주어진다.[math(\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n} )]
이며 이를 [math(f(x))]의 [math(x=a)]에서의 테일러 급수라 한다. 초월함수 [math(f)]의 값을 구하기 곤란하거나 함수의 극한을 구할 때 사용한다. 여러 함수의 테일러 급수는 테일러 급수 목록 참고.
4.2. 로랑 급수
로랑 급수는 테일러 급수의 일반화로,[math(\displaystyle c_{n}=\frac{1}{2 \pi i} \oint_{C} \frac{f(z)}{(z-z_{0})^{n+1}}\,{\rm d}z )] (단, [math(n)]은 정수)
적분 영역 [math(C)]는 [math(z_{0})]을 포함하는 적당한 폐구간이다.
이때, [math(f(z))]의 [math(z=z_0)]에서의 로랑 급수는 다음과 같이 주어진다.
[math(\displaystyle \sum_{k=-\infty}^{\infty} c_{k}(z-z_0)^k )]
4.3. 멱급수의 미분과 적분
멱급수의 미분은 다음과 같이 주어진다.[math(\displaystyle \frac{{\rm d}}{{\rm d}x}\sum_{k=0}^{\infty} a_{k}x^{k}=\sum_{k=1}^{\infty} ka_{k}x^{k-1} )]
멱급수의 부정적분은 다음과 같이 주어진다.
[math(\displaystyle \int \biggl(\sum_{k=0}^{\infty} a_{k}x^{k} \biggr) \,{\rm d}x=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{a_k x^{k+1}}{k+1}+\textsf{const.} )]
멱급수의 정적분은 다음과 같이 주어진다.
[math(\displaystyle \int_{a}^{b} \biggl(\sum_{k=0}^{\infty} a_{k}x^{k} \biggr) \,{\rm d}x=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{a_k (b^{k+1}-a^{k+1})}{k+1}+\textsf{const.} )]
4.4. 미분 방정식
위의 성질을 이용하여 미분 방정식의 근을[math(\displaystyle y=\sum_{k=0}^{\infty} a_k x^k )]
로 가정하고, 각 [math(a_k)]를 구할 수 있다. 이를 프로베니우스 해법이라 한다.
이를 이용하여 간단한 미분방정식
[math(\displaystyle y'-y=0)]
을 풀어보자. 우선 해를 위와 같이 급수해로 가정한다. 양변에 대입하면,
[math(\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}k a_{k} x^{n-1} +\sum_{k=0}^{\infty} a_k x^k =0 )]
여기서 상수항에 대하여
[math(a_{0}-a_{1}=0)]
임을 얻는다. 각 차수의 계수를 맞추면,
[math(\displaystyle (k+1)a_{k+1}-a_{k}=0 \quad (k \geq 1) )]
따라서
[math(\displaystyle \frac{a_{k+1}}{a_{k}}=\frac{1}{k+1}\quad (k \geq 1) )]
이러한 꼴은 쉽게
[math(\displaystyle \begin{aligned} a_{k}&=\frac{1}{k} \cdot \frac{1}{k-1} \cdot \frac{1}{k-2} \cdots \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1} a_{1} \\ &=\frac{1}{k!}a_{1} \end{aligned} )]
참고적으로 [math(1/1)]은 곱셈에 대한 항등원으로 필요에 의해 삽입된 것이다. 그런데, 위에서 [math(a_1=a_0)]이므로
[math(\displaystyle \begin{aligned} a_{k}&=\frac{1}{k!}a_{0} \quad (k \geq 0) \end{aligned} )]
따라서 다음을 얻는다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} y&=a_{0}\sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{k}}{k!} \\&=a_{0}e^{x} \end{aligned} )]
5. 관련 문서
[1] 이런 형태의 정의를 코시곱(Cauchy Product)이라고 한다.